Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика, страница 5

Согласно (3.16) напряжен­ностьэлектростатическогополяравнавзятсму со знакомминус гради­енту»;отенциала:E = - ш¾(Гф .(3.17)Формулы (3.15) и (3.16) дают возможность рассчитывать напряжен­ностьполя, вычисляя сначалапотенциал изатемдифференцируяегопокоординатам.Такпоступаютвтех случаях, когдараспределениезаряданатапах заранеенеизвестноидля расчетаполя (поскольку принципсуперпозицииздесьбесполезен) приходится ршаггь диффАренциагійЯоеуравнениедляпотенциала (см. далеес.49).26Эквипотенциальныеповерхности. Гешѳтрическиѳ места точек содинаковымизначениямипотенциала представляют собой поверхностиравногопотенциала, называемые эквипотенциальнымиповерхностями . Линии напряженностии эквипотенциальныеповерхности ортогональныдругдругу, т.е. любаялиния напряженностипересекаетлюбую эквипотенциальнуюповерхность под прямым углом.Действительно, рассмотримточкупересеченияпроизвольнойлинии на­пряженности с эквипотенциальнойповерхностью (рис.18).

Таккак припѳривацении вдольэквипотенциальнойповерхностипотенциал не изме­няется, то врассматривашойточке d(p/dl=0 длялюбогонаправления,касательного к эквипотенциальнойповерхности (на рис.18 этинаправ­ления указанытонкими стрелками).Оледоваггельно, согласно (3.15),равнанулюпроекция напряженностиналюбое изэтих направлений, т.е.напряженностьперпендикулярна эквѵшотенциальнойповерхности.Наприведенных нарис.2 карти­нахэлектростатическихполей экви­потенциальныеповерхности изобра­Рис.18женыштриховымилиниями.■Уравненияэлектростатическогополяв вакууме. ТеоремаГауссаопотоке (2.12) итеоремаоциркуляции (3.5) отражаютфундаменталь­ныесвойства электростатическогополя ипредставляют собой системууравнений электростатическогополя ввакуумевинтегральнойформе:f3E^dS = IJpdV ,7(3.18)^ Ejdl = о .LСматематическойточки зренияудобнее иметьделосді^іференциальными уравнениями.

ДифференциальнойформойтеоремыГауссаявляет­сяуравнение (2.16), атеоремы о циркуляции - соотношения (3.16).Таким образом, системауравнений электростатики ввакуумев диффе­ренциальнойфорле имеет вид27Эхdy'dlV E = ^ p ,*■'0dzИ.ПИ(3.19)E = - gracf (p.= ~ дПодставляя впервое уравнениевыражениядляпроекций напряженностиизвторойстроки, получаем уравнениедляпотенциалаилидг'^Дф= - і Р,(3.20)называемое уравнением Пуассона.Вобластипространства, гденет зарядов, р = О иуравнениеПуассонапереходит в уравнение Лапласа:<?х*илиЛф= о(3.21)дг‘(символом Дфв матййзггикѳоОозначакгтсуммувторых частныхпроизвод№іх скалярнойфункции(p(x,y,z) подекартовымкоординатам х, y,z ).Именно этодифференциальное уравнениечащевсегоприходится редасгьдля нахсясдѳнияпотенциала электростатическогополяв вакууме.28ГЛІЬЭ i l3 ЛE K T PСT А T И Ч E G К О E5 4.Ti О Л EИ ВЕЩЕ С T d OПБ'ОБОДНИКБ ЗЛЕКТРОСТАТИЧЕСЖОМ ПОЛЕВведение.

Изучение электростэтического поля впредыдущей главепоказало,что оно определяется расположением зарядов в пространстве.Поэтому для дальнейшего развития теории электростатичесісого полянеобходимо выяснить, как распределяется заряд нателах, если их за­рядить или поместить вполе. іЗтвѳт на этот вопрос существенно зави­сит от свойств вещества.По своим электрическим свойствам все вещества можно разделитьна проводники и диэлектрики(полупроводникив рамках тех задач,которые ооычно рассматриваются в электростатике,ведут сеоя по существу так же, как проводники), в проводниках поддействием постоянного электрического поля возникает электрическийток, вдиэлектриках - нет. Это объясняется принципиальным различиемих структуры.Б проводниках существуют носители т о к а, илис в о б о д H ы е 3 а P яд ы, т.ѳ.

заряженные частицы, которыепод действием поля могут перемещаться в пределах проводника, в диэ­лектриках таких свооодных зарядов нет, все заряженные частицы удер­живаются впределах атомов, молекул, ионов и т.п. и под действиемпмя испытывают лишь микроскопические смещения.В этом параграфе изучается поведение проводников в электроста­тическом поле. Хотя ос.льшинство выводов излагаемой здесь теориис:праведливодля любого проводника, оудем для конкретности иметь ввиду металлические проводники.

