Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Э.И. Кэбин, М.Е. Степанов - Физика ядра и частиц. Задачи с решениями, страница 3

Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер определяется только различиемэнергий кулоновского отталкивания в этих ядрах, вычислить радиусы зеркальных ядер23Na, 23Mg. Eсв(23Na) = 186.56 МэВ, Eсв(23Mg) = 181.72 МэВ.Кулоновская энергиясоотношениемравномернозаряженногошарарадиусаRопределяетсяОбозначим заряд ядра 23Na как Z, а ядра 23Mg как Z + 1. Тогда разность энергий связи ядер23Na и 23Mg будетДля радиуса ядра получаемНаосновеэмпирической2323R( Mg) = R( Na) 1.23 x 231/3 =3.5 Фм.зависимостиR = 1.23 A1/3 Фм14. Ядро 27Si в результате +-распада27Al.

Максимальная энергия позитронов 3.48 МэВ.получаемпереходит в "зеркальное" ядроОценить радиус этих ядер.Разность энергий связи двух зеркальных ядергде R - радиус ядра, e - заряд электрона и Z - атомный номер, в данном случае ядраоткудаМаксимальная=энергияспектрапозитроновпри+27Al,-распадеEсв – 1.80 МэВ.Тогда для радиуса ядра можно записать следующее соотношение15Модели ядерЗадачи 1 - 91. А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s,j>n = |1,1/2,3/2>, |l,s,j>p = |1,1/2,3/2>.Какие значения может иметь полный момент системы j?Б.

Два нейтрона находятся в состояниях |l,s,j>1 = |1,1/2,3/2> и |l,s,j>2 = |1,1/2,3/2>. Какиезначения может иметь полный момент системы j?2. Сравнив экспериментально измеренное значение магнитного момента дейтрона=0.86 N с магнитным моментом системы нейтрон-протон в состоянии с j = 1 иотносительным орбитальным моментом L = 0 (S1-состояние), оценить вклад компоненты сj = 1 и L = 2 (D1-состояние) в волновую функцию дейтрона.3. Известно, что внутренний электрический квадрупольный момент Q0 ядра 175Lu равен+5.9 Фм2. Какую форму имеет это ядро? Чему равен параметр деформации этого ядра?4. Внешний наблюдаемый квадрупольный момент ядра 85Rb Q = 0.7 б.

Определитьсобственный квадрупольный момент ядра Q0, если спин ядра 85Rb равен J = 5/2.5. Определить значения изоспинов I основных состояний ядер изотопов углерода 10C, 11C,12C, 13C, 14C.6. Рассчитать расстояние между уровнями 1s, 2s и 3 ядра 90Zr для прямоугольнойпотенциальной ямы бесконечной глубины и ямы гармонического осциллятора.7. На основании одночастичной модели оболочек определить значения спинов ичетностей J P основных состояний изотопов кислорода - 15O, 16O, 17O, 18O.8. Показать, что спектр возбужденных состояний деформированного ядрапредставляет собой "вращательную полосу".180Hf9. На схеме показан спектр возбужденных состояний ядра 106Pd. Оценить энергию первоговозбужденного состояния 2+.16Решение1.

А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s,j>n = |1,1/2,3/2>, |l,s,j>p = |1,1/2,3/2>.Какие значения может иметь полный момент системы j?Б. Два нейтрона находятся в состояниях |l,s,j>1 = |1,1/2,3/2> и |l,s,j>2 = |1,1/2,3/2>. Какиезначения может иметь полный момент системы j?В случае А нейтрон и протон не являются тождественными частицами, поэтому полныймомент системы | j1 – j2 | < j < j1 + j2, то есть j = 0, 1, 2, 3.В случае Б значения j = 1, 3 запрещены принципом Паули, т.к.

в этом случаетождественные частицы будут иметь одинаковый набор квантовых чисел l, s, j, jz, чтонедопустимо. Поэтому j = 0, 2.Поясним сказанное. В таблице представлены возможные значения суммарной проекцииполного момента j двух фермионов с j1 = j2 = 3/2 на ось Z, то есть значения jz = (j1)z + (j2)z.-3/2-1/21/23-3/2-3-2-10-1/2-2-1011/2-10123/20123/2Если фермионы тождественны, то они не могут иметь одинаковые наборы n, l, j, jz.Поэтому необходимо исключить все наборы jz= (j1)z + (j2)z, находящиеся на диагоналитаблицы.

