П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 3

Сферический маятник. Найдите функцию и уравнения Лагранжадля точки, движущейся по абсолютно гладкой поверхности сферы радиусав однородном поле тяжести.□ В качестве обобщенных координат удобно выбрать углы θ и ϕ сферическойсистемы координат. Полярную ось сферической системы координатнаправим вертикально вниз, а начало отсчета системы совместим с центромсферы. Связь в этом случае имеет вид, откуда0. Используярезультат задачи 3.1 (б), находим кинетическую энергию точки:.2Начало отсчета потенциальной энергии выберем в центре сферы.

Тогда.19  Теперь составим функцию Лагранжа:.2Поскольку в данной задаче имеются две обобщенные координаты, тоуравнений Лагранжа также будет два:0,sin 20.■Задача 3.4. Двойной плоский математический маятник. Шарик массыприкреплен к точке подвеса с помощью нерастяжимой нити длиной . Кэтому шарику прикреплена невесомая нить длиной , на конце которойнаходится шарик массы(рис. 3.1). Найдите функцию и уравненияЛагранжа системы для случая ееxдвиженияввертикальнойOплоскости. ϕ1l1Координатыи□ Данная система имеет двестепени свободы. В качествеобобщенных координат выберемm1углыиотклонения нитейl2и ,соответственно,отϕ2вертикали. Оси и направим так,m2как показано на рисунке, а началоyотсчетасистемыкоординатРис.

3.1выберем в точке крепления нити .От этого же уровня будем отсчитывать потенциальную энергию.точкиможно представить в виде:,,откуда,.20  Кинетическая энергия точкиесть2,2.а ее потенциальная энергияКоординатыиточкизапишутся следующим образом:,.Отсюда следует, что,.Кинетическая и потенциальная энергии точки222равны,cos.Функция Лагранжа всей системы22cos.Уравнений Лагранжа в данной задаче будет два:0,0.Производя дифференцирование, находим:coscossinsin0,0.■Задача 3.5.

Составьте уравнения движения частицы, движущейся поабсолютно гладкой поверхности вертикального цилиндра радиусаводнородном поле тяжести.□ Данную задачу удобно решать в цилиндрической системе координат.Начало отсчета системы выберем в центре нижнего основания цилиндра, а21  ось направим вертикально вверх. За ноль потенциальной энергии примемнижнее основание цилиндра. В качестве обобщенных координат возьмемкоординаты ϕ и .Кинетическая и потенциальная энергии точки запишутся в виде:,2.Функция Лагранжа,2а уравнения Лагранжа по переменным ϕ иесть:0,0.

■Задача 3.6. Покажите, что уравнения Лагранжа (3.1) не изменяются, есливместо функции, , взять функцию, ,,, ,,где, – произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функциякоординат и времени.□ Запишем выражение для полной производной функции,βпо времени:.ββ,Из этого равенства можно получить два соотношения:αβββαααα,3.5.3.6Используя равенство (3.6), находим:αβα22  ββα.3.7В силу того, что функция,дважды непрерывнодифференцируемая, можно изменить порядок ее дифференцирования попеременным α , β , и записать соотношение (3.7) в видеαβ, ,Подставляя функциюполучим:αααβαβα.3.8в (3.1) и учитывая (3.5) и (3.8),ββββααβαβαα0.Отсюда имеемαα0,что совпадает с уравнением Лагранжа для функции .

■Задачи для самостоятельного решения12. Напишите функцию Лагранжа свободной материальной точки массыцилиндрических координатах.13. Длина математического маятника изменяется по законуфункцию Лагранжа и уравнение движения маятника.в. Найдите14. Два математических маятника одинаковой длины и массысвязанымежду собой пружиной жесткости , закрепленной на расстоянии от точкиподвеса (рис. 3.2). Найдите функцию и уравнения Лагранжа для даннойсистемы, считая углы отклонения маятников от положения равновесиямалыми.23  15. Две точки с массамиисоединены невесомой и нерастяжимойнитью, перекинутой через гладкий неподвижный блок (рис. 3.3).

Найдитефункцию Лагранжа и уравнение движения грузов.16. Через гладкий неподвижный блок перекинута невесомая и нерастяжимаянить, к одному из концов которой привязан груз массы. На другом концеповис человек массы, который, выбирая веревку, поднимает груз,оставаясь при этом на одном и том же расстоянии от Земли. Найдитефункцию Лагранжа системы и уравнение движения груза.17.

Точка подвеса математического маятника движется в вертикальномнаправлении по закону2(). Найдите функцию Лагранжа иуравнение движения маятника.18. Точка подвеса математического маятника движется по горизонтали позакону. Найдите функцию Лагранжа и уравнение движения маятника.19. Точка подвеса математического маятника равномерно движется ввертикальной плоскости по окружности радиуса с угловой скоростью ω.Найдите функцию Лагранжа и уравнение движения маятника.ϕϕ12aakm1m2mmРис. 3.2xРис.

3.3§  4.  Уравнения  Лагранжа  при  наличии  диссипативных  и электромагнитных сил До сих пор мы рассматривали механические системы с голономнымиидеальными связями при наличии потенциальных сил. Для таких системфункция Лагранжа. Запишем теперь функцию Лагранжа приналичии:24  1) диссипативных сил, а именно сил сопротивления, пропорциональныхскорости частицы;2) электромагнитных сил.действует сила1) Диссипативные силы. В случае если на частицу массысопротивления вида( - коэффициент пропорциональности)функцию Лагранжа можно представить в виде,2гдесил.,,4.1- потенциальная энергия, действующих на частицу потенциальныхЗадача 4.1.