Как известно, металлы в твердом сос­тоянии ооладакгг кристаллической структурой. В узлах кристаллическойрешетки располагаются положительные ионы, а "остающиеся" электроны(ооычно один-два на ион) могут свооодно перемещаться впределах про­водника. этих заведомо упрощенных представлений о структуре метал­лического проводника вполне достаточно, чтобы понять явления, о ко­торых пойдет речь в настоящем параграфе.Условия равновесия зарядов напроводниках.Опыты приводят кследующему фундаментальному положению: если сообщить проводнику за­ряд или поместить проводник во внешнее электростатическое поле (илисделать ито, и другое одновременно), то через достаточно короткийпромежутс'К времени впроводнике установится равновесное распределе­ние заряда, при котором напрааіенное движение свободных зарядов,т.е.

эленгтоический ток, гггьѵ^ствует. Это равновесное распределениезарядов напроводниках иих эдѳкггростатичѳскоѳ поле ойладахгг рядомсвойств, которые иизучаютсяв электростатике.Прѳаде всего, так какпри установившемся распределении зарядоввпроводнике неттоков, насвободные электроныне действуют силы,следовательно, электростатическоеполевнутрипроводникаотсутствует:0.

В частности, еслипри отсутствии внешнегополя про­водникзарядить, то зарядыраспределяютсяпо проводнику так, чтосоздаваемое имиполеотличноотнулялишьвнепроводника, как этопоказанонарис.19, гдесечениепроводниказаштриховано, а картинаполя внепроводникапредставлена линиями напряженности (сплопныелинии) и эквипотенциальнымиповерхностями (штриховые линии). Еслинейтральныйпроводникпоместить вс внешнее электростатическоеполе,TC внемпроизойдетперераспределениезарядов (явление элект­ростатической индукции) такимобразом, чтополеиндуцированных зарядовскомпенсирует внешнееполе внутрипроводника.Подчеркнем, чторечьидет оравенственулю макроскопическогополя,т.е. усредненногопомакроскопически бесконечномалому объалу; ис­тинноежемикроскопическоеполеотлично отнуляи сложным образомменяетсяотточкикточкевнутрипроводника.Посколькуполевнутрипроводникаотсутствует, работапо пере­мещениюпробного зарядавнутрипроводникаравнанулю независимо отположения начальной иконечнойточек перемещения.

Учитывая связьработысразностьюпотенциалов(3.12), заключаем, что потен­циалвовсехточках проводникаодинаков. В частности, поверх­ностьпроводникаявляется эк­випотенциальной поверхностью.Из рис.I9 видно, каквидоизме­няетсяформа эквипотенциальныхЕивѳрхностей помере удаленияот заряже5іНого проводника: отимеющейформуповерхностипро­водникадо сферической набо­льших расстояниях, где полехорошоаппроксимируѳггся полемточечногозаряда.Рис.19Из равенстванулю напряженности внутрипроводникаследуеттак­же, чтовсюду внутрипроводника р=0, т.ѳ. положительныеи отрица­тельныезарядыскомпенсированы и, следовательно, нескомпенсированныйзарядможетрасполагатьсятолькопо поверхности проводнкса.30Действительно, разЕ^^у^р= О, то ипсггокнапряженности через любуюзаыкнутуюповерхность, взятуювнутрипроводника, равен нулю. Потеораіѳ Гаусса (2.11) этоозначает, чторавеннулюзарядвнутрилюбойтакойповерхности, чтовозможнотолькопри р=0 вовсехточках про­водника.Напряженностьнаповерхностипроводника перпендикулярна этойповерхности (см.

рис.19), посколькупоследняя является эквипотенци­альной, причеммодуль напряженности пропорционален поверхностнойшютностио зарядавтойжеточке:E = I .(4.1)Выведемэтуформулу, применяятѳоршу Гаусса. Рассмотриммалый элемекгповерхностипроводникаAS, накоторомнаходитсязаряд Aq=aAS.Окружимэтотэлемент поверхностью прямогоцилиндра, укоторогообразующаяперпендику­лярнаповерхностипроводника, одноиз осно­ванийлежит внутрипроводника, а другоевнепроводникабесконечноблизко кего по­верхности (рис.20).

Потокнапряженностиче­рез внутреннееоснованиеибоковую поверх­ностьцилиндраравеннулю, так как внутрипроводника1=0, анарасположенномвнепроводникаучастке боковой поверхности E^=OРис.20вследствиеперпендикулярностