Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах, страница 4

Чтобы вычислить эту энергию, приходитсяввести еще одну характеристику — концентрацию фотонов nф(число фотонов, приходящихся на единицу объема V = 1м3 электромагнитного поля). Тогда энергия фотонов в объеме ( cdtΣ)Eф = nф ⋅ =ω⋅ ( cdtΣ) ,(1.10)а плотность энергииϖ = nф =ω ,(1.11)и интенсивность волны (средняя плотность потока энергии)Eф= nф=ω⋅ c .I=(1.12)ΣdtСравнивая (1.8) и (1.11), видим, что плотность энергии с однойстороны (волновой), пропорциональна квадрату амплитуды, а сдругой стороны (корпускулярной) – концентрации фотонов:1ϖ = εε0E02 = nф=ω .(1.13)2При неизменной частоте источника и увеличении его мощности, например, в два раза, амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей возрастают в 2 раз (волновое описание), и в два раза возрастает средняя концентрация фотонов (корпускулярное описание).Аналогично (1.10)–(1.12) находим импульс фотонов, заключенных в объеме ( cdtΣ) :Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны17=ω⋅ (cdt Σ) ,(1.14)cгде =ω / c = =k = pф — импульс одного фотона (см. (1.2) и (1.4));и среднюю плотность потока импульса:pΣфI= nф =ω = ϖ = .(1.15)dt ΣcВ табл. 1.1 приведены соотношения характеристик, используемые для описания света в корпускулярной и волновой моделях.pΣф = nф ⋅Таблица 1.1Основные характеристики света, их соотношения в рамках волновой и корпускулярной моделейСветКорпускулярная теорияВолновая теорияE = E0 cos ( ωt − kx )Eф = =ωB = B0 cos ( ωt − kx )E = cB , [ E / E , B / B ] = k / kpф = =kЗакон дисперсииEф = cpω = ckСредняя плотность энергииεεϖ = 0 E022ϖ = nф=ωИнтенсивность (средняя плотность потока энергии) I = c ϖI =cεε0 2E02I = cnф=ωСредняя плотность потока импульсаI /ccnф=kЗадача 1.1.

Длины волн видимой части спектра расположены впределах от λ = 0, 4 до λ = 0,75 мкм. В каких пределах заключеныэнергии квантов видимого света? Какой скоростью ve должен обладать электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона видимого света?ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ18Решение. Энергию фотона выразим через длину волны:Eф = =c ( 2 π λ ) (см.

(1.6)). При заданном в задаче интервале изме-нения длин волн энергия фотонов лежит в пределах2π ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 1080,75 ⋅ 10−6=2,5 ⋅ 10−19 Дж < Eф <2π ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 1080,4 ⋅ 10−6= 4,7 ⋅ 10−19 Дж.(1.16)Для столь малых значений энергии принято использовать единицу энергии электрон-вольт:1эВ = 1,6 ⋅ 10−19 Дж .Тогда для энергии фотонов1,6 эВ < Eф < 2,9 эВ (рис. 1.1).видимого(1.17)светаимеемПри равенстве кинетической энергии электрона энергии фотона, его скорость равна ve = 2 Eф / m , где m = 9,11 ⋅ 10−31 кг – массасвободного электрона.

Интервалу энергий (1.16) соответствует интервал скоростей для электрона (см. рис. 1.1)0,73 ⋅ 106 м/с < ve < 1,0 ⋅ 106 м/с .Верхняя предельная скорость электрона в 300 раз меньше скорости фотонов.Ответ. 1,6 эВ < Eф < 3,2 эВ , 0,73 ⋅ 106 м/с < ve < 1,0 ⋅ 106 м/с .Рис. 1.1. Диапазон длин волн λ и энергии Еф фотонов соответствующий видимойобласти спектра.

