Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах, страница 10

2.4. В данном случае можно считать, что среднее значение координаты х частицы равно x = l / 2 , и неопределенность координаты равна δx ≈ l / 2 . Учитывая условие минимальности энергии,можно считать, что значение проекции импульса px приблизительно равно его неопределенности δp x : px ≈ δpx (см. задачу 2.5).58ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХТогда на основании принципа неопределенности Гейзенберга можно записать δpx ⋅ δx ≈ = / 2 (2.17) и, следовательно, δpx ≈ = / l .По условию задачи внутри ямы потенциальная энергия равнанулю, и минимальная полная энергия частицы в яме определяется спомощью соотношения:δp x 2=2≈.(2.24)2m 2ml 2Для нахождения силы F, действующей на стенки потенциальнойямы со стороны частицы, используемпринцип виртуальной работы.Предположим, что одна из стенокямы под действием искомой виртуальной силы F сместилась на бесконечно малое расстояние dl .Рис. 2.4. Частица в одномернойСо стороны «стенки» на частицупрямоугольной потенциальнойдействует такая же по величине, нояме с бесконечно высокимипротивоположная по направлению«стенками».

Ширина ямы l .сила F ′ (по III закону Ньютона). Позакону изменения механической энергии для частицы записываемE=dE = F ′dl .(2.25)Из (2.24) находим изменение кинетической энергииdE ≈ −=2ml 3dlи, подставляя в (2.25), получаем F ′dl ≈ −F = −F ′ ≈=2ml 3dl . Отсюда=2> 0,ml 3то есть частица давит на стенку, а стенка отталкивает частицу с силойF′ ≈ −=2ml 3.Ответ. 1) E ≈ = 2 (2ml 2 ) , 2) сила, удерживающая частицу вяме, F ≈ = 2 /( ml 3 ) .Гл.2. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля59§2.3.

Волновая функция частицыи ее вероятностная интерпретацияЗадача 2.8. Волновая функция некоторой частицы, движущейi ωt − kx )(рис. 2.5). Прися вдоль оси ОХ, имеет вид ψ( x, t ) = Cxe (x < 0 и при x > b > 0 значение С = 0. Определить значение С при0 ≤ x ≤ b . Найти:1) плотность вероятности, с которой частицу можно обнаружить в точке с координатой x = b;2) средние значения x и x 2 в интервале [0, b] .Решение.

1) Прежде всего, необходимо осуществить нормировкуволновойфункции∫ Ψ (r , t )Ψ*( r , t ) dr = 1 .Посколькуspволновая функция отлична от нулятолько при 0 ≤ x ≤ b , то интегралотличен от нуля лишь для данногодиапазона. Положим С = а = constв интервале 0 ≤ x ≤ b . Подставляяволновую функцию в условие нормировки, находимb(∫ axei ωt − kx )0b(axe (2∫ ( ax ) dx =0i ωt − kx )) dx = 1 ,*C 2 b3=1 и3a = 3 / b3 .Таким образом, плотность вероятности обнаружения частицы вточке с координатой x определяется выражением (рис. 2.5):Ψ ( x)2= ( ax ) =23b3x2 .Рис.

2.5. Зависимости Re Ψ ( x ) и| Ψ ( x ) |2 для волновой функции,заданной в условии задачи 2.8.При x = b плотность вероятности Ψ ( x )2=3 b.ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ602) Используя формулу для вычисления среднего значенияϕ( x) =+∞∫ ϕ ( x ) ⋅ f ( x )dx ,−∞где f ( x ) — функция плотности вероятности для х, получаем:bx = ∫ x Ψ ( x)0bx2 = ∫ x2 Ψ ( x )0Ответ.C = 3/ b3 , 1)2b33x3dx = b ;40bdx = ∫23b3x 4 dx = b 2 .50bdx = ∫Ψ ( x)332= 3 x 2 / b3 , 2)x = 3b / 4 ,x 2 = 3b 2 / 5 .Задача 2.9.

Волновая функция частицы имеет видΨ ( x, t ) ~ exp ⎡ −( x / a )2 + i (ωt + bx ) ⎤ .⎣⎦Изобразить графически вид функций Re Ψ ( x ) и Ψ ( x )(2.26)2в мо-мент времени t = 0. Найти границы области локализации частицы.Считать a и b известными постоянными.Решение. Константа С волновой функции⎡ ⎛ x ⎞2⎤Ψ ( x, t ) = C exp ⎢ − ⎜ ⎟ + i (ωt + bx) ⎥⎣⎢ ⎝ a ⎠⎦⎥∞∫Ψопределяется из условия нормировки*( x, t ) Ψ ( x, t )dx = 1 . Ис-−∞∞пользуя табличное значение интеграла∫e− x2dx = π / 2 , находим:01/ 4⎡ 2 ⎤Ψ ( x, t ) = ⎢ 2 ⎥ exp ⎡ −( x / a )2 + i (ωt + bx) ⎤ .(2.27)⎣⎦⎣ πa ⎦1) Запишем волновую функцию (2.27) частицы в момент времени t = 0:Гл.2. Волновые свойства частиц.

Волны де Бройля612⎛ ⎛ x ⎞2⎞− x/aΨ = C exp ⎜ − ⎜ ⎟ + ibx ⎟ = Ce ( ) eibx .⎜ ⎝a⎠⎟⎝⎠Используя формулу Эйлера eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ , находим действительную часть волновой функции:2− x/aRe Ψ = Ce ( ) cos ( bx ) = A ( x ) cos ( bx ) ,(2.28)где1/ 4⎡ ⎛ x ⎞2 ⎤exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ .⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦представляет собой гармоническую⎡ 2 ⎤A( x) = ⎢ 2 ⎥⎣ πa ⎦Таким образом, Re Ψ ( x )функцию cos ( bx ) , модулированную по амплитуде экспоненциально убывающей функцией A(x). Вид зависимости (2.28) представленна рис. 2.6.Рис.

2.6. Зависимость Re Ψ ( x ) для волновой функции (2.26).2) По определению, модулем комплексного числа z называетсявыражение z = z ⋅ z* . Таким образом, исследуемую функциюΨ( x )2можно представить в виде:Ψ ( x)22⎡ x2 ⎤2⎛ −( x / a ) 2 ⎞exp= Ψ ( x ) Ψ ( x ) = ⎜ Ce⎢ −2 2 ⎥ .⎟ =⎝⎠πa 2⎢⎣ a ⎥⎦*ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ62Данное выражение представляет собой симметричную относительно оси ординат экспоненциально убывающую функцию, видкоторой представлен на рис. 2.7.Рис. 2.7.

Зависимость Ψ ( x )Площадь под графиком2для волновой функции (2.26).Ψ( x )2в интервале значенийx1 ≤ x ≤ x2 равна вероятности нахождения частицы в данном интервале значений координаты х. При x → ±∞ плотность вероятно2сти Ψ ( x ) стремится к нулю. Таким образом, частицу можно считать локализованной в той области пространства, где плотностьвероятности ее нахождения «существенно» отлична от нуля. Какаявеличина плотности вероятности является «существенной», а какаянет, определяется из условий конкретной задачи, однако чаще всего в качестве оценки границ области локализации частицы исполь2зуются значения xл , при которых плотность вероятности Ψ ( x )уменьшается в e раз по сравнению с максимальным значением⎡ Ψ ( x) 2 ⎤, т.е.⎣⎢⎦⎥ maxe ⋅ Ψ ( x л ) = ⎡ Ψ ( xm ) ⎤ .(2.29)⎣⎢⎦⎥В данной задаче максимальное значение плотности вероятности достигается при xm = 0 и равно22⎡ Ψ ( x ) 2 ⎤ = Ψ (0) 2 = С 2 .(2.30)m⎢⎣⎥⎦2−2 x / aИз (2.29) и (2.30) имеем e ⋅ C 2 e ( л ) = C 2 и находим координаты границ области локализации частицы:Гл.2.

Волновые свойства частиц. Волны де Бройля63xл = ± a / 2 .Ответ. См. рис. 2.6 и 2.7; xл = ± a / 2 .§2.4. Дифракция и интерференция частицКак проверить справедливость гипотезы де Бройля? Как обнаружить волновые свойства частиц?Если гипотеза справедлива, то должны наблюдаться интерференция и дифракция частиц, например дифракция электронов(корпускул) на щели, размеры которой сравнимы с длиной волныде Бройля для электронов.

А длина волны определяется, в своюочередь, импульсом электронов: из (2.1) следует:2π,p = =k = =λ2 π= 2π=.(2.31)λ==pmvЗадача 2.10. Плоский экранрасположен перпендикулярно оси OZи имеет узкую щель шириной b(рис. 2.8). На экран падает широкийпучок электронов с импульсамиp = p0e z ( p y = 0 , а следовательно,Δy = ∞ ). Интенсивность потока элек- Рис. 2.8.

Дифракция электронов, падающих перпендику-тронов столь мала, что можно пре- лярно на экран со щелью.небречь их взаимодействием и считать, что все электроны движутся к щели с одной и той же скоростью независимо друг от друга. Провести качественную оценкудвижения электронов, используя соотношение неопределенностей.Решение. При прохождении щели неопределенность координаты y становится равной ширине щели Δy = b или δy = b/2, что, посоотношению неопределенностей, автоматически означает появлениенеопределенностиy-компонентыимпульсапорядкаδp y = = (2δy ) = = b , т.

е. появлению y-компоненты у импульсаp y = δp y = = b(2.32)64ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХи волнового вектораk y = δk y = 1 b .(2.33)Неопределенность волнового вектора по координате y приводит к появлению отличной от нуля вероятности отклонения траектории движения электрона на угол θ. В волновой интерпретациипадающая плоская волна с волновым вектором k, направленнымвдоль оси OZ, дифрагирует с образованием плоских волн, движущихся под разными углами θ к оси OZ, с интенсивностью, зависящей от θ.

В основном все траектории попадают в угол 2θm, соответствующий условиям (2.32) и (2.3).Оценить угол дифракции можно, используя неопределенностьимпульса (или волнового вектора, см. рис. 2.9):tgθm =δk ykz=1/ bλ.=2π / λ 2 πb(2.34)Плотность вероятности для дифракции на угол θ пропорциональна квадрату амплитуды волновой функции (2.4) и зависит от θ(аналогично зависимости интенсивности дифрагированной электромагнитной волны, также пропорциональной квадрату амплитуды.Расположим второй экран перпендикулярно оси ОZ (см.рис. 2.9) с датчиками вдоль оси ОХ, регистрирующими число пролетающих электронов в единицу времениdN ( x) δN ( x, x + δx)=(скорость счета),dtdt ⋅ δxгде δN ( x, x + δx ) – число зарегистрированных электронов за времяdt на интервале ( x, x + δx ) .Усредненная за большой промежуток времени картина распределения скорости счета регистрируемых электронов dN ( x ) dtпредставлена на рис.

2.10. Скорость счета – есть плотность вероятности попадания электронов в точку с координатой х на экране.Опытные факты подтверждают, что зависимость dN ( x ) dt имееттакой же графический вид, как и зависимость интенсивности откоординаты экрана при дифракции электромагнитной волны.Гл.2. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля65Рис. 2.9. В результате дифракции электронов, за щелью у волнового вектора электронов появляется составляющая ky и ненулевая вероятность отклонения от первоначального движения вдоль оси OZ.Рис. 2.10. Распределение скорости счета электронов по координате х имеет такойже вид, как распределение интенсивности при дифракции электромагнитных волн.2Плотности вероятности Ψ ( x ) в квантовой теории можно сопоставить интенсивность I(x) в классической теории.С наибольшей плотностью вероятности, равной dN ( x ) / dt ,после дифракции частицы движутся в пределах угла 2θm.Ответ.