П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 10

С помощью функцииЛагранжа находим выражения для обобщенных импульсов:,,98  ,откуда,,.Теперь можно записать функцию Гамильтона:12, , ,.б) В цилиндрических координатах функция Лагранжа, , ,2.Для обобщенных импульсов получаем следующие выражения:,,.Отсюда,,.С помощью функции Лагранжа и выражений для обобщенных импульсов искоростей находим функцию Гамильтона:12, , ,.■Задача 13.2. Найдите функцию Гамильтона для заряженной частицы вэлектромагнитном поле.□ Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле записывается ввиде (см. § 4):2,φ , .,Отсюда находим обобщенный импульс:,99  .Из этого выражения, получаем:1,.Функция Гамильтона системы:12φ , .,13.3■Задача 13.3.

Материальная точкадвижется по гладкой поверхностикругового конуса с вертикальнонаправленной осью симметрии и угломраствора 2 . Раствор конуса направленвверх (рис. 13.1). Найдите функциюГамильтона и составьте каноническиеуравнения.zα□Направимполярнуюосьсферической системы координат (осьOна рис. 13.1) по оси симметрии конусаРис. 13.1вертикально вверх, а за начало отсчетапримем вершину конуса. При этом условие связи принимает вид:.13.4С учетом (13.4) кинетическая энергия точкиα2,а потенциальная энергияα.Функция Лагранжа:α2α.В качестве обобщенных координат в функции Лагранжа выступаютНайдем обобщенные импульсы:100  и ϕ.,α .Тогда функция Гамильтона12α.αЗная функцию Гамильтона, записываем канонические уравнения:,αα,α;0.■Задача 13.4.

Найдите закон движения заряженной частицы в однородномпостоянном магнитном поле напряженностис помощью уравненийГамильтона. Векторный потенциал выбран в виде,□ Полагая φ0.0 (электрическое поле отсутствует) в формуле (13.3), получим:,22Скалярное произведение ,(13.5) можно записать как.13.5.

Тогда функцию Гамильтона1212.Из уравнений Гамильтона0,следует, чтоГамильтона для0ии.:101  Теперь запишемуравнения,13.6ωгде ω,13.7– циклотронная частота (см. § 1). Продифференцировав повремени уравнение (13.6), находим:.Подставляя сюда вместовыражение (13.7), имеем:ωω.Решение этого уравнения можно представить в видеωгде ,,– произвольные амплитуда и фаза, а13.8ω .Из уравнения (13.6)ωДля определения зависимостейиω.используем уравнения Гамильтона1ωωω,.Интегрируя эти уравнения, получаем:ω,,Формулы (13.8)-(13.10) определяют закон движения частицы. ■102  13.913.10Задачи для самостоятельного решения62.

Напишите функцию Гамильтона материальной точки, находящейся впотенциальном поле, в сферических координатах.63. Рассматривая декартовы координаты и углы Эйлера в качествеобобщенных координат, запишите функцию Гамильтона для движенияоднородного стержня длины 2 и массы μ в поле тяжести.64. Функция Лагранжа релятивистской частицы, масса покоя которой равна, имеет вид1.Найдите функцию Гамильтона частицы.65.

Составьте функцию и уравнения Гамильтона для случая движенияматериальной точки массы в центральном поле.66. Найдите канонические уравнения для материальной точки массы ,движущейся в однородном гравитационном поле по гладкой сферическойповерхности радиуса (сферический маятник).67. Найдите закон движения одномерной системы, функция Гамильтонакоторой имеет видω,где2λ2ω22,, ω, λ - постоянные положительные параметры.§ 14. Канонические преобразования. Скобки Пуассона Как уже упоминалось ранее, формальный вид уравнений Лагранжа неменяется при преобразовании обобщенных координат α (α 1,2, … , .

Всвязи с тем, что в гамильтоновом методе обобщенные импульсы α играютнаравне с координатами α роль равноправных независимых переменных,уравнения Гамильтона допускают уже 2 преобразований от старыхпеременных ( α , α к новым ( α , α ):αα,…,,,…,,,αα,…,,,…,,.14.1, , (под иНовую функцию Гамильтона обозначим посредствомбудем понимать всю совокупность новых обобщенных координат и103  импульсовсоответственно).Преобразования(14.1)называютсяканоническими, если они сохраняют формальный вид уравнений Гамильтона,т.е. если и в новых переменных ( , ) выполняются соотношенияαα,ααα1,2, … ,.Далеко не каждое преобразование вида (14.1) будет являтьсяканоническим. Важный класс канонических преобразований составляютпреобразования, которые могут быть реализованы с помощью такназываемой производящей функции – функции, зависящей от старых и новыхпеременных и времени.1) Если производящая функциякоординат и времени, т.е.зависит от старых и новых обобщенных, ,,то каноническое преобразование, порождаемое этой функцией, имеет вид:,,., ,2) Если производящая функцияпреобразование задается формулами:,,,то14.2каноническое.14.3Задача 14.1.

