Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика, страница 3

Таккак ASj^= AS cosd, то E AS^= E AS cosd = \Ф,'-гтоитребовалосьдоказать.Знакпотоказависит отвыборанаправления нормаликповерхнос­ти: призамененаправления нормали напротивоположноеE^, а вместеG нейипоток, меняют знак. Приопределенийпотокачерез замкнутуюповерхностьуславливаюггсяшбирать внешнююнормаль к поверхности.Тогда, каквидноиз рис.7, потокположителен натех участках, гделиниинапряженностивыходятизповерхности (о«іс/2, Е^>0, АФ=Е^А8>0)иотрицателентам, гделиниинапряженностивходят внутрьповерхнос­ти {а>%/2, Ej^<0, АФ<0).Таким образом, поток через замкнутуюповерх­ностьчисленноравен алгебраичѳсксму числупересечений этойповерх­ностилиниями напряженности, причемвыходящие линии считакггся сознакомавходящие - сознакомРис.7Рис.615Теоремагаусса, для элѳктростатичьск.оіиu u j w ииюоіwro^j,yющаяфундаментальнаятѳорѳма опотоке (теорема Г а у с с а ) :поток напряженности черезлюбуюзамкнутуюповерхностьпропорциона­лен суммарному заряду, находящемусявнутри этойповерхности.Коэффициентпропорциональности зависитотвыборасистемы еди­ниц.

В СИонравен 1/е^,, итеоремаГауссаимеетвидSSМы емДИМ, «то поток независитотрадиуса сферы и, следовательно,любую сферусцентіхзмвточкеq пересекают (^/Бцлинийнапркхенности,а ьто означает, чтодшил напряженности вдут ь'эпрерызно, начинаясьЕЛЯкончаясьтольковточке, гденаходѵггсязаредq, иливбесконеч­ности. Из н* ѳрывностилиний наБрякѳнности следует, что они q/E^разэффг’хггивнопересекутзамкнутуюиовѳрхност).

любойфо|»і, охвать!вэчяуюзарядq (рис_.9). Есликакие лис-"* жниѵ. напряженностип*н>мбкаюгповерхностьмногократно, то. какіаднс иь ,-мс.9, обязательнонечетное число раз, попеременнотс вы, тс в г х ш вт а , таи что16жвитоге HecKC-Mnf--HCHpOBaHHbiM останетсятолько однопересечение, какИулиний, пересекающих поверхность однократно. Таким ооразом, по­токнапряженностиФ через произвольную замкнутуюповерхность, охва­тывающуюзарядq, равен q/e^.Рис.9Рис.10Е<:ди замкнутаяповерхность неохватывает зарядq (рис.10), то каж­даяизпроходящих черезэтуповерхнсстьлиний напряженностипересе­каетеечетноечислораз, попеременновходя ивыходя заеепределы,такчтоалгебраическое числопересечений, авместеснимипотокФраувнынулю, йгак, вполе, создаваемомточечным зарядом q, поток Фвекторанапряженностичерезлюоую замкнутуюповерхность равенq/e^,«ели заряднаходится внутри нее, инулю, еслизарядрасположен8нѳ этойповерхности, чтоитребовалосьдоказать.ДлядоказательстватеоремыГаусса воСщем случавполяпроизволь­нойсистемы зарядовпредставимпотокФ каксуммупотоковФ^, оОуслоаленных полем каждоготочечногозарядасистемы вотдельности,вос­пользовавшисьпринципом суперпозициидля напряженности:ф = f E^dS = f ( E’ ) .IS = Г,I.CijfлесHO доказаннс*іу ранее, тѳ изпотоковФ,_, которые с>Сіусловлѳны•зарядами, расположен»ми внеповерхности S , >эсіращаютсявнуль, аостающиесяпотоки, обусловленные зарядами q^, иходяшимися внутриПоверхностиравнмсогвѳтсттнно q,/E-,.