Покажите, что уравнения Лагранжа с функциейприводят к уравнению, описывающемуматериальной точки при наличии диссипативной силыпотенциальной силы .вида (4.1)движениеи□ Сначала найдем, что,и, следовательно,.Производная от функции (4.1) поравна.Ноесть по определению сила .С учетом этого уравнение Лагранжа принимает вид:0.и перенося последние два членаСокращая обе части этого уравнения навправо, получим искомое уравнение движения:25  .■Задача 4.2. Материальная точка массыдвижется по параболе,расположенной вертикально в поле тяжести. На точку действует силасопротивления, пропорциональная ее скорости с коэффициентомпропорциональности . Найдите функцию Лагранжа и уравнение движенияточки.□ Направим осьвертикально вверх, и пусть уравнением параболы будет2,0,.4.2В качестве обобщенной координаты выберем .Квадрат скорости точки равен.4.3Дифференцируя (4.2) по времени, находим:.Подставляя это выражение в (4.3), получим:.Кинетическая энергия точки,22а ее потенциальная энергия определяется выражением:2.В соответствии с формулой (4.1) составляем функцию Лагранжа:21.Наконец, пользуясь формулой (3.1), запишем уравнение Лагранжа попеременной :26  10.■2) Электромагнитные силы.

Пусть частица находится в электрическом поленапряженностии в магнитном поле напряженности. Напряженностиэлектрического и магнитного полей могут быть выражены через скалярный φи векторный потенциалы:1φ,4.4,4.5где- скорость света. В прямоугольной декартовой системе координатоперации градиент и ротор записываются в виде:φφφφφ,4.6,4.7где,,– орты прямоугольной системы координат, а, ,проекции векторана оси координат. С учетом (4.6) и (4.7) запишемуравнения (4.4) и (4.5) в проекциях на оси прямоугольной декартовойсистемы координат:1φ,φ1,,,φ1.,4.84.9С помощью скалярного и векторного потенциалов функцию Лагранжачастицы массы и заряда , находящейся в электромагнитном поле, можнозаписать следующим образом:27  , ,φ.,24.10Задача 4.3. Покажите, что уравнение движения4.11частицы массыи заряда , находящейся в электромагнитном поле (см.задачу 1.3), получается из уравнений Лагранжа, в которых в качествефункции Лагранжа взята функция (4.10).□ Составим уравнения Лагранжа для функции (4.10).

Сначала найдем, чтоφ,.4.12Аналогичные соотношения имеют место для переменных и . Подстановка(4.12) в уравнение Лагранжа по переменной , т.е. в уравнение0,приводит к равенствуφ0.Перенося в этом уравнении все силы в правую часть и группируя слагаемые,получаем:φ.4.13С учетом формул (4.8) и (4.9) замечаем, что первые два члена в правойвектора напряженностичасти (4.13) есть умноженная на заряд проекцияэлектрического поля на ось , а в круглых скобках стоят проекцииивектора напряженности магнитного поля на оси и , соответственно.Теперь уравнение (4.13) можно переписать в виде.28  4.14Абсолютно аналогично можно получить уравнения Лагранжа дляпеременных и :,4.15.4.16Вспоминая определение векторного произведения, видим, что вкруглых скобках равенств (4.14)-(4.16) стоят проекции векторногопроизведения, и, следовательно, уравнения Лагранжа (4.14)-(4.16)эквивалентны уравнению (4.11).

■Задача 4.4. Найдите в цилиндрических координатах функцию Лагранжа иуравнения движения частицы массыи заряда , находящейся воднородном магнитном поле , если векторный потенциал задан в виде12.□ Направим ось цилиндрической системы координат вдоль векторацилиндрических координатах радиус-вектор.В.Векторный потенциал102121200.4.17Учитывая (4.17) и то, что в цилиндрической системе координатпроекция скорости(см. приложение), находим функцию Лагранжа,в которой в качестве обобщенных координат выступают переменные , , :2,22.Теперь составим уравнения Лагранжа:0,229  4.180,4.190.4.20Уравнения (4.18)-(4.20) есть искомые уравнения движения точки. Отметим,что векторный потенциал однородного магнитного поля всегда можно1представить в виде. Другой способ задания векторного2потенциала однородного магнитного поля приведен в задаче 22.

■Задача 4.5. Найдите функцию Лагранжа для частицы массынаходящейся в поле электрического диполя.□Электрическимдиполемназывается система из двухравных по абсолютной величинеи противоположных по знакуэлектрических зарядов0и0, расстояниемеждукоторыми мало по сравнению срасстояниемдорассматриваемых точек поля (вкоторых находится частица).Схематичнорассматриваемаяz система изображена на рис. 4.1.qr’rθ-eaРис. 4.1и заряда ,e– расстоянияПусть идо частицы от зарядови , соответственно. Направим полярную ось (осьна рисунке) сферической системы координат вдоль диполя, а начало отсчетасовместим с зарядом.Потенциал диполя в точке нахождения заряда1φВыразим с помощью теоремы косинусов2В равенстве (4.22) мы пренебрегли членомПодставляя (4.22) в (4.21), находим:30  1.черезθравен4.21и θ:2θ., поскольку по условию4.22.1φ11 .4.23θ2Разлагая в выражении (4.23) второй член в скобках по ⁄ , имеем:112θ,1θи, следовательно,φгдеθθ,есть дипольный момент.В сферических координатах кинетическая энергия (см.