Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах, страница 7

tg ϕ =sin θ(1 − cos θ ) (1 + Eф / ( mc2)), ϕ = 0,94 рад = 54D .Задача 1.15 (Изменение частоты фотона.) Фотон с частотойν = 6 ⋅ 1019 Гц взаимодействует с покоящимся свободным электроном. Определить частоту ν′ фотона, рассеянного назад.Решение. Так как θ = 180° , λ = c / ν , λ′ = c / ν′ , то формула2 π=λ′ − λ =(1 − cos θ ) (1.64) для эффекта Комптона принимает видmcνν′ =.(1.68)1 + 4π=ν /(mc 2 )На основании данных задачи4π=ν ( mc 2 ) = 4π ⋅ 10−34 ⋅ 6 ⋅ 1019(0,9 ⋅10−30 ⋅ 9 ⋅1016 ) ≈ 0,93 .Таким образом, частота уменьшается приблизительно в двараза:Гл. 1.

Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоныν′ =Ответ. ν′ =ν1 + 4 π=ν / ( mc 2 )ν21 + 4 π=ν / ( mc )≈396 ⋅ 1019Гц ≈ 3 ⋅ 1019 Гц .1 + 0,93≈ 3 ⋅ 1019 Гц.Приложение 1.1. Интенсивность и вероятность. Флуктуацииинтенсивности в световом пучкеСреднее число фотонов в пучке света, пересекающих поперечное сечение площадью Σ за время Δt , равноN ф = ( c Δt ⋅ Σ) ⋅ nф .Точное число фотонов Nф в объеме V = (cΔt ⋅ Σ) отличается отсреднего, а величина δN ф = N ф − N ф называется флуктуацией.Флуктуация δNф вычисляется так же, как и флуктуация числамолекул газа в объеме V. Вероятность обнаружения заданного числа частиц в объеме V описывается биномиальным законом распределения. При этом среднее значение числа фотонов в объеме Vравно N ф = N ф ⋅ κ , где κ – вероятность нахождения фотона в рассматриваемом объеме.

Среднеквадратичное отклонение от среднего значения равно σ N = N ф κ (1 − κ ) .Относительная флуктуация числа частицσNNф∼1Nфуменьшается с ростом числа частиц. В классическом пределе( N ф >> 1 ) флуктуациями можно пренебречь. В случае же, когдаконцентрация фотонов порядка единицы ( N ф > 1 ), квантовыефлуктуации становятся существенными.С. И. Вавиловым наблюдались флуктуации интенсивностисвета в видимом диапазоне.

Флуктуации интенсивности регистрировались человеческим глазом, обладающим порогом чувствительности: при интенсивности света ниже порога чувствительностиВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ40глаз не регистрирует вспышки света. В опыте С. И. Вавилова источник света создавал периодическую последовательность вспышек. При достаточной интенсивности (выше порога чувствительности) глаз регистрировал все вспышки. При интенсивности вблизипорога чувствительности благодаря флуктуациям интенсивностичасть вспышек содержала число фотонов ниже порога чувствительности и не регистрировалась глазом. Вспышки, число фотоновв которых было выше порога чувствительности, регистрировалисьне периодически, случайным образом, что явилось доказательствомстатистических флуктуаций числа фотонов в отдельных вспышкахсвета.Приложение 1.2.

Электромагнитные волны в плазмеГазовая плазма – частично или полностью ионизованный газ, вкотором плотности положительных и отрицательных зарядов практически одинаковы. Газовая плазма обладает высокими концентрациями свободных электронов и ионов, но в среднем электрическинейтральна.В плазме существует много различных типов электромагнитных волн в зависимости от состояния плазмы, ее конфигурации,наличия внешних электрических и магнитных полей. В отсутствиеполей в холодной изотропной плазме существуют две моды собственных колебаний: продольные и поперечные волны.

