Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика, страница 2

При равенстве числапротонов числу электронов q = 0; при недостатке э^іеіС^ронов (N^<тело заряжено положительно, при их избытке (N^.> N^) - отрицатсхлько.Таким образом, заряд тела всегда кратен величине элементарногозаряда, т.е. впринципе дискретен. Однако в большинстве задач сма­кроскопическими телами заряд определяется с погрешностью, сущест­веннопревосходящей величину элементарного зарад?,, так что оказыва­ется возможным считать заряд непрерывно изменяющейся величиной.Плотность заряда.

Распределение зарядав пространстве можноописать, введяпонятиеплотности заряда. ОіЗъѳмной плот­ностью заряда P внекоторой точке называется отношениезаряда Aq, заключенного вмалом объеме ДѴ вокрестности рассматри­ваемойточки, к этому о(5ъѳму:(1.5)Следовательно, объемнаяплотность заряда численно равна заряду,приходящемуся наединицуобъема. Если в формуле (1.5) перейти кпределу при ДѴ-0, томы получим истинную, или микроскопическую,плотностьзаряда, котораясложнымобразом изменяется от точки кточке внутри вещества, выявляяраспределение зарядав атомах. Длянаших целей, однако,достаточно оперировать смакроскопическойплот­ностью, т.е. сплотностью, усредненнойпообластямпространствахо­тя ималымпомакроскопическиммасштабам, новсежесодержащим ог­ромноечислоатомов (размеры области >> 10'“^м; Ю'^^’м = 0,1нм = IA- один ангстрем- характерный размератомов ипростых молекул).

Та­кой макроскопически бесконечно малыйобъем ЛѴ (а такжеповерхность ЛЗ, отрезок A l) имеется ввиду здесьивдальнейшем, когдаречьидетомакроскопических характеристикахвещества.Еслиизвестнаплотностьзарядакакфункция координат, томожнонайтизаряд, заключенный влюбомобъеме 7 . Для этогоразобьем рас­сматриваемуюобластьпространстванамалые ячейки. Заряд Aq в не­которой ячейке объемом AV вокрестноститочки с координатами x,y,zсогласно (1.5) определитсявыражениемAq = p(x,y,z) AV.(1.6)Полныйзаряд вобластиобъемом 7 получим, суммируявыражениявида(1.6) повсемуобъему ипереходя кпределуприАѴ-*0:q = Ilm2 р(х ,у ,z,) ДѴ, = ГP dV.Д Ѵ,-0 I4 -- -II--(1-Т)JV-Внекоторыхслучаях зарядоказываетсясосредоточенным вмикро­скопическитонкомслоевдольповерхности, например, вблизи поверх­ностипроводникавсостоянии электростатического равновесия. Примакроскопическом рассмотрениитолщиной слояможнопренебречьисчи­татьзарядраспределеннымпоповерхности.

Такое распределение заря­дахарактеризуется поверхностной плотностьюзаряда а , котораяпредставляет собойотношение зарядаAq ма­кроскопическибесконечномалогоучасткаповерхности кплощадиASэтогоучастка;о =.(1.8)іЗледовательно,поверхностнаяплотность зарядачисленноравназаряду,приходящемусянаединицуплощадиповерхности. Заряд намалом участ­кеAS поверхности согласно (1.8) выразитсяформулойbq = о &S,(* -9)азарядналюоойповерхностиS, будучи суммой зарядов на всех еемальк участках, определитсяповерхностным интеграломq = J а dS.(1.10)SВряде задач, когдазарядраспредален наталах вытянутойформы(нить, цилиндр), пользуются линейной плотностьюзаряда т;:(I.I UгдеAq -заряд, приходящийся научастокмалойдлины Al данноготѳла.Согласно (1.11) заряднамаломучасткедлиной ДІ определится выра­жениемщ = %М,(I -Iii)азаряд участкаконечнойдлины L - интеграломq = Ггd.l.(1 .1:5)ъЗаконКулона.

Исходнымпунктом втеории электричестваявляетсявпервые экспериментальноустановленныйКулоном законвзаимодействиядвухточечных зарядов, т.е. заряженных тел, размерыкоторых сущест­венноменьше расстояниямежду ними. Согласно этомузакону силыивзаимодействиядвух точечных зарядов удовлетворяют третьемузаконуНьютона (направлены вдольпрямой, соединяющей заряды, равны'EO величинеипротивоположныпо направлению), а их модуль прямопропорциоіігиіѳн зарядзмиq^ и обратно пропорционален квадратурасстояния Fj2 мьжлѵ ними (рис.I);= к-(I .U)г’■I2Коэффициентпропорциональности кзависитотвыоора^-^--j-емы единициопределяется экспериментально.

