Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика, страница 4

ЭлектростатическиесилысогласнозаконуіСулонаудовлетворяютзтимусловиям и, следоватально, потѳнциалыйі. Напомним, чтопо оп­ределениюпстенциальшііх силих работавзамкнутой системе зависитотначальной иконѳчнсЛі конфигурацийсистемыинезависіггот того,по какимтраекториямперѳмеоіалисьизначальноговконечное состоя­ниеотдельныетела системы. Вычислимработу электростатических силБдвух простых случаях, воспользовавшись для сокращения выкладоксвойствомпотенциальности электростатических сил.I.Найдем работуэлектростатических силприперемедении проб­ногозарядаCJo вполеточечногозарядаq източки В вточкуС.

Вы­беремтраекториюпробногозарядаввидерадиальногоотрезка BE' идугиВ'С окружности, в центрекоторой находится заряд q (рис.14).Hs участке BB'= 1/4ісь^., q/r^ (см. (2.5)), а dl = йг, такчтосогласно (3.2)21= %г/ 41СЕ„Г■іг%Я[к -и -Научастке В'С E^= О, аследовательно, и Ag,АBC -О. Таким образомГ ITg- 11гJ '(3.3)Гд Иг^,- расстоянияотзарядаq до начальнойи конечнойточекпути,в'/1IIіIIII—fc-K-кI^іVРис.14Рис.152.Вычислим работу электростатических силприпершацении проб­ногозарядас[дводнородномполе напряхенностыоЖ източкиВ вточ­куС (рис.і5). Выберем вкачестветраекториипробногозаряда лома­нуюлиниюБВ’С.

На участке BB'= йE,= E = const иработа Ag^. =3D'^ % f E^dl = CJqE / Iil = %Ed, а научасткеВ'С работаравна нулю,В5так какздесь E^ = 0. Таким образомАBC = ЧоЕй-(Э.4)Какстанетясноиздальнейшего (см. с.27),в этойформуле d -рассто­яниемеждуплоскими эквипотенциальными поверхностями, проходящимичерезточкиВ иСиизображенными нарис.15 штриховымилиниями.Теоремаоциркуляции напряженности электростатическогополя.Изнезависимости работы отформы траек­тории непосредственновытекает равенство нулюработыпоперенесениюпробногозарядапо зам­кнутому контуру.

Действительно, взявназамк­нутомконтуреL двепроизвольныеточкиВ и С(рис.16), запишем работупо переносу зарядавдоль этогоконтураввидедвух слагаалых:А=*+’, где цифры обозначают путь.Вгорюѳ слагаемоеможнозаменить на (-А^^ *),так какпри замене направленияперемещения наРис.16225ратноѳ работаменяет знак, поэтому А =I Ho А^с'“^ c 'следствиенезависимости раоотыотформыпути, такчто A = O.Используядля работы выражение (3.2) исокращая наq^, запишаиполученныйрезультат в виде^ E^dI = О,(3.5)I^гдѳ кружок усимволаинтегрирования означает, чтоинтеграл берется.до замкнутому контуру. Дляпроизвольногополявектора X выражение'виданазывается циркуляцией вектораt’-' поконтуру I.

Циркуляция нарядуспотоком является удобной математической конструкциейдля характеристики свойстввекторныхполей.‘Формула (3.5) означает.что циркуляция напряженности эдектростатиче'гскогополяПОлюбому КОНТУРУ рэвнанулю (теорема о цир,'!куляции напряженности электростат и£ чес кого поля).IПотенциал иразностьпотенциалов. Из свойствапотенциальностиалектростатических сил следует, чтопробный заряд, находящийся вІ электростатическомполе, обладаетпотенциальной энергией.В соответЖ.ствии собщим определением потенциальной энергии, потенциальная'I энергия W„(x,y,z) пробного заряда q^, находящегося вточкеполяс1* координатами x,y,z, измеряется работой,совершаемойсиламиполяпри' перемещениипробногозарядаиз рассматриваемой точки в некоторуюI фиксированнуюточку пространства - точку отсчета потенциальнойэнергии. Подчеркнем, чтопоскольку речьидето потенцальной энер­гиивзаимодействияпробного заряда с заданным электростатическимпол«л, перемещать следуеттолькопробный зарядпри неизменном по­ложении зарядов, порождающих исследушое поле.

(ХЯ.ічно в качестветочки отсчетапотенциальной энергиивыбирается бесконечноудаленнаяточка, чтомы ибудш предполагатьвдальнейшем. Такимобразом, сучетом (3.2) имеем^W„(x,y,z) =J E,dl.(3.6)Потенциальная энергияпробного заряданеможет служить харак­теристикойполя, так каконазависитотвеличины пробного заряда.Si•і, Ho поскольку этазависимостьпрямопропорциональная, то отношениепотенциальной энергиипробногозарядакеговеличиненезависит отпробногозаряда. Отнсшениепотенциальной энергии пробного заряда,находящегося внекоторойточкеполя, квеличине этогозаряда назы­вается потенциалом электростатического поля в даннойточке:23<p(x,y.z) =WJX.y.Z)EjdZ.I,у,ZЯо(3.7)Из ЭТОГОопределения следует, чтопотенциал численно равенпотенци­альнойэнергииединичногоположительного заряда.

