Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика, страница 9

Однако, если внутри проводникаполе ин­дукционных зарядов целиком компенсирует внешнее поле, то вдиэлект­риках поле поляризационных зарядов лии;ь ос,лаол5.іг внешнее поле, очем пойдет речь в следующем параграфе.§6.ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСЖОЕ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИВЕШЕОТВАВведение. Одна из основных задач электростатики состоит в наэлектростатического поля, порождаемого произвольной систе­мойтел.

По принципу суперпозиции напряженность поля в любой точкепространства складывается из напряженностей полей, создаваемых вэтойточке своОодными зарядами на проводниках E"' и, если диэлект­рики нейтральны, как это предполагалось при их изучении в _предыдущемпараграфе, поляризационными зарядами на диэлектриках Е":S =+ Е".(6.1)Еслидиэлектрикам сооощены заряды, то сюда добавится напряженность,обусловленная этими зарядами неполяризационного происхождения.Подчеркнем, однако, что принцип суперпозиции для решения ос­новной задачи электростатики в общем случае непригоден; он позво­ляет рассчитать напряженность поля только тогда, когда задано рас­положение зарядов впространстве, вто время как распределение сво­бодных зарядов по поверхности проводника иполяризационных зарядовв диэлектрике само определяется искомым полем (см.

формулы (4.1),(5.10), (5.11) и (5.8)) и потому заранее неизвестно (исключение со­ставляют лишь случаи, когда мы имеем дело с системой точечных заря­дов или распределение заряда на телах можно установить из соображе­ний симметрии).Поэтому для нахождения поля приходится обращаться к уравнениямэлектростатики - теоремам о циркуляции ипотоке напряженности, при­чем впоследней удается исключить из рассмотрения поляризационныезаряды, воспользовавшись уже известной нам зависимостью этих заря­дов от напряженности поля и диэлектрической восприимчивости среды ае(CM.

формулы (5.10), (5.11) и (5.8)).Избавляться от свободных заря­дов втеореме Гаусса нет необходимости, поскольку, как будет пояс­нено далее (см. с.49),для расчета поля не нужно знать их конкретноераспределение по поверхности проводника. Заметим, что физическиехарактеристики проводяідих сред вообще не появляются в электроста­тике, поскольку равновесное распределение заряда по поверхностипроводника не зависит от материала проводника, а определяется толь­ко его геометрическими свойствами - размером и формой, как это ужеотмечалось ранее.Теорема Гаусса при наличии диэлектриков. Вектор электрическогосмещения. Запишем теорему Гаусса (2.11) для произвольной замкнутойповерхности S, внутри которой могут оказаться как свободные зарядыпроводников, так и поляризационные и неполяризационные заряды диэ47«кгрикоь. выделяя в правой части суммарный поляризационный заряд)' q‘‘ и 'Лозначая прочие оощим символом >]имѳем:S'!хлліользовавшись формулой (5.10), выразим суммарный поляризационныйяарядвнутри поверхности S через поток вѳятора поляризации че­резэту поверхность:SSПеренеся стоящий справа интеграл в левую часть и умножая оое частиравенства на , получимds§= E ч, ■S(6.3)''!евая часть существенно упростится, если ввести новый векторD = E^ e' + Р' ,(6.4)который называется электрическимсмещением,или электрическойиндукцией.

Теперь теорша['аусса принимает простой вид§ D„dS = Eили с учетом (1.7)3.(6.5)^f D^dS = /pdV.S(6.5,а)VВ правой части осталась сумматолько нѳпсляризационных зарядов, на­ходящихся внутри замкнутой поверхности S, но зато слева вместо по­тока напряженности стоит поток электрического смещения через этуповерхность. Таков наиболее общий вид теоремы Гаусса в интегральной'JXJpMe.Вектор электрического смещения, как и вектор поляризации, вдиэлектрических средах пропорционален напряженности поля.Действительно, подставляя (5.8) в (В.4), и»4ѳа<изотрС)ПНЫХD = EgE + E^aeE =І.вличинѵназы ваю т(I + ае)Е.(6.7)е =о т н о с и т е л ь н о йгі о -V' H и U а е M о с T ью,(6 .6 )д и э л е к т р и ч е с к о йили п р о с т од и э л е к т р и ч е с -ь:с.HIi PH и U а еM о с T ь ю в е ш е с т г г а .

В в а к у у м е P = Qи= в,Е. У газов в о с п р и и м ч и в о с т ь м а л а п о с р а в н е н и ю с е д и н и ц е й и чаг ь .'Л а г а в т е = і ; у ж и д к и х и Г 'О л ь ш и н ст в а т в е р д ы х д и з л в к т р и к ^ зт и48Ig имеют величину порядка нескольких единиц или десятков, достигаяогромных значений у особой группы анизотропных диэлектриков (сегнѳтозлектриков), для которых, однако, излагаемая теория неприменима,поскольку для них вектор поляризации не пропорционален напряженнос­типоля. С учетом (6.7), формула (6.6) принимает видD = S^eE .(6.8)Поскольку введение вектора D носит вспомогательный характер и онредко используется при решении электростатических задач, мы не бу­дем останавливаться на его свойствах.Понятие о краевых задачах электростатики. Вопрос оО оощем ме­тоде расчета электростатического поля выходит за рамки общего курсафизики, имы здесь лишь вкратце остановимся напостановке задачи.Пусть имеется произвольная система заряженных проводников итребуется рассчитать поле во всем пространстве вне проводников.