ВCM егозалисъшакггввиды■21Постоянная б„ называется электрическойной. Опытприводит кследующему значению :постоян­Гг/Г= 0,885-IO"''' Кл^/Н м'^ . ^= 9-10® H ы''/Кя^.(1.16)ЗаконКулонаможно записатьв векторном виде:*^21^120 = = f c ---- ----- Ч -кю?-5 2QgP =—^^0г-:,F(I 17)здесь 2 - сила, действущая наза­рядCO стороны заряда^ Рис.Iвектор, проведенный отзаряда q^ кзаряду q, (рис.і).

Формула(і .17 ) отражаеттотфакт, что одноимен­ныезарядыотталкивакггся , аразноименные - притягиваются друг кдругу. Действительно, впервом случаеq^q^x'J, так чтосиласонаправленасвекторомт.е. направленаот заряда q^;в случаеразноименных зарядовqjq2 < 0 исиланаправлена против векторат.е.

кзаряду q^.§2 .НАПРЯЖЕНІЮСГЬІіапряженность электрическогополя.Рассмотримпроизвольноеэлектростатическоеполе, создаваемое какой-лиоо системой зарядов.Возьмем пробный заряд q^ ибудемпомещать егов раз­личныеточкипространства, интересуясь силойF, действующей нанегоCO стороныполя.Пробным зарядомможет служитьзаряженноетело, удовлетворящѳедвум условиям. Во-первых, должнысш-ь достаточномалыми егогеомет­рическиеразмеры, поскольку нас интересуетсила, действующаяв оп­ределеннойточкепространства. Во-вторьіх, должнабытьнебольшой помодулю величиназарядаq^, таккаквпротивном случае поле самогопробногозарядаможет вызватьзаметноеперераспределениезарядовнателах, создающих исследуемоеполе, ктем самым существенно исказитьпоследнее.^Опытпокажет, чтовеличинаи направлениесилыF будут зсхнтсвтьотточкипространства, но ѳ фиксированнойточке этасила действуетвдольопределеннойпрямой и, какужеотмечалось, аомодулю пропор­циональнавеличинепробного зарядаq^. Поэтоьіу о -і ) можносаііисетьвDS-'торнойформе;= Йх.у,2) q^,(2.1)СилаF неслужитьхарактеристиі-:сЛполя, так как она зависит->А,*1ичиныт!рооногозарядаq^, вносимого вполе.

Вектор женезависітготq^, азависиттолькоотсвойствполя в рассматриваемойточке. Онназывается напряженностьюэлектри­ческого поля. ВыражаяE из (2.1), имѳем:10f . ? .K .Z )Напряженность электрическогополя равнаотнопѳнию сшш, действующейнапросіныйзаряд, к величине этогозаряда. Инымисловами, напряжен­ностьчисленноипо направлениюсовпадает ссилой, действующей наединичныйположительныйпробныйзарядЕдиницейнапряженности вСИсогласно (2.2) является I Н/Юі(ньютон накулон), это эквивалентно I В/м (вольт наметр) -общепри­нятому обозначению единицы напряженности. Действительно, как будетпоказано нас.24, 1В = 1Дж/1Кл, откуда 1 Н/Кл = 1 Дж/Кл м = I В/м.Для целого рядазадач оказывается важным уметь рассчитать на­пряженность электростатическогополяпо заданнсялу распределению впространстве зарядов, порождающих этополе.Подеточечногозаряда. Изучимсначалаполе, создаваемоеточеч­нымзарядом.

Обозначим этотзарядq, аположениеточкипространствабудем характеризовать радиус-вектором г, проведеннымв нееиз заря­даq. Сила, действующая напробный заряд q^, мысленнопомещаемый втуилиинуюточкупространства, определится законом Кулона (1.17),гдевсоответствии спринятыми обозначениямиследует заменитьq^ наq, q^ наq, инаг:I Qq-I -*F = ------ ^4116^Гг.(2.3)Поделив согласно определению напряженности (2.2) эту силу на ве­личину q^, пробного заряда, получим:? =---- %4те^ г"г.(2.4)Для модуляE напряженностиE иеепроекцииE^ нарадиальноенаправ­ление имеем:IiqiI qE = ------- ^ .4те^ гE = ------- 3 .^4ісе^, г(2.5)Какследует изэтихформул, вполеположительноготочечного заряда(q>0) напряженность напрааленавсторону радиус-вектораг, т.е.

отзарядаq, авполе отрицательного заряда (q<0) - против г, т.е. кзарядуq. Модуль напряженностиобратнопропорционален квадрату рас­стояния г.Формула (2.4) приближенноописывает поле любого заряженноготела нарасстояниях готнего, существеннобольших размеровтела, итемточнее, чембольше г. Иначе говоря, онаопределяет асимптотиче­скоеповедениеполяпри неограниченном удаленииотпорождающих его11зар'ядов.

