Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах, страница 9

В то же время скорость движениячастицы как волны — есть групповая скорость движения волновоd ω dE=(скорость перемещения главного максимумаго пакета u =dk dpволновой функции), описывающего эту частицу. В квазиклассическом приближении волновой пакет перемещается в пространствепо классической траектории со скоростью движения частицы.Подчеркнем, что при нелинейном законе дисперсии (нелинейной зависимости ω(k ) ) групповая скорость не равна фазовой, как ив рассматриваемом случае свободной частицы.Важные следствия из модели, описывающей движение частицы как движение волнового пакета1) Квадрат амплитуды волнового пакета (рис.

2.2)52ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХC 2 ( x, t ) = C 2 (η) = C02sin 2 ηη2,где η = Δω ( t − x / u ) / 2 , пропорционален вероятности нахождениячастицы в точке (x, t). Из рис. 2.2 видно, что область локализацииволнового пакета не является точечной: с наибольшей вероятностью частица находится в окрестности главного максимума. Обычно размер области локализации Δηloc принимают равным половинерасстояния между первыми нулями функции C2(η), то естьΔηloc ≈ π.2) В фиксированный момент времени (например, при t = 0)η = – x Δk 2 .

Отсюда следует, что условие Δηloc ≈ π, записанное через пространственную координату х, определяет область Δxloc пространственной локализации волнового пакета (рис. 2.2):Δxloc Δk ≈ 2 π,(2.13)или, так как p = = k,Δpx Δxloc ≈ 2π= ,(2.14)где Δk – интервал волновых чисел, соответствующих волновомупакету.Аналогично, положив в условии Δηloc ≈ π, определяющем размер волнового пакета, х = сonst (например, х = 0) при произвольном∂ω⋅ Δk = Δω , получим соотношеt , и учитывая, что ω′0 ⋅ Δk ≡∂k k =k0ние:Δω Δt ≈ 2π,из которого следует, например, что установить экспериментальноналичие монохроматической волны Δω = 0 можно только за бесконечно большое время Δt → ∞.Так как E = =ω , то соотношение неопределенностейΔE ⋅ Δt ≈ 2π=(2.15)трактуется как невозможность точного определения энергии квантовой частицы за ограниченный интервал времени (ΔЕ — неопределенность энергии, измеряемой в течение времени Δt).В общем случае для оценки обычно используют соотношенияΔpx Δx ~ = , Δp y Δy ~ = , Δpz Δz ~ = .(2.16)Гл.2.

Волновые свойства частиц. Волны де Бройля53Приближенные равенства (2.13) – (2.14) являются следствиямисоотношений неопределенностей, открытых в 1927 г. немецкимфизиком В. Гейзенбергом.Пусть среднее значение координаты х частицы равно x , импульса – p x , тогда средняя квадратичная флуктуация координатыδx =( x − x )2 =( x )2 − x2и импульсаδp x =( p x − p x )2 =p x2 − p x2.Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливаетсвязь между δх и δрх:δp x δx ≥=.2(2.17)Соотношение (2.17) является математическим выражением наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств.Второе соотношение неопределенностей ГейзенбергаδE δt ≥ = .(2.18)Соотношение (2.17) накладывает ограничение на точность одновременного определения импульса δрх и координаты δх микрочастицы, соотношение (2.18) – на точность определения энергии δЕв течение времени δt.Таким образом, соотношения неопределенностей устанавливают пределы применимости классической физики.Описывая реальную систему классическими методами и параметрами (координата и импульс), мы используем некоторое приближение, а соотношение неопределенностей показывает степеньего справедливости.Это означает, что поведение микрочастиц (в частности, электронов в металлах) нельзя рассматривать на основе классическихзаконов, если характерные размеры системы (межатомное расстояние и размеры кристалла) сравнимы с длиной волны де Бройляλ = 2π= p частиц.

Реальные микрочастицы не ведут себя подобноточечным частицам классической физики. Классическое описание54ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХдвижения микрочастиц с использованием таких понятий, как закондвижения, траектория движения, является лишь приближенным.Задача 2.5. Оцените минимально возможную энергию электрона в атоме водорода.Решение. Минимальная энергия частицы (энергия основногосостояния) в квазиклассическом приближении определяется величиной минимального импульса Δp :Δp 2.2mВ соответствие с соотношением неопределенностей Гейзенберга минимально возможное значение импульса Δp связано с размером области локализации частицы.Выберем систему отсчета, связанную с ядром атома, тогда:E=x = y = z = 0,Δx = Δy = Δz ≈ 2r.В этом случае, выражения определяющие неопределенностипроекций импульса на декартовы оси координат, могут быть записаны в виде:=Δpx = Δp y = Δpz ≈ .(2.19)2rЗначение кинетической энергии, связанное с неопределенностью импульса Δp :Eк =2222Δp 2 Δp x + Δp y + Δp z3 ⎛ = ⎞==⎜ ⎟ .2m2m2m ⎝ 2 r ⎠Учитывая также потенциальную энергию, получаем следующее выражение для полной энергии атома, которая является функцией расстояния r от ядра до электрона:E (r) =23 ⎛ = ⎞1 e2.−⎜ ⎟2m2r4πεr⎝⎠0 Eк(2.20)UПриравняв нулю первую производную E ( r ) , найдем эффективное расстояние r , соответствующее минимальному значениюполной энергии атома:Гл.2.

Волновые свойства частиц. Волны де Бройля55dE ( r )3 =21 e2=−+=0.dr4 mr 3 4πε0 r 2Следовательно,r=3πε0 = 2.me 2Подставляя полученное выражение для r в (2.20), находим отличное от нуля значение минимальной энергии атома в основномсостоянии:2⎛ 1 ⎞ 2me 4E = −⎜≈ −2,9 ⋅ 10−18 Дж = − 18 эВ .⎟2⎝ 4πε0 ⎠ 3=Ответ. Emin = −2,9 ⋅ 10−18 Дж .Замечания. 1. Полученное значение несколько меньше точного значения E ≈ −2,18 ⋅ 10−18 Дж = −13,6 эВ минимальной энергииатома водорода. Это связанно с тем, что в основе решения задачилежит принцип неопределенности, который позволяет получитьпринципиальный предел значений неопределенности величин импульса Δр при заданной неопределенности координаты Δx .

Фактически – это оценка, позволяющая установить порядок физических величин.2. На основании соотношения неопределенностей значениеэнергии электрона в атоме по порядку величины получилась близким к истинному значению. Поэтому можно сделать вывод, чтоклассическое описание движения внутри атома оказывается невозможным.Задача 3.6. Частица может смещаться по оси ОХ, а положениеравновесия находится в точке с координатой x = 0 (например, равновесное положение атома в молекуле). Масса частицы m . Приотклонении частицы из положения равновесия на нее действуетвозвращающая сила, пропорциональная отклонению ( F ~ x ) , коэффициент пропорциональности kГ .

Оценить, используя соотношения неопределенностей, неопределенность энергии Е частицы.Получить численное значение E1 для случая, когда в качествечастицы рассматривается груз, прикрепленный к одному из концовВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ56стальной пружины, другой конец которой закреплен. Масса грузаm1 = 50г , коэффициент Гука пружины kΓ1 = 0,66 ⋅ 108 Н/ м .абРис. 2.3. х = 0 – положение равновесия частицы (атома в молекуле (а) или груза напружинке (б)), при отклонении от положения равновесия возникает возвращающая сила F ~ x..Решение.

В квантовой интерпретации заданная в условии задачи координата частицы — есть положение главного максимума2Ψ ( x, t ) = C 2 . Полуширина максимума δx (среднеквадратичноеотклонение от среднего значения) связана соотношением неопределенностей с неопределенностью импульса δр (2.17):=δp ≈.(2.21)2δxПоскольку частица покоится, то средние значения импульса икоординаты равны нулю, и величину механической энергии оценим по формуле( δp )2 k Г ( δx ) 2+,(2.22)2m2где δp и δx — неопределенности импульса и координаты частицы.Так как δx мало, а возвращающая сила по условию являетсялинейной функцией отклонения от положения равновесия ( F ~ x ) ,то колебания можно считать гармоническими.

Для таких колебаний среднее значение кинетической энергии равно среднему значению потенциальной:E=( δp )2 k Г ( δx )2.=2m2Решая систему уравнений (2.21) и (2.23), находим:=( δx )2 =.2 kГm(2.23)Гл.2. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля57Подставляя данное значение ( δx )2 в (2.22) и учитывая (2.23),получаем величину неопределенности энергии частицы:= kГE = kΓ ( δx )2 =.2 mКак будет показано ниже (в гл. 3), полученное значение естьэнергия нулевых колебаний квантового гармонического осциллятора:= k Г =ωE==,2 m2где ω = kà / m — частота собственных гармонических колебанийчастицы.При подстановке численных данных находим минимальноезначение энергии для груза на стальной пружине:E1 == k Г1 1,05 ⋅ 10−34=2 m12Ответ.

E =0,66 ⋅ 1085 ⋅ 10−2≈ 2 ⋅ 10−30 Дж .= k Г =ω= k Г1=, E1 =≈ 2 ⋅ 10−30 Дж .2 m12 m2Замечание. Как и следовало ожидать, для макроскопическогообъекта (груз на пружинке), абсолютные значения неопределенности энергии являются пренебрежимо малыми величинами.Задача 2.7. Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками»(см. рис. 2.4). Ширина ямы l . Оценить на основании соотношениянеопределенностей:1) минимально возможную энергию частицы;2) силу давления частицы на стенку ямы при минимально возможной энергии.Решение. Направим ось координат ОХ так, как показано нарис.