Для поперечных волн закон дисперсии имеет видωt ( k ) = ω2р + k 2 c 2 ,где ω p =(1.69)e 2ne– плазменная частота, ne – средняя концентрацияε0 mэлектронов, m – их масса, e – заряд, k – волновой вектор волны.Аналогично описанию волн в вакууме, как потока фотонов,каждой поперечной плазменной волне с частотой ωt ( k ) и волновым вектором k ставятся в соответствие частицы с энергией=ωt ( k ) и импульсом =k , называемые поперечными плазмонами.Концентрация плазмонов связана с интенсивностью плазменной волны и вычисляется, как и для фотонов, по формуле (1.13):nф =ε ( ωt ) ε0E02,2=ωtГл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны41где ε ( ωt ) – значение диэлектрической проницаемости плазмы начастоте поперечной плазменной волны, а E0 – амплитуда плазменной волны.Через концентрацию nф выражается плотность энергии=ωt ( k ) nф и плотность импульса =k nф плазменных волн.Благодаря введению частиц, подобных поперечным плазмонам, излучение, поглощение и взаимодействие электромагнитныхволн в плазме описывается как рождение, поглощение и упругоевзаимодействие частиц.Задачи для самостоятельного решенияЗадача D1.1. Изотропный источник испускает свет с длинойволны λ = 470 нм.

Световая мощность источника W = 10 Вт. Считая источник точечным, найти:а) среднее число фотонов, испускаемых источником света вединицу времени;б) среднюю концентрацию фотонов на расстоянии r = 1,5 мот источника.dN W λWλ== 2,36 ⋅ 1019 c −1 , б) n = 2 2 2 =Ответ. а)dt 2π=c8π c = r= 2,79 ⋅ 109 м −3 .Задача D1.2.

Лазерный импульс длительностью τ = 0, 2 мс сфокусирован в пятно диаметром d = 10 мкм на поверхность, перпендикулярную к направлению распространения света. Коэффициентотражения поверхности R = 0,5, а энергия лазерного импульсаE = 7 Дж . Найти среднее давление светового импульса на поверхность.4 E (1 + R )≈ 3,2 ⋅ 109 Па .Ответ. P =2cτπdЗадача 1.3. Световая волна с интенсивностью I = 0, 4 Вт/см2падает под углом θ = 45D на плоскую зеркальную поверхность скоэффициентом отражения R = 0,9 . Рассчитать с помощью кор-42ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХпускулярных представлений значение нормального давления, оказываемого светом на эту поверхность.I (1 + R ) cos2 θ= 1,3⋅ 10−5 Па.Ответ.

P =cЗадача D1.4. Исходное напряжение на рентгеновской трубкеравно V0 = 18 кВ. При увеличении напряжения на ΔV длина волныкоротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на Δλ = 21 пм. Найти изменение напряжения ΔV нарентгеновской трубке.⎡ eΔλ V0 ⎤Ответ. ΔV = V0 ⎢1 −2πc= ⎥⎦⎣−1≈ 26 кВ.Задача D1.5. Поверхность металла поочередно освещалась светом с длинами волн λ1 = 0,40мкм и λ 2 = 0,60мкм . В обоих случаях наблюдались фотоэлектроны, максимальные скорости которых отличались друг от друга в n = 3,0 раза. Найти работу выходаэлектронов из этого металла.Ответ. ΔAвых =(2π c = n 2 − λ 2 / λ1()eλ 2 n 2 − 1) = 1,93эВ .Задача D1.6. После рассеяния на свободном покоившемсяэлектроне длина волны фотона составила α = 125% от первоначального значения. Энергия электрона после взаимодействияEe1 = 0,7 МэВ .

Найти энергию фотона до рассеяния.Ответ. Eф =(α Ee1 − mc 2α − 100) = 1,0 МэВ .Задача D1.7. Фотон с энергией Eф = 1 МэВ рассеялся под углом θ = 60° на покоившемся свободном электроне. Найти энергиюEe1 электрона после рассеяния.Ответ. Ee1 =Eф2 (1 − cos θ ) + m 2c 4Eф (1 − cos θ ) + mc 2= 0,75МэВ .Гл.2. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля43Глава 2ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ§3.1.

