Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах, страница 5

Оценить число Nэлектронов, выбиваемых светом из катода фотоэлемента за однусекунду.Решение. При насыщении фототока все электроны, вырываемые из катода, попадают на анод. Поэтому число электронов ΔN,покидающих катод за 1 секунду, равно отношению величины силыфототока к заряду электрона N = J e и в численном выражении:N=J нас2 ⋅ 10−10=≈ 1, 2 ⋅ 109 с −1 .−19e1,6 ⋅ 10Ответ. N = 1,2 ⋅ 109 с −1 .Задача 1.5. При освещении катода, изготовленного из лития,монохроматическим светом максимальная скорость фотоэлектро-нов оказалась равной vmax = 5,5 ⋅ 105 м / с .

Работа выхода электронаиз лития составляет ΔAвых = 2,38 эВ . Определить длину волны света, применявшегося для освещения катода.Решение. Подставим значение энергии фотона =ω = =c ( 2 π λ )(1.6) в уравнение Эйнштейна (1.18), которое с учетом нерелятивистского значения скорости фотоэлектронов (см. задачу 1.1) записы-ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ24вается в виде =ω = ΔAвых +λ=hcmv 2max / 2 + ΔAвыхmv 2maxmv 2maxhc= ΔAвых +. Тогда22λи.Учитывая, что работа выхода ΔAвых = 2,38 В ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 Кл ==3,80 ⋅ 10−19 Дж , получаемλ=6,63 ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 1080,9 ⋅ 10−305 2⋅ (5,5 ⋅ 10 ) / 2 + 3,8 ⋅ 10−19≈ 3,8 ⋅ 10−7 м = 380 нм,то есть используется видимый свет фиолетового цвета.hcОтвет. λ =≈ 380нм .2mv max 2 + ΔAвых§1.3. Обратный фотоэффект.

Тормозное рентгеновскоеизлучениеЗадача 1.6. Медь, для которой работа выхода ΔAвых = 4,4 эВ ,облучается пучком электронов, предварительно ускоренных разностью потенциалов V = 25кВ . Определить минимальную длинуволны возникающего рентгеновского излучения.Решение. Ситуация, описанная в условии задачи, может рассматриваться как обратный фотоэффект, т. е.

процесс взаимодействия электронов с веществом, в результате которого электроныпоглощаются веществом, а их энергия передается излучаемым вданном процессе фотонам. К обратному фотоэффекту также применимо уравнение Эйнштейна (1.18):Ee + ΔAвых = =ωmax ,(1.22)где Ee = eV — максимальная кинетическая энергия электрона,ωmax – максимальная частота возникающего излучения.По условию задачи Ee = eV = 25кэВ>> ΔAвых = 4,4 эВ . Заметим, что работа выхода у большинства металлов имеет тот же порядок величины, что и у меди. Из уравнения (1.22) следует, что=ωmax >> ΔAвых . Пренебрегая величиной ΔAвых , из уравненияЭйнштейна получаем:Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. ФотоныEe = =ωmax .2πc. С учетом (1.23)Поскольку ω = c 2π / λ , то λ min =ωmaxλ min =25(1.23)2 π =c 2 π =c 2π ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 108==≈ 0,5 ⋅ 10−11 м .EeeV1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 25 ⋅ 103Ответ. λ min =2π =c≈ 0,5 ⋅ 10−11 м = 0,05 Å .eU§1.4. Давление светаЗадача 1.7. Свет в виде плоской волны, имеющей интенсивность I падает из вакуума под углом θ на отражающую поверхность. Коэффициент отражения по энергии равен R . Определитьдавление, оказываемое светом на поверхность, а также силу, действующую по касательной к поверхности. Площадь поверхности Σ .Решение. Коэффициентом отражения по энергии R называетсяотношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей волны: R = I отр / I .

Таким образом, отраженная волна переносит меньше энергии, чем падающая. Часть энергии падающейволны, равная разности энергий падающей и отраженной волн, поглощается поверхностью.Для решения удобно использовать следующую схему рассмотрения взаимодействия света с поверхностью: сначала считать, чтовесь падающий свет с интенсивностью I поглощается поверхностью, а затем свет с интенсивностью IR излучается в направлении,предписываемом законом отражения света.Давление — это нормальная составляющая силы, действующей на единицу площади поверхности: P = Fn Σ .