Скорости v электронов, обладающих энергией, равной энергиифотонов.Задача 1.2. Интенсивность светового потока от Солнца наЗемле в полдень составляет около I = 1,3 кВт/м2. Считая свет моно-Гл. 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны19хроматическим с длиной волны λ = 0,6 мкм, определить концентрацию фотонов у поверхности Земли.Решение. Из формулы для интенсивности (1.12) с учетом (1.5)находимnф =IIλ1,3 ⋅ 103 ⋅ 0,6 ⋅ 10−6==≈ 1,3 ⋅ 1013 м −3 = 1,3 ⋅ 107 см −3 =c =ω 2π=c 2 2 π ⋅ 10−34 ⋅ (3 ⋅ 108 )2= 13 млн фотонов в см3.Ответ: nф =Iλhc2= 1,3 ⋅ 1013 м −3 .Задача 1.3.

Какой скоростью ve должен обладать электрон,чтобы иметь такой же импульс, как и фотон с λ = 0,1 нм?Решение. Импульс фотона равен pф = h / λ , релятивистскийимпульс электрона – pe =mve1 − ve2 / c 2. Из записанных соотноше-ний, с учетом условия задачи pф = pe получаемve ==pфm 2 + ( pф / c )2=c1 + ( λmc / h )2=3 ⋅ 108(1 + 0,1 ⋅ 10−9 ⋅ 0,9 ⋅ 10−30 ⋅ 3 ⋅ 108 (6,6 ⋅ 10−34 )Ответ.

ve =c1 + ( λmc / h )2)2≈ 7 ⋅ 106 м/с ≈c.40≈ 7 ⋅ 106 м / с .§1.2. Работа выхода. Внешний фотоэффект и его законыРассмотрим кристаллический металл. В узлах кристаллическойрешетки находятся атомы металла. Каждый атом отдает свои валентные электроны «в общее пользование», превращаясь в положительно заряженный ион. Валентные электроны могут перемещаются по всему объему металла. Таким образом, каждый валентный электрон электрически взаимодействует сразу со всеми иона-20ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХми кристаллической решетки металла (их концентрация очень велика: порядка 1023см–3). Однако, чем дальше электрон от какоголибо иона, тем слабее к нему притяжение.Благодаря силам притяжения электрона ко всем ионам решетки, электрон остается в объеме металла, как в потенциальном ящике.

Следует отметить, что силы отталкивания отдельного электронаот всех других свободных электронов металла ослабляют результирующую силу притяжения, уменьшают глубину потенциальнойямы. Глубина потенциальной ямы U0 различна для разных металлов и определяет ту минимальную энергию, которую необходимосообщить электрону, чтобы он покинул металл и стал «понастоящему» свободным. Эта энергия называется работой выходаΔAвых .Как можно сообщить электрону энергию, равную работе выхода?Это можно сделать, например, нагревая металл. При определенных температурах наблюдается эмиссия электронов. Это явление называется термоэлектронной эмиссией, а вышедшие электроны — термоэлектронами.Другой способ высвобождения электронов из металла — внешний фотоэффект.Фотоэффект — испускание электронов твердыми телами (илижидкостями) при поглощении фотонов.

При этом энергия фотоновпередается электронам вещества (фотокатода), так что электроныприобретают возможность покинуть фотокатод (внешний фотоэффект).Пусть на поверхность металла падает свет. Рассмотрим следующую модель внешнего фотоэффекта. Каждый падающий наметалл фотон поглощается одним электроном, находящийся вблизиповерхности. Если энергия фотона удовлетворяет соотношению=ω ≥ ΔAвых , то электрон вырывается из металла. Излишек энергиифотона переходит в кинетическую энергию электрона, максимальное значение которой Eмакс линейно возрастает с частотой падающего света:=ω − ΔAвых = Eмакс .(1.18)Полученное соотношение называется уравнением Эйнштейна.Выбитые фотонами электроны (фотоэлектроны) образуютвблизи поверхности металла электронное облако. Электроны в об-Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны21лаке в общем случае имеют скорости, направленные в разные стороны. Для регистрации фотоэлектронов необходимо создать поблизости на другом металлическом электроде (аноде) положительныйпотенциал относительно фотокатода. Тогда выбитые электроныприобретают дополнительную скорость движения в направлении каноду (рис. 1.2), т.е. течет электрический ток — фототок, которыйможно зафиксировать амперметром (гальванометром Г).Рис. 1.2. В сосуде воздух откачандо состояния вакуума. Два электрода А (анод) и K (катод) подключены к источнику питания ИП. Дляизмерения силы тока используетсягальванометр Г, а напряжения –вольтметр В.