Картинаполяточечногозарядаданана рис.2 а,б, гдѳ век­торы напряженности изоорахены стрелками.q< оРис.212Принцип суперпозиции. Фундамѳнтальньш опытнымфантом иилиысито, чтодля электрическогополя имеетместо принцип су­перпозиции, или наложения, согласнокоторому напряженностьполя, создаваемогосистемой зарядов, равнавкаждойточкепростран­ствасумменапряженностейполей, которыесоздавал сыв этой точкекаждый зарядсистемы вотдельности:E = Z e;,,.(2.6)Здесьнапряженностьполя, обусловленного t-м зарядомсистемы,исуммирование ведетсяпо всемзарядам системы.Принципсуперпозициипозволяеттеоретическирассчитать напря­женностьполяприлюбом заданномраспределении зарядавпространст­ве. Действительно, всякуюсистемузаряженныхтелможно представитькаксовокупностьточечных зарядов, принеобходимости разбивая мыс­леннопротяженныетеланамалыеучастки.

Отдельный t-й точечныйза­рядсоздаетполесогласноформуле (2.4), так чтопопринципу супер­позицииимеем:какэтопоказанонарис.З для системытрехточечных зарядов.Линии напряженности. Когдазначения какой-либо векторной вели­чиныопределены вовсехточках пространства (или отдельной областипространства), говорят о векторном поле . Нагляднуюкартину векторногопаляможнополучить, проводя линии век­тора такимобразом, чтобынаправлениевекторав каждойточкебы­локасательнымк этимлиниям (рис.4).Рис.ЗРис.4Уславливаютсяпроводитьлинии векторастакой густотой,чтобы вкаждойточкепространстваплотностьлиний, т.е.

числолиний, пере­секающихперпендикулярнуюкнимединичнуюплощадку, равнялась (илипокрайнеймере былапропорциональной) модулювектора . Соблюдение13этогоусловияпозволяетпо картинелинийвекторасудитьнетолькоонаправлении, нои ооабсолютной величине вектора: гдебольше плот­ностьлиний, тамбольшемодуль вектора, инаоборот.Линии напряженности электростатическогополя, илисиловые ли­нии, обладают следующим свойством. Еслипроводитьих, соблюдая ус­ловие огустоте, то они внезаряженных телидутнепрерывно, преры­ваясьлишьтам, гдеимеются заряды: начинаютсянаположительных за­рядах (или вбесконечности) икончаются на отрицательных зарядах(или вбесконечности). Это являетсяпрямым следствиемтеоршы Гаус­са, котораярассматривается ниже (см. с,16). Нарис.2 , где пред­ставлены всеченииплоскостью чертежа картины электростатическихполей, линиинапряженности изображенытонкими сплошнымилиниями: аиО -поля положительного иотрицательноготочечных зарядов; бигполядвух точечныхразноименных иодноименных зарядов, одинакошхпомодулю: (3 -однородноеполе,т.е.

полесодинаковой вовсехточкахпространстванапряженностью; е- полеравномернозаряженногодиска.Поток напряженности. Дляхарактеристики свойств векторныхпо­лей вводится скалярная вѳличир^і - потоквекторачерез поверхность.В электростатике имеютделосвекторнымполем напряженности,и здесьсоответственноріѳчь идет о потоке напряженности.В частном случае, когдаполе однородно, аповерхностьплоская,потокФ напряженностиE черезплощадку S по определению равен= E SCOSd = E ^ S ,(2 . 8 )где(X - уголмежду напряженностьюE инормальюп кплощадке, аE^ =E COSd - проекция напряженности нано(»«апь (рис.5,а).Рис.5Вобщем случае, когдаполенеоднородно и поверхность не плоская,мысленно разбиваемповерхностьнастольмалью участки, чтобы !‘схнобылоприближенносчитать ихплоскими, аполе вовсехточках данно14fO участка- однородным.

Длямалогопотоканапряженности ДФ чѳрѳзпадайучастоксплощадьюAS согласно (2.8) пр/блихѳнно имеемДФ= E 4SCOSd=(2.Э)AS,гдеE - модуль напряженностиполя на этомучастке к а - угол междунапряженностьюE и нормальюп кучастку (рис.5,6). Поток напряжені«х:ти Ф черезповерхность S получим, суммируяпотоки АФ^ через всеѳѳ малыеучастки ипереходякпределупри AS^ -► 0:Ф=Ilm У ДФ = f E dS.дз,-о і'іS( 2 . 10 )Абсолютная величинамалогопотоканапряженности ДФчерез пло­щадкуАЗчисленно равначислу линий напряженности, пронизывающихэтуплощадку. Действительно, каквидноиз рис.6, черезплощадку ASиеепроекцию ASj^ на плоскость, перпендикулярную напряженности,проходитодинаковое числолиний, равноеE ASj^, так какпо условиюогустотечерез единицуповерхностиплощадки AS^ проходит E линийнапряженности.