Таким образш,FT ,',.Яіу ПSгд- '.прав? стоитсуміс.а зарядов, находящихсявнутриповѳрхнссти S,'-ггоиTpf^oC'Be'ncicb доказать.Т е о р е м а Г з у '.с - з х-л^< иHe д а е т в с о м о ж н о .т и^ "Д а н н ' м у''HdKOM и н т е г р с 'Л а .у, в .іс ы в а е тслучае.-оГ'ЯДС'Б,іл кза р я д ь ; л с о з д а в а е м о е ими Пе;,ле,в ы ч и с л я т г и а іг о я ж е н н о с т ь п о л я п>^K-ii-й 'ь л ю ч е н и (- > -с с т а р Г и К "напряж енностьі->которь;»- с и 'т о м ыстоитподг ,-.и ш е тричным распределением заряда,когдасимметрияполяпозволяет‘выоратьзамкнутуюповерхность,накоторой напряженность всюдуперпендикуляр­накнейиодинаковапомодулю (кроме,возможно, участков, гдепотокравеннулю).

В этомслучаевеличинаE^= ±Е= const наносится из-подзнакаинтегралаиможѳт быть начислена. Рассмотримдвапримера.Полебесконечной равномернозаряженнойплоскости. Рассмотримполе, создаваемоебесконечнопротяженнойплоскостью, равномерно за­ряженной споверхностнойплотностью зарядао>0. При использованиитеоретлыГауссадля нахождениянапряженности конкретнаяформа замк­нутойповерхности выбирается наосновепредварительных заключений окартинеполя, которыеможносделать, основываясьнасимметрии рас­пределениязаряда. В рассматриваалой задачеможнозаметить, чтона­пряженностьполя, во-першх, всюдуперпендикулярназаряженнойплос­костиинаправленаотнееи, во-вторых, одинаковапомодулювовсехточках, равноудаленныхотплоскостипо обѳ стороныотнее (рис.11).Этисоображенияподсказывают выборповерхности ввиде прямого ци­линдра, укоторогооснования (безразлично какойформы) расположеныпообестороныот заряженнойплоскости наодинаковомрасстоянии отнее, гдеиищетсяполе.Поток напряженностичерез поверх­ностьцилиндраскладывается изпотоковчерез боковуюповерхностьи оба осно­гдеS - плсяцадьоснования.

Такимобра­зом, Ф = 2ES.Рис.11Заряд,заключенный внутрицилиндрическойповерхности (т.е. рас­положенный назаштрихованной частизаряженнойплоскости), равенOS,так чтопотеоршѳ Гауссаимеем: 2ES = 1/е aS , откудаИзэтойформулы видно, чтомодульнапряженности независитотполо­женияточки и, следовательно,как справа, так ислева от плоскостиполе однородно.Очевидно, чтополе отрицательно заряженнойплоскости(ст<0) отличаетсяот рассмотренноготольконаправлениемнапряженнос­ти - онанаправленакпластине, анеотнее.18в реальных задачах мы имѳѳм далососъектамиконечных размеров,долетонкой равномерно заряженной симметричной пластины, имеющей,например, формудиска,в целомсущественно отличается от рассмотрен­ного (рис.2,е),однако вблизицентрапластиныполеприблгасѳннотакоеIte, каквслучаебесконечнойплоскости.

Этимоправдано рассмотрение® физике абстрактных бесконечнопротяженных объектов.Полесферически симметричнораспределенногозаряда.Пустьзарядq распределен впределах сферы радиусаR сферическисимметри­чно, т.е. плотность зарядарзависиттолько отрасстояния гдо цен­трасферы О. Из соображений симметрииможнозаоючить, что напря­женностьпаля всюду направленарадиально иодинаковапо модулю вовсехточках, равноудаленныхотцентрасферы (см.

рис.і2, где пред­полагаетсядля конкретности,что р>0). Поэтому навсякойсферической=const,ипотокповерхности радиусагс центром вточке О Eft = E Т*напряженностичерезнеевыразитсятак:j3E^dS =I dS=4ісг^.3Применяятеорему Гауссадля сферырадиуса r>R, изображенной на рис.I2штриховойокружностьюбольшего радиуса,иучитывая, чтовнутри неезаключен весьзарядсистемыq, имеем E^ 41СГ = 1/е- q.откудаI(2.14)Е^(г)(r>R)^Рис.12Такимобразом, поле внешаратакоежѳ, какое создавал бы точечныйзарядq, расположенный вцентрешара.аПрименяятеорему Гауссадлясферы радиуса r<R (на рис.12 онизображенаштриховой окружностьюменьшего радиуса), имеемE4ісг^ =q' (г).гдеq ’(г) - заряд, заключенный внутриэтойсферы.