Найдите каноническое преобразование, соответствующеепроизводящей функции, ,.□ Используя формулы (14.2), получаем:,,.Отсюда видно, что данная производящая функция переводит старыеимпульсы в новые координаты и, наоборот, старые координаты в новыеимпульсы. Такая возможность является следствием равноправия104  обобщенных координат и обобщенных импульсов в гамильтоновомформализме. ■Задача 14.2. Найдитепроизводящей функциейканоническоепреобразование,12, ,,Запишите в новых переменныхосциллятора с частотой.порождаемое.уравнения движения гармонического□ Поскольку производящая функция зависит от старых и новых обобщенныхкоординат, с помощью уравнений (14.2) получаем:,1211214.4,14.5.14.6Из соотношений (14.4) и (14.5) находим, что,22Функция Гамильтонакоординатах имеет вид:.гармонического214.72осциллятора14.8встарых.Подставляя в нее выражения (14.7) и (14.8), получаем функцию Гамильтона вновых координатах:.105  Заменяя в (14.6)и их выражениями через новые координаты, найдемновую функцию Гамильтона:122.Уравнения Гамильтона в новых переменных:1222Рассмотрим частный случай:при этом будут иметь вид:,..

Канонические уравнения,0,откуда следует, что,где,. Подставляяи2,в выражение (14.8), получим:.sin■Пусть даны две функции обобщенных координат и обобщенныхимпульсов,и, *. Скобкой Пуассона функций иназываютвыражение.,Для того, чтобы преобразование было каноническим, новые переменныедолжны удовлетворять соотношениям:,β0,,β0,,βδ β,14.9                                                            * Эти функции также могут зависеть от времени или от каких-либо других параметров. 106  где δ- символ Кронекера.βЗадача 14.3. Проверьте справедливостьканонических преобразований из задачи 14.1.,а□ В задаче 14.1 найдено, чтоочевидные равенства:δ ,0,,,β,β(14.9)для.

Принимая во вниманиеδ ,ββсоотношений0, получаем:βββββββββββ0,0,δ δβδ β.Таким образом, видим, что соотношения (14.9) выполняются. ■Полную производную по времени от функциипомощью скобок Пуассона представить в виде,, ,можно с,где - функция Гамильтона. Отсюда следует, что если функция не зависитявно от времени и , =0, то функция является интегралом движения.Задача 14.4. Покажите, что функция Гамильтона является инвариантной поотношению к бесконечно малому каноническому преобразованию,генерируемому производящей функциейε,где ε1, а,- интеграл движения.107  ,,□ С помощью (14.3) получаем каноническое преобразование, порождаемоефункцией, :,ε,,ε14.10.Видно, чтоε иε , поэтому с точностью до членовпервого порядка малости по ε каноническое преобразование 14.10 можетбыть представлено в виде:δδ,,ε,Изменение функции Гамильтонаδ,ε,14.11.при преобразовании (14.11)δ,εδε ,Н .Поскольку функцияпо условию задачи есть интеграл движения, то,Н0, и, следовательно, δ0.

■Важное свойство скобок Пуассона заключается в том, что если и два интеграла движения, то величина,также является интеграломдвижения. Однако следует заметить, что далеко не всегда таким способомудается получить новый интеграл движения. В некоторых случаях можнополучить тривиальный результат – скобки Пуассона сведутся к постоянной.В других случаях полученный интеграл может оказаться просто функциейисходных интегралов и . Если же ни тот, ни другой случай не имеютместа, то скобки Пуассона дают новый интеграл движения.Задача 14.5.

В однородном поле тяжести движется частица массы.Известны два интеграла движения (см. задачу 5.4): проекция импульсаи проекция момента импульса(ось направленавдоль силы тяжести). Найдите третий интеграл движения.108  □ Для нахождения третьего интеграла движения найдем, что скобка Пуассона,.В рассматриваемом случае скобка Пуассона дает новый интеграл движения– проекцию импульса на ось . ■Задачи для самостоятельного решения68. Найдите каноническое преобразование, порождаемое производящейфункцией, ,,.2 . Найдите каноническое преобразование69.

Функция Гамильтонаи новую функцию Гамильтона, если производящая функция12, ,.70. Найдите каноническое преобразование, порождаемое производящейфункцией, ,,где , -константы. Запишите в новых переменных уравнения Гамильтонадля свободной частицы.71. Найдите каноническое преобразование, задаваемое производящейфункцией, ,12.Запишите уравнения движения в переменныхосциллятора, на который действует внешняя силаидля гармонического.72. Проверьте выполнение условий (14.9) для канонического преобразованияиз задачи 67.109  73. Докажите соотношения:а,; б,.74.

Докажите соотношения:а)д),,,2 ; б),,,2 ; в),,;,; г),,;.75. Докажите тождество Якоби:,,,,,,0.76. Покажите, что уравнения Гамильтона можно записать в виде,,1,2, … ,,.77. Покажите, что функция, ,является интегралом движения свободной частицы.§ 15. Уравнение Гамильтона­Якоби Пусть механическая система сстепенями свободы описываетсяфункциейЛагранжа, ,…, , , ,…, ,и,,…,есть закон движения данной системы.

Тогдавеличина,,…,,,,…,,,,…,,,рассматриваемая как функция значений координатпри фиксированных, удовлетворяет уравнениюначальных их значениях,,…,,,110  ,…,,0,15.1где,,- функция Гамильтона, в которой обобщенные импульсывыражены через функцию , посредством соотношений1,2, … ,.Уравнение (15.1) называется уравнением Гамильтона-Якоби, а функция, - действием системы.Полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби называется решениеэтого уравнения,,…,, ,,,,…,зависящее от произвольных независимых константаддитивной постоянной .,,…,, помимоРассмотрим функцию, ,как производящую функциюканонического преобразования, зависящую от старых координат , , … ,и новых импульсов , , … , .