ЕдиницапотенциалавСИноситназвание "вольт”исогласно (3.7) 1В = 1Дх/1Кл.Потенциал электростатическогополя - скалярная величина. Когдавовсехточках пространства (или отдельной ойласти) определены зна­чениякакой-либо скалярнойвеличины, говорято скалярномполе.Такимобразом, в электростатикемы имеемдело наряду с векторным полемнапряженноститакже исоскалярнымполемпотенциала.Выведемформулудляпотенциалаполяточечногозарядаq. Потен­циальнуюэнергиюпробногозарядаq^, находящегосяна расстоянии готзарядаq, найдем согласноопределению (3.6) поформуледля рабо­ты (3.3), подставляявнеегвместог и » вместо г,:(3.8)Поделив этовыражение наq^, находимпотенциалполяточечного заря­даq нарасстояниигот него:а(3.9)г'Дляпотенциала, какидлянапряженности, вьшолняется принципсуперпозиции, т.е.

потенциалф вкаждой точке поля, создаваемогосистемойзарядов, равенсуммепотенциаловполей<р^, которые созда­валбыв этойточке каждый і-й заряд системы вотдельности:Ф = ЕФі і‘Действительно, исходя изопределенияпотенциала (3.7)принцип суперпозициидля напряженности (2.6), имеем:(3.10)и используяEjf'Ml] = S ф,(SEд.1 = Sіx.y.zx.y.zx.y.zПодставляя вместоф^ выражение (3.9) дляпотенциалаполя, создавае­могоотдельнымточечным зарядом системы, получим:Ф = J Ejdl = Jг. ’(3.11)здесьг^.

- расстояниеотточечного зарядаq^_ системыдоточки, гдеищетсяпотенциал, и суммированиеведетсяпо всем точечным зарядамсистемы. Формула (3.11) дает возможность рассчитатьпотенциал поляпроизвольной заданной системы зарядов влюбойточкепространства.PAЗная пс-тенциал как функцию координат, можно легко находить ра­боту, совершаемую силами поля при перемещении прооного заряда из,ЭДНОЙточки пространства вдругую. Б самом дале, по основному свой­ству потенциальной энергии работапо перемещению зарядаизточки В вточку г; равна разности значений его потенциальной энергиивначальной и конечной точках пути: A^.,= W^(B) - W_^(C). Выражая по­тенциальную энергию через потенциалпо формуле (3.7), находимAg,, = %(фСВ) - ф(С)).(3.12)Из этой формулы виден физический смысл разности потенциалов: оначисленно равна работе электростатических сил по перенесению единич­ногоположительного пробного заряда из первой точки во вторую.Используя формулы (3.12) и (3.2), можно выразить разность по­тенциалов через напряженность:Ф(В) - ф(С) =EjdI.(3.13)В однородном поле этаформулапринимает особенно простой вид:Ф(В) - ф(С) = Ed(3.14)(CM.

формулу ( 3 . 4 ) и следующей за ней комментарий).Связь между напряженностью ипотенциалом.Взаимосвязь междунапряженностью ипотенциалом электростатического поля видна уже изопределения потенциала (3 . 7 ) . Однако здесь эта связь нелокальная,так как значение потенциала в некоторой точке выражается через зна­чения напряженности на всей кривой, вдоль которой берется интеграл.Сейчас мы установим локальное соотношение,связывающее напряженностьспроизводными потенциала по координатам, взятьми втой же точке.Пусть E иф(х,у,г) - напряженность ипотенциал в некоторой то­чкеполя с координатами x.y.z. Осуществим перемещение йі пробногозарядаиз этойточки в бесконечно близкую точку с координатамиx+dx, y+dy, z-t-dz (рис.17).Малаяработа, совершаемая электростатиче­скими силами при этом перемещении,согласно (3.12) равнаdA=q^ (ф(X ,у,Z )-<р(x+dx,y+dy,z+dz)),Подставляя для малой работы выраже­ние ( 3 .

1 ) и замечая, что в скобкахx+dx,y+dy,z+dzстоит приращение потенциала со зна­ком минус,имеем E,diI?/»2і = -dф, откуда:(3.15)?ИС . I"■^5Выражение iKp/cll представляет собой производнуюпотенциала по направлению. Оначисленно равнаприращениюпотенциалаприсмацении наединицудлины в направленииdl.Следовательно, еемодульхарактеризует быстроту измененияпотен­циалаврассматривашом направлении, азнакпоказывает, возрастает(d(p/(il>0) илиуіЛіваѳт (йф/(1Х<0) потенциал в этом направлении.Какследуетиз (3.15), быстротаизмененияпотенциалавтсяй илииномнаправлении зависитотпроекцииEj напряженности наэтонаправ­ление.

В частности, во всех направлениях, перпендикулярных напря­женности, потенциал не изменяется (й<р/йІ = 0), так какдля этих на­правлений Ej = О. Помереприближения кнаправлению напряженностибыстротаизмененияпотенциаларастет, так какрастетЕ^, ивнаправ­лении вектора E становитсямаксимальной, посколькупроекцияE нанаправление самогосебямаксимальнаиравнамодулюЕ:=- [ Шшн&пр.І(3.15,а)Отсюдаследует, что (йф/сіг),< О, азначит,(dcp), „,пр. Mт.ѳ. внаправлении векторае”потенциал убывает. Такимобразом, напряженность направленавсторону наиболеебыстрогоубывания потен­циалаипомодулюравнавзятой собратнш знакомпроизводнойпотен­циалапо этомунаправлению.Записываяформулу (3.15) для направленийосей х,у,г декартовойE^ напрясистемыкоординаг, получаемформулыдляпроекций E , Eжѳнности:(3.16)EВѳкггор, проекции ксторогонаоси х.у,? пршоугальной дѳкаргговойсистемы координатравнысоотвепственно Оф/вх, Лр/ву и Зф/вг, где<p(x,y,z) - скалярнаяфункция, называется градиентом этойфункциииобозначается сшволом @гаН^ф.