Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах, страница 3

Но нам важно установить границы применимости классической физики. Для этогоПредисловие11сравним описание двух базовых объектов исследования классической и квантовой физики: материальную точку массой m и фотончастоты ω . Движение материальной точки однозначно определяется значениями ее шести обобщенных координат x, y, z , px , p y , pz ,которые могут принимать произвольные значения в зависимости отконкретного вида системы. Энергия же и импульс фотона( E = =ω = 2πc / λ и p = =k = 2π= / λ ) обратно пропорциональны егодлине волны, которая, по сути, определяет степень локализацииэлектромагнитной волны в пространстве координат. Чем меньшеразмеры волны, тем указанная локализация точнее, что, в частности, приводит к уменьшению толщины дифракционных полос.

Сдругой стороны, уменьшение длины волны приводит к увеличениюнеобходимых для такого фотона значений энергии и импульса, темсамым снижая степень локализации его в пространстве импульсов.Увеличение длины волны приводит, разумеется, к обратным результатам.Важно отметить, что указанные выше соотношения для энергии и импульса, отражают корпускулярно-волновый дуализм фотонов: их левые части описывают свойства фотона как частицы, правые — волны.Эти и подобные рассуждения приводят к принципу неопределенности, сформулированному Гейзенбергом, заключающемуся втом, что чем точнее определены координаты частицы, тем хужеточность с которой можно измерить импульс данной частицы (инаоборот).

Данный принцип может быть записан в виде нераΔxΔpx ≥ =, ΔyΔp y ≥ =, ΔzΔpz ≥ = , гдеΔx, Δy, Δzивенств:Δpx , Δp y , Δpz определяют размеры области локализации в про-странстве координат и импульсов. Соотношения Гейзенберга, фактически, определяют границу, разделяющую масштабы явленийдоступных для описания классическими и квантовыми методамифизики. На его основании, в частности, можно провести корректную оценку масштаба длин, характерного для микромира, например радиус атома водорода r = = 2 / me2 = 0,529 ⋅ 10−8 см.

Ниже приведены числовые значения базовых физических величин в квантовой физике.Постоянная Планка h=6,63 10-34 Дж·с ; ћ=1,05 10–34 Дж·с .Элементарный заряд e=1,60 10–19 Кл .12ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХМасса электрона m=0.91 10–30 кг.Масса протона M=1,67 10–27 кг.Постоянная Больцмана k=1,38·10–23 Дж/К.Скорость света с= 3,00 108 м/с.Гравитационная постоянная G = 6,67 10–11 м3/(кг·с2 ).Постоянная Авогадро NА=6,02·1023 моль–1.Атомная единица массы 1 а.е.м.

= 1,66 10–27кг.Электрон-вольт — энергия, приобретаемая элементарным зарядом при прохождении разности потенциалов 1 B :1 эВ=1,6·10–19 Дж.Тепловая энергия (T=293 K) kT=0,025эВ=1/40 эВ.Энергия покоя электрона mc2=0,51 MэВ.Среди приведенных констант, наиболее значимыми с точкизрения описания явлений микромира являются постоянная Планка,скорость света, а также заряд и масса электрона.

По этой причине,имеет смысл выражать массу, время, длину и т.д. с помощью данных фундаментальных для микромира констант. Такая системаединиц называется Атомной системой единиц или системой единиц Хартри.—∗—Целью «Введения в квантовую физику» как одного из разделовкурса общей физики является создание определенного мировоззрения перед углубленным изучением специальных разделов физики.В данном учебном пособии дается представление о квантовыхпроцессах (квантовых переходах, энергетических возбужденияхквантовых систем). На ряде примеров показывается, как квантовоеописание микрочастиц на микроуровне проявляется в макроскопическом масштабе в виде свойств макроскопических объектов (электропроводность металлов и полупроводников, температурные зависимости теплоемкости, теплопроводности, электропроводностивеществ).Основное внимание уделяется обучению студентов умениюиспользовать современные теоретические представления квантовойфизики для решения основных типов задач; развитию навыков самостоятельного анализа и интерпретации полученных результатов;оценке правильности полученных решений.Предисловие13Отобраны стандартные задачи, на примере которых иллюстрируются основополагающие принципы квантовой физики.

Задачисопровождаются рисунками. Для закрепления навыков решениязадач в конце ряда задач ставятся вопросы и приводятся задачи длясамопроверки. Используется международная система единиц СИ.В начале глав в кратком теоретическом введении акцентируется внимание на наиболее важных вводных темах квантовой физики.Приводятся формулировки законов и определений физических величин, выделяются отдельные основополагающие для решения задач теоретические выводы, принципы и концепции (в тексте ониспециально выделены жирным шрифтом).