Кроме того, два состояния, различающиеся обменом (j1)z и (j2)z, являются одними тем же состоянием. Поэтому можно исключить jz, находящиеся ниже диагонали. Итак,приходим к следующей таблице-3/2-3/2-1/21/23-2-10/217-1/21/23/2012Набор jz = -2, -1, 0, 1, 2 соответствует j = 2. Оставшееся значение jz = 0 соответствует j = 0.Таким образом, для тождественных фермионов остаются j = 0 и 2.2. Сравнив экспериментально измеренное значение магнитного момента дейтрона=0.86 N с магнитным моментом системы нейтрон-протон в состоянии с j = 1 иотносительным орбитальным моментом L = 0 (S1-состояние), оценить вклад компоненты сj = 1 и L = 2 (D1-состояние) в волновую функцию дейтрона.Магнитные моменты ядер измеряются в ядерных магнетонах. Ядерный магнетонN= e /2mpc,где mp - масса протона.Магнитный дипольный момент системы нуклонов, гдеорбитальный момент нуклона, - его спин, а сумма берется по всем нуклонам системы.Безразмерные константы gl и gs называются соответственно орбитальным и спиновымгиромагнитными отношениями.ПротонНейтронgl+10gs+5.586-3.826Состояние дейтрона с j = 1 может быть представлено суперпозицией S1 и D1 состояний сотносительными орбитальными моментами L = 0 и L = 2.

В случае L = 0 спины протона инейтрона параллельны, а в случае L = 2 их векторы направлены противоположно векторуорбитального момента. В этом последнем случае орбитальный момент каждого нуклонаl = L/2 = 1 (см. рисунок).Случай L = 0 (ln = lp = 0):=N(1·0+ 0·0 + 5.586·1/2 - 3.862·1/2) = 0,88 mN .Случай L = 2 (ln = lp = 1):=N(1·1+ 0·1 – 5.586·1/2 + 3.862·1/2) = 0,12N.Обозначим вклад состояния с L = 2 как X. Тогда X·0,12 N + (1 – X)·0,88 N = 0,86 N.Получаем X = 0.026.

То есть вклад состояния с L = 2 в волновую функцию дейтронасоставляет 2,6%.183. Известно, что внутренний электрический квадрупольный момент Q0 ядра 175Lu равен+5.9 Фм2. Какую форму имеет это ядро? Чему равен параметр деформации этого ядра?Для равномерно заряженного аксиально симметричного эллипсоида, имеющего заряд ZeQ0 = 2Z(b2 - a2)/5, где b - полуось эллипсоида, направленная по оси симметрии Z, a a - поосям X и Y.

Параметр деформации ядра,где= (b + a)/2 - средний радиус ядра. Тогда.Здесь учтено, что при малых деформацияхR = r0A1/3. Так как Q0 > 0, то b > a, и ядропредставляет из себя эллипсоид вытянутый вдоль оси симметрии Z.4. Внешний наблюдаемый квадрупольный момент ядра 85Rb Q = 0.7 б.

Определитьсобственный квадрупольный момент ядра Q0, если спин ядра 85Rb равен J = 5/2.Внешний наблюдаемый электрический квадрупольный момент ядра в лабораторнойсистеме координат Q связан с собственным квадрупольным моментом ядра Q 0соотношениемгде J - спин ядра. Отсюда5. Определить значения изоспинов I основных состояний ядер изотопов углерода 10C, 11C,12C, 13C, 14C.В основном состоянии ядра значение изоспина I совпадает с модулем проекции изоспинаI = | Iz |.