Уравнения де Бройля. Длина волны де БройляИтак, свет можно рассматривать, с одной стороны, как электромагнитные волны, а с другой стороны — как поток фотонов. Водних условиях свет проявляет волновые свойства (интерференция,дифракция), в других — корпускулярные свойства (фотоэффект,эффект Комптона).В 1924 г. Л. де Бройль высказал гипотезу, согласно которойкорпускулярно-волновой дуализм присущ всем без исключенияматериальным частицам: всякой движущейся частице можно сопоставить бегущую волну. Использование аналогий между механикой и оптикой позволило де Бройлю теоретически описать волновые свойства частиц.

Идея де Бройля изменила физическую картину мира.В соответствии гипотезой де Бройля каждая частица обладаеткак корпускулярными, так и волновыми свойствами, которые онапроявляет на объектах, размеры которых сравнимы с длиной волнычастицы.Уравнения де Бройля⎧ E = =ω ,(2.1)⎨⎩ p = =k ,где = = 1,055 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с – постоянная Планка, связывают энергиюЕ и импульс p, описывающие состояние частицы, с характеристиками волны де Бройля этой частицы: частотой ω и волновым вектором k.Для свободно движущейся частицы с импульсом, направленным вдоль оси ОХ, волна де Бройля (волновая функция) являетсяплоской гармонической волной:Ψ ( x, t ) = C exp ⎣⎡i ( ωt − kx ) ⎤⎦ .(2.2)Закон дисперсии Е = Е(p) для свободной частицы с массой m,волновая функция которой описывается уравнением (2.2):ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ44p2.(2.3)2mВажное отличие корпускулярно-волнового дуализма частиц откорпускулярно-волнового дуализма света заключается в интерпретации интенсивности волны, пропорциональной квадрату амплитуды.Если квадрат амплитуды световой волны определяет концентрацию фотонов, то физический смысл квадрата модуля волновойфункцииE=2Ψ (r , t ) = Ψ (r , t )Ψ ∗ (r , t )(2.4)есть плотность вероятности обнаружения частицы в момент времени t в окрестности точки с координатой r при условии нормировки:∫ Ψ ( x, y , z , t )2dxdydz = 1 ,(2.5)spгде интегрирование производится по всему пространству (space).Статистическая интерпретация волновой функции была данаМ.

Борном в 1926 г.Задача 2.1. Вычислите длины волн де Бройля для электронаλ e , движущегося со скоростью 10 000 км/с, и автомобиля λ a массой 2 т, движущегося со скоростью 144 км/ч.2π=Решение. Согласно уравнению де Бройля (2.1) p = =k =:λ2 π=2π ⋅ 10−34λe === 7,3 ⋅ 10−12 м ,me ve 0,9 ⋅ 10−30 ⋅ 107λa =2 π=6,62 ⋅ 10−34== 8,3 ⋅ 10−39 м .ma va 2000 ⋅ 144 ⋅ 10 36Таким образом: λ e λ a ≈ 1027 .Ответ. λ e = 7.3 ⋅ 10−12 м , λ a = 8,3 ⋅ 10−39 м .Вопросы для самопроверки1) Во сколько раз изменится длина волны де Бройля электрона,если увеличить его скорость в 3 раза?Гл.2. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля452) Во сколько раз длина волны де Бройля протона отличаетсяот длины волны де Бройля электрона, если они движутся с одинаковыми скоростями?3) Для каких частиц будет существенным проявление корпускулярно-волнового дуализма в структуре кристаллической решеткис периодом a = 0,3 нм?Ответ.: 1) Уменьшится в 3 раза.

2) Меньше в ~ 1 900 раз.3) Для частиц, длина волны де-Бройля которых сопоставима с периодом кристаллической решетки (например, для электронов в металле).Задача 2.2. Вычислите длины волн де Бройля для фотона исвободных частиц: электрона, протона и атома урана, имеющихкинетическую энергию 156 эВ.Решение.