Через окно O пучоксвета падает на поверхность катодаK под углом θ к нормали.Из уравнения Эйнштейна следует, что работа выхода определяет минимально возможную частоту света =ωmin = ΔAвых , прикоторой фотоэффект наблюдается (I закон фотоэффекта).Поскольку работа выхода – характеристика вещества катода,то из (1.18) следует также, что максимальная кинетическая энергияфотоэлектронов у поверхности катода линейно зависит от частотыпадающего света и не зависит от интенсивности падающего света(III закон фотоэффекта).Даже при отсутствии разности потенциалов между катодом ианодом, некоторое количество электронов, чьи скорости направлены к аноду, попадают на анод, создавая ток J(0). С ростом по модулю отрицательного напряжения V < 0 (при отталкивающем потенциале) сила тока уменьшается, достигая нуля при напряженииV = V0 < 0 , называемом запирающим напряжением. При V > 0сила фототока растет: J > J (0), и стремится к насыщениюJ → J нас .

Насыщение достигается тогда, когда все выбиваемыефотоэлектроны попадают на анод (рис. 1.3).Вычислим силу тока насыщения и определим, от каких параметров зависит его величина. Число dN e выбитых электронов завремя dt равно числу dN ф падающих фотонов за то же время. Ес-22ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХли поток фотонов направлен под углом θ к нормали поверхностиметалла, то dN ф = nф ⋅ ( Σcdt cos θ ) иdN e = nфc(Σ cos θ)dt ,(1.19)где Σ — площадь освещаемой поверхности, (Σcdt cos θ) — объемсветового пучка, фотоны которого достигают катода за время dt.В режиме насыщения все dN e достигают анода.

Причем, учитываянепрерывность электрического тока, dN e электронов поступают наанод каждые dt секунд. Таким образом, сила фототока насыщенияравнаdq e ⋅ dN eJ ф нас === enфcΣ cos θ(1.20)dtdtили, учитывая (1.12),eJ ф нас =(1.21)( I ⋅ Σ cos θ ) .=ωВыражение в скобках ( I ⋅ Σ cos θ ) — поток световой энергии,падающий на поверхность с площадью Σ под углом θ к нормалиповерхности.Рис.

1.3. Зависимость силы фототока J отразности потенциалов V между анодом икатодом фотоэлемента при интенсивностях падающего света I1 и I 2 ( I 2 > I1 ).Таким образом, сила фототока насыщения J ф нас пропорциональна интенсивности I падающего света и не зависит от материала катода (II закон фотоэффекта).С увеличением интенсивности света фототок насыщения увеличивается и достигаться он будет при бо′льших значениях напряжения.Итак, сформулируем все три закона фотоэффекта:Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны231. Существует красная граница фотоэффекта – граничнаячастота ωmin , ниже которой для данного материала фотоэффектотсутствует: =ωmin = ΔAвых .2. С увеличением напряжения на фотоэлементе сила фототокаJ достигает насыщения. Значение силы тока насыщения J ф нас прификсированной частоте падающего света прямо пропорциональноего интенсивности I : J ф нас = ( e =ω)( I ⋅ Σ cos θ ) .3. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов у поверхности катода линейно зависит от частоты падающего света ине зависит от интенсивности падающего света: Emax = =ω − ΔAвых .Важной особенностью фотоэффекта является его практическаябезынерционность – время запаздывания фототока не превышает10 – 9 с.Задача 1.4. В вакуумном фотоэлементе сила фототока при насыщении достигает значения J нас = 2 ⋅ 10−10 А .