Проекция изоспина Iz ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов, равна.То есть для основных состояний ядер I = |Z - N|/2.Для указанных ядер значение изоспина будет:для 10C - I = (6 – 4)/2 = 1,19для 11C - I = (6 – 5)/2 = 1/2,для 12C - I = (6 – 6)/2 = 0,для 13C - I = (7 – 6)/2 = 1/2,для 14C - I = (8 – 6)/2 = 1.6. Рассчитать расстояние между уровнями 1s, 2s и 3s ядра 90Zr для прямоугольнойпотенциальной ямы бесконечной глубины и ямы гармонического осциллятора.В прямоугольной яме энергии уровней с l = 0 определяются соотношением:,где n - главное квантовое число, m - масса нуклона и R - радиус ядра (ширина ямы).Величина расстояний между уровнями 1s, 2s и 3s будет= 3 x 7.3 МэВ = 22 МэВ5 x 7.3 МэВ = 36.5 МэВВ яме гармонического осциллятора выражение для энергии уровней с l = 0 определяетсясоотношениемEn =( 2n + 3/2 ), гдеРасстояние будет= 41 A1/3 = 41 x 901/3 = 9.1 МэВ для 90Zr.==2= 18.2 МэВ.7.

На основании одночастичной модели оболочек определить значения спинов ичетностей J P основных состояний изотопов кислорода - 15O, 16O, 17O, 18O.Изотопы 16O и 18O четно-четные, то есть имеют в основном состоянии спин и четностьJP = 0+.

Спин и четность ядра 15O определяются "нейтронной дыркой" (по отношению кчетно-четному ядру 16O) в состоянии 1p1/2. Спин ядра J равен полному моменту"нейтронной дырки" в этом состоянии J = 1/2, а четность определяется орбитальныммоментом l нуклона в данном состоянии P = ( -1 )l = ( -1 )1 = -1, то есть JP = 1/2-. Спин ичетность ядра 17O определяется одним нейтроном в состоянии 1d5/2 сверх четно-четногоостова ядра 16O. Для ядра 17O JP = 5/2+.208. Показать, что спектр возбужденных состояний деформированного ядрапредставляет собой "вращательную полосу".180HfДля четно-четных деформированных ядер энергия вращательных состояний,где J - спин состояния, который принимает лишь четные значения J = 0, 2, 4, …, I момент инерции ядра. Отношение энергий уровней должно быть следующим:E2 :E4 :E6 :E8= J2(J2 + 1) :J4(J4 + 1) := 2(2 + 1) : 4 (4 + 1) : 6(6 + 1) : 8 (8 + 1) = 3 : 10 : 21 : 36.J6(J6 + 1) : J8(J8 + 1) =Подставим приведенные на рисунке значения энергий и получим:E2 : E4 : E6 : E8 = 93 : 307 : 637 :1079 = 93/31 : 307/31 : 637/31 : 1079/31 = 3 : 9.90 : 20.55 : 34.81.Полученные отношения, а также отсутствие в спектре в спектре уровней с J = 1, 3, 5, …указывают, что это "вращательная полоса" ядра.9.

На схеме показан спектр возбужденных состояний ядра 106Pd. Оценить энергию первоговозбужденного состояния 2+.21Это типичный спектр квадрупольных колебаний сферически симметричного ядра,имеющего в основном состоянии JP = 0+. Квадрупольные колебания атомных ядерхарактеризуются фононом JP = 2+. Положение энергетических уровней определяетсячислом фононов N: EN = (N + 5/2), где- энергия квадрупольного фонона. Нарисунке есть только два уровня с J P = 2+, нижний (искомый) уровень имеет N = 1, а второйN = 2.Тогда E0 = 5/2, E1 = 7/2, E2 = 9/2.+Энергия второго 2 - состоянияE2 - E0 = (9/2 - 5/2)=2=1.127 МэВ.Энергия первого (искомого) 2+-состоянияE1 - E0 = (7/2 - 5/2)== 0.564 МэВ.Для спектра квадрупольных колебаний четно-четных ядер имеющих в основномсостоянии характерными особенностями являются следующие:1.Первое возбужденное состояние имеет JP = 2+.2.При энергиях возбуждения, вдвое превышающих энергию первоговозбужденного состояния должны находятся три состояния с примерно одинаковойэнергией и имеющих квантовые характеристики J P = 0+, 2+, 4+, что соответствуетсумме двух квадрупольных фононов 2+.22Радиоактивный распадЗадачи 1 - 201.