Сила, действующая на поверхность, по II закону Ньютона равна F = dp dt ,где dp – импульс, получаемый поверхностью вещества за время dt.Этот импульс равен импульсу поглощаемых фотонов, взятому сознаком «+» (на первом этапе), и импульсу испускаемых фотонов,взятому со знаком «–» (на втором этапе).26ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ1. Полное поглощение света с интенсивностью I. За время dtповерхностью с площадью Σ поглощаются все фотоны dNф, находящиеся в объеме dV = cdtΣ cos θ :dN ф = nфc(Σ cos θ)dt ;(1.24)и несущие импульс⎡ =ω ⎤dpф = dN ф ⋅ pф = ⎡⎣ nфc(Σ cos θ)dt ⎤⎦ ⋅ ⎢ ⎥ = nф=ωΣ cos θdt .

(1.25)⎣ c ⎦Учтем, что импульс фотонов направлен под углом θ. Тогданормальная составляющая силыdp cos θ= nф=ωΣ cos2 θ ,(1.26)( Fn )погл = фdtтангенциальная составляющая силы( dFτ )погл =dpф sin θdt= nф=ωΣ cos θ ⋅ sin θ ,(1.27)и давление (с учетом формулы (1.12))Pпогл =dFnI= nф=ω cos2 θ = cos2 θ .Σc(1.28)2. Излучение света с интенсивностью IR. Вычисление силы,действующей на площадку со стороны отраженного света, проводится аналогично. При этом в формулах (1.26) и (1.27) следуетпроизвести замену I → IR и учесть изменение знака у тангенциальной составляющей силы:dp cos θ= Rnф=ωΣ cos2 θ ,(1.29)( Fn )отр = R фdt( Fτ )отр = − Rdpф sin θ= − Rnф=ωΣ cos θ ⋅ sin θ .(1.30)dtИ давление, создаваемое при отражении фотонов, равноIRPотр =cos2 θ .(1.31)cОбъединяя соотношения (1.28) и (1.31), находим полное давление:Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. ФотоныI (1 + R )cos2 θ = ϖ(1 + R )cos2 θ ,cи полную тангенциальную составляющую силы:Fτ = ( Fτ )погл + ( Fτ )отр = ϖ (1 − R ) sin θ cos θ Σ .P = Pпогл + Pотр =Частные случаи1) Давление при зеркальном отражении (рис. 1.4), когда R=1:2IP=cos2 θ = 2ϖ cos2 θ(1.34)cи Fτ = 0 .2) Давление при нормальном падании и отражении с коэффициентом R (поинтенсивности)I (1 + R )P== ϖ(1 + R )(1.35)cи такжеFτ = 0 .27(1.32)(1.33)Рис.

1.4. Отражение фотона от зеркальной поверхности: угол отражения равен углу падения θ,величина импульса фотона не изменяется.Задача 1.8. Плоская волна падает на зеркально отражающийшар. Интенсивность волны I. Радиус шара R. Определить силу давления на шар.Рис. 1.5. Отражение фотонов от зеркальной сферической поверхностишара.28ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРешение. Используем схему рассмотрения взаимодействиясвета с поверхностью, описанную в предыдущей задаче.1.