Вы­ше ухе отмечалось, что принцип суперпозиции в большинстве случаевбесполезен идля решения задачи приходится обращаться к уравнениямэлектростатики. Как было показано ранее (с. 28), эти уравнения вдифференциальной форме сводятся к однсму уравнению для потенциала уравнению Пуассона (3.20). Поскольку во всем пространстве вне про­водников P = O , уравнение Пуассонапереходит в уравнение Лапласа(3.21). Однако уравнение Лапласа само по себе не определяет потен­циал однозначно.

Как доказывается втеории дифференциальных уравне­ний, для нахождения потенциала в некоторой области пространства не­обходимо иметь дополнительную информацию о поле наповерхности, ог­раничивающей рассматриваемую область, например, знать потенциал вовсех точках этойповерхности. Такую дополнительную информацию награнице области называют граничными, или краевыми, условиями, а са­ма задача о нахождении решения ді«{)ференциального уравнения при за­данных граничных условиях называется краевой задачей.В нашем случае граница рассматривашой области, т.е. всегопространства внепроводников, состоит из поверхностей всех провод­ников и бесконечно удаленной замкнутой поверхности. На бесконечноудаленнойповьрхности потенциал равен нулю, так как там справедливаформула (З.Э) для поля точечного заряда.

Значения потенциала на по­верхностях проводников определяются без затруднений, так как повер­хности проводников являются эквипотенциальными, апотенциал провод­никалегко измерить. Таким образом, нахождение поля, создаваемогозаряженными проводниками при отсутствии диэлектриков сводится к ре­шению уравнения Лаплас^' (3.21) при заданных значениях потенциаловпроводников.V-N O i49Изложенноевьшѳ остаетсявсилеиприналичии в пространствепомимозаряженныхпроводниковнейтральных однородныхдиэлектриков;необходимолишьдополнительнопотребоватьвыполнения некоторых ус­ловийдляпроизводныхпотенциаланаповерхностидиэлектриков.

Если,однако, диэлектрики неоднородныилиимсообщены заряды нѳполяризационногопроисхождения, тозадачаоботысканииполя существенноус­ложняется.Диэлектрикмежду эквипотенциальнымиповерхностями. Рассмотримважныйслучай, когдаополевдиэлектрикеможно сделатьпростое за­ключение, неприбегаякрешениюуравнений электростатики.Пусть впроизвольное электростатическоеполес напряженностьюS^(x,y,z) вносится однородныйдиэлектриксдиэлектрическойпрони­цаемостьюE таким образом, чтоонцеликом заполняет простран­ство между эквипотенциальнымиповерхностями (рис.36). Какдо­казываетсявтеоретической эле­ктростатике, в этомслучаевоз­никающие наповерхностидиэлек­трика поляризационные зарядыHe создаютполя вне диэлектри­ка, авнутриегоуменьшаютпер­воначальноеполе вераз:е:E=(6.9)Рис.36Под условия сформулированной теоремы подпадает конденсатор,заполненныйоднороднымдиэлектриком, так какобкладки конденсатораявляетсяэквипотенциальнымиповерхностями.

Теоремавернаидляпро­водников, погруженных впрактически безграничныйжидкий илигазооб­разныйдиэлектрик, посколькуповерхностипроводников - эквипотенци­альные, авлияниемполяризационных зарядов наудаленнойповерхностидиэлектрикаможнопренебречь. Подчеркнем, однако, чтопри нарушенииусловийтеоремыполевдиэлектрикеможет существенноотличаться от(б.Э).Так, расчетпоказываетчтоврассмотренномранее (с.46) при­мере соднороднымдиэлектрическимшаром, помещенным в однородноевнешнееполеЕ„ напряженностьполя внутришараE = ЗЕд/(е+2), чтопри6>>i почтивтри разаотличаетсяот результата, даваемого формулой (6.9).50Глава IIIПОСТОЯННОЕ§7.МАГНИТНОЕПОЛЕОБЩИЕ СВОЙСТВАПОСТОЯННОГОМАГНИТНОГОПОЛЯПонятие OQ электрическомтоке. Источникоммагнитногополя яв­ляютсядвижущиеся электрические заряды, т.е. электрические токи,поэтсякупрежде чемприступитькизучениюмагнитногополя необходи­модатьпредварительныепредставления об электрическомтокеиввес­тиегоосновныехарактеристики.Электри'!ѳскимтоком вширокш смысле слованазываетсявсякое упорядоченноедвижение эленггричѳских зарядов.Сре­дами, проводящими электрическийток, являютсяметаллическиепровод­ники, электролиты, электрическаяплазма, полупроводники, т.е.

всевацѳства, вкоторых имеютсяносителитока- заряженныечастицы, ко­торыемогут сравнительно свободноперемещаться впределахтела.Внашузадачуне входитдетальное изучение механизма протека­ниятокаввеществе, поэтсмумы ограничимся весьмаупрощенной, дажепримитивной, моделью. Когдапопроводникутечетток, например, поддействием электрическогополя, траекториюотдельного носителя токанеясносхематическипредставитьломаной линией (рис.37): носительтокасовершает хаоти­ческоетепловое двиІвниѳ(изломам траек­тории соответствуюттг/\^егосоударения сдруагими частицами) ивместе стем дрейфу"И стинная- траекторияет,т.е. движется упо­Ыдс.37рядоченновсторонудействующей нанего силы.