Формулы, используемыепри решении задач, сопровождаются краткими выводами из основных законов.Физической основой квантовой физики является принцип корпускулярно-волнового дуализма (гл. 1 и 2). В гл. 3 рассмотреныэнергетические спектры атомов и молекул. Главы 4 и 5 посвященыквантовой частице, находящейся в потенциальном поле, туннелированию частиц. Ансамбли квантовых частиц: фермионы и бозоныописываются в гл. 6, 7. Кратко рассмотрены фононы (гл. 8), электроны в металле (гл.

9) и полупроводнике (гл. 10). Квантованиедвижения в магнитном поле рассматривается в гл. 11.Учебное пособие предназначается для студентов физических исмежных специальностей.Авторы выражают искреннюю признательность и благодарность за полезные обсуждения и ценные замечания рецензентупрофессору кафедры общей физики и молекулярной электроникиГ.С.Плотникову, а также сотрудникам кафедры общей физикиЛ.П. Авакянцу, А.В.Быкову, П.Ю. Бокову и С.В. Колесникову завнимательное прочтение и редактирование рукописи.За большую профессиональную работу по редактированиюкниги, за душевное и чуткое отношение выражаем искреннюю благодарность О.В.

Салецкой.14ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХГлава 1КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХВОЛН. ФОТОНЫ§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм света. ФотоныОпыты по интерференции, дифракции и поляризации (конецXIX века), подтверждали теорию Максвелла, установившую, чтосвет является электромагнитными волнами.В то же время в 1900 г. М. Планк показал, что для объяснениязакона равновесного теплового излучения необходимо предположить дискретный характер излучения в виде квантов энергии =ω ,где = = 1,055 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с— постоянная Планка. Используетсятакже константа h = 2 π = = 6,63 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с . Постоянная Планка =называется также квантом действия.Для объяснения некоторых экспериментальных данных (тепловое излучение (закон Вина) и фотоэффект), Эйнштейн выдвинулидею о том, что свет распространяется квантами и состоит из отдельных квантов, позднее названных фотонами.Каждый фотон несет квант энергии и движется со скоростьюсвета.Таким образом, было установлена двойственная природа света:свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами.Корпускулярно-волновой дуализм является фундаментальнымпринципом, описывающим важнейшие свойства Природы, и применим ко всем микрообъектам.Корпускулярные (энергия Eф и импульс pф фотона) и волно-вые (циклическая частота ω и волновой вектор k электромагнитной волны) характеристики света связаны между собой уравнениями :⎧⎪ Eф = =ω,(1.1)⎨⎪⎩ pф = =k ,Постоянная Планка играет фундаментальную роль во всехквантовых явлениях.

Постоянная Планка имеет и оценочную роль вразграничении областей применимости классической и квантовойфизики. Если в условиях данной задачи физические величины раз-Гл. 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны15мерности действия [ Дж ⋅ с ] значительно больше = , то применимаклассическая механика.Все фотоны двигаются с одной и той же скоростью. В вакууме1эта скорость равна с == 3 ⋅ 108 м/с . В диэлектрической неε0μ0магнитной среде с диэлектрической проницаемостью ε скоростьдвижения фотонов1ссε ==.(1.2)εε0μ0εФотоны являются релятивистскими частицами.Закон дисперсии фотонов (дисперсионное соотношение) линейный:Eф = cpф(1.3)илиω = сk .(1.4)Дисперсионное уравнение (1.4) связывает независимые уравнения (1.1) и позволяет выразить частоту и энергию фотона черездлину волны света.

Так как k = 2π / λ , тоω = ck = c ⋅ 2π / λ(1.5)Eф = =ω = =c ⋅ 2 π / λ .(1.6)иВ отличие от фотонов, дисперсия которых подчиняется линейному закону, закон дисперсии свободной релятивистской частицыp = E 2 / c 2 − m2c 2 .(1.7)Электрическое Е и магнитное Н поля существуют в каждойточке пространства, где распространяется электромагнитная волна.Поэтому энергия, плотность потока которой характеризуется вектором Умова–Пойнтинга S=[EH], также непрерывно распределенав пространстве и непрерывно же изменяется во времени.Частота и волновой вектор уравнения плоской электромагнитной волны E = E0cos ( ωt − kx ) связаны уравнениями (1.1) с параметрами фотонов (энергией Еф и импульсом рф) в квантовой тео-16ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХрии.

С какими параметрами, используемыми в квантовой теории,связана амплитуда волны E0 ?Амплитуда волны E0 связана с плотностью энергии электромагнитного поля ϖ :ϖ = εε0E 2 ,(1.8)1а интенсивность волны — с ее средним значением ϖ = εε0E02 :21I = ϖ ⋅ c = εε0E02 ⋅ c .(1.9)2В корпускулярной теории поток энергии, проходящей за времяdt через сечение площадью Σ, равен энергии фотонов, заключенных в объеме Σ ⋅ cdt .