ОтсюданаходимE =(r<R)q* (г)(2.15)Такимобразом, поле вовнутреннихточках заряженногошараопределя­етсязарядом, находящимсявнутрисферы, проходящейчерезточку наб­людения, инезависитотзарядов, расположенных внеее.При этомвидфункцииE^(г) существеннозависит оттого, какраспределен зарядпсшару, поскольку отэтогозависит заряд q'(r).19Теорема Гаусса вдифференциальной форме. ТеоремаГаусса в ин­тегральной форме (2.1Z) имеет нелокальный характер, так как в нейфигурируют значения физических величин в различных точках простран­ства: E - во всех точках выбранной поверхности S, р - во всех точ­ках ограниченного этой поверхностью объема V.

Если перейти кпреде­лу, стягивая поверхность в точку, то получится дифференциальнаяформа теоремы Гаусса - дифференциальное уравнение, связывающее зна­ченияфизических величин (а именно, плотности заряда ипроизводныхнапряженности по координатам), взятые в одной итой же точке прост­ранства.Рассмотрим точку с координатами х,у,2 ипостроим прямоуголь­ный параллелепипед, ребрами которого являются малые приращения ко­ординат Лх, Ду, AZ (рис.13). Найдем выражение для потока напряжен­ности через поверхность этогопарал­лелепипеда.Поток через нижнюю граньполучим, исходя из определения (2.9)и учитывая, что ееплощадь ДЗ=йхДу,а Е^=-Е^(х,у,2 ), так как внешняянормаль к этой грани направленапротив оси 2 ; ДФ=-Е^(х,у,2 )Дхйу.Для потока через верхнюю граньполу­чим выражение Е^(х,у,г+Д2 )ДхДу.Действительно, в этом случае Е^=+Е^,так как направления внешней нормалииоси Z совпадают, и крометого зна­чениеследует взять вточке с ко­ординатами х,у,г+Д2 , поскольку верх­няя грань смещенапо оси 2 на Дг.Рис.13Аналогичным образом найдемпотоки через другие грани: левую иправую [-Е^(х,у,2 )ДуДг и Е^(х+йх,у,2 )АуД2 ], переднюю и заднюю[-Еу(х,у,2 )ДлД2 и Еу(х,у+Ду,2 )йхД2 І.

Суммируя ПОТОКИ чѳрѳз грани,найдем полный поток через поверхность параллелепипеда, который потеореме Гаусса равен умноженному на і/е^ заряду р(х,у,г)дхдуд2 , на­ходящемуся внутри этой поверхности:1Е^(х+Дх,у,2)- E^(x,y,z)] ДуДг + [Еу(х,у+Ду,Д2 >- Еу(х.у,г)1 ДхДг ++ іЕ^(Х,У,2 +Д2 )- Е^(Х,У,2)] ДхДу = І/е^ р(Х,У,2) ДХДуД2 .Разделив обе части равенства на оС/ъеыпараллелепипеда ДхДуДг ипе­рейдя- кпределу при дх-0, Ду-0, Дг-О, псиіучим:(ЗЕI(ЗЕ<ЗЕ„-Ir(2 .

1ь )Этодифференциальное уравнениепредставляетсобой теоремуГауссавдифференциальнойформе. Суммачастныхпроизводных декартовых проек­ций векторапоодноименным координатам называется диверген­цией вектора. Ее обозначаютсимволом "dlv”и уравнение (2.16)записывают ввиде:dlv E = ^ P .(2.16,а)*^05 3.ПОТЕНЦИАЛРабота электростатических силприперемещениизаряда. При пе­ремещениипробного зарядавполѳ электростатическиесилы совершаютработу. Напомним, чтоработасилыF набесконечномаломперемещенииAl определяется выражением AA = F Al cosoi = FjAl, где <х - уголмежду направлениями силы ипершѳщения, а F^ = F cosot - проекциясилы нанаправлениеперемещения. Работанаконечном участкепутиотточкиВдоточки С, будучи суммоймалых работ, является интеграломА =gJ^Fjdl.TaK каксила, действующая напробный зарядq^,выражаетсяформулой (2.1), тодля работы электростатическихсилприбесконечномаломперемещении ^ пробногозарядаимеемAA = q ^ E j A l ,(3 . 1 )адля работынаконечном участкепути отточкиВдоточки СсV= % /(3.2)вВкурсемеханикидоказывается, что если сяш взаимодействиямеждуматериальнымиточкамимеханическойсистемыудовлетворяюттре­тьему законуНьютонаи независятотскорости, то этасилыпсггенциальны.