Поглощение света. За время dt шаром поглощаются все фотоны из объема (cdt πR 2 ) , суммарный импульс которых равенpфnф ( сdt πR 2 ) и направлен вдоль оси ОZ (рис. 1.5).Учитывая, что pф = =ω / c , а I = cnф=ω , получаемFпогл = =ωnф πR 2e z =πR 2 Iez .c2. Излучение света. Рассмотрим фотоны, излучаемые из точкиА (рис. 1.5). Каждый фотон при излучении передает импульс Pф′шару (см. рис. 1.5). Сила, действующая от излучаемых из точки Афотонами имеет как z-, так и y-компоненты. Однако, при сложениисил, действующих в симметрично расположенных точках (точках Ви А), y-составляющие взаимно компенсируются.При излучении под углом θ с поверхности кольца (затемненона рис. 1.5), имеющего площадь d Σ = 2π( R sin θ ) Rd θ , за время dtуносится импульс=ωdpΣф = nф pф ( c cos θdtd Σ) = nф( c cos θdt ⋅ 2πR 2 sin θd θ) =cI= πR 2 sin 2θd θdt .cСоставляющая силы вдоль оси OZdpΣфz = I πR 2 sin 2θd θ ⋅ cos 2θ .( dFизл ) z =dtc()Полная сила, действующая на шар при излучении,π /2Iπ /2( Fизл ) z = ∫ ( dFизл ) z = πR 2 ∫2c0sin 4θ d θ = 0 .0Почему при излучении сила равна нулю? Сравните Fz в точкахА и D.Таким образом, результирующая сила, действующая на шар,связана только с поглощением света и равнаIFz = πR 2 .cГл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны29Замечание. При решении задачи можно было воспользоватьсятем фактом, что в случае зеркального отражения от поверхностисила, с которой излучение воздействует на поверхность, направлена строго по нормали к поверхности.Тогда давление в точке А согласно (1.33) будет2IP ( θ ) = cos 2 θ , а z-составляющая силы dFz , действующей на коcлечко с площадью d Σ = 2π( R sin θ ) Rd θ, равнаdFz = Pd Σ cos θ =2IIcos3 θ ⋅ 2πR 2 sin θd θ = 4πR 2 cos3 θd θ .ccРезультирующая силаπ/2Fz =∫02II2πR 2 cos3 θ sin θ d θ = πR 2 .cc2Ответ.

Fz = πR I / c .Вопрос для самопроверки. Одинаковое ли давление в любойточке поверхности шара?Ответ. Нет. Давление изменяется от 0 при θ = π / 2 до 2I cпри θ = 0 (см. (1.34)).§1.5. Излучение абсолютно черного телаЗадача 1.9. В замкнутой полости, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре, устанавливается равновесноеизлучение, называемое излучением абсолютно черного тела.Равновесное излучение представляет собой совокупность фотонов(фотонный газ), движущихся в полости без столкновения друг сдругом, поглощаемых стенкой полости и отражающихся от нее втом же количестве.

Обладая импульсом, фотон (как и любая частица) при ударе о площадку и последующем отражении от нее оказывает на площадку давление.Покажите, что при идеальном излучении, когда потоки энергиии импульса равномерно распределены по всем направлениям, оказываемое на поверхность давление равно одной трети от объемнойплотности световой энергии ϖ (энергии, заключенной в единицеобъема ϖ = E / V ):30ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ1P = ϖ.(1.36)3Решение. Выделим на поверхности замкнутой полости элементарную площадку с бесконечно малой площадью dΣ (рис.

1.6а). Втечение времени dt о данную площадку могут удариться толькофотоны, находящиеся внутри объема, ограниченного полусферой срадиусом сdt. Рассмотрим небольшой объем в виде узкого слоя наповерхности данной полусферы (затемнен на рис. 1.6 а), которыйрасположен под углами ϕ и θ относительно площадки dΣ.Скорости фотонов, находящихся в выделенном объеме, направлены изотропно по всем направлениям. На площадку dΣ попадут лишь те фотоны, векторы скоростей которых расположены втелесном угле d Ω = sin θd θd ϕ .

Отсюда следует, что доля частиц израссматриваемого объема, направляющихся под углом θ к площадке, составляет dΩ / 4π . Другими словами, концентрация фотонов,движущихся в направлении (θ, ϕ) , равнаdΩ n=(1.37)sin θd θd ϕ ,4π 4πгде n – полная концентрация фотонов (одинаковая в любой точкеполости).δnθ,ϕ = nРис. 1.6. К вычислению числа фотонов, ударяющихся о площадку dΣ за время dt, иимпульса, передаваемого фотонами площадке.Рассмотрим поток фотонов к площадке в направлении (θ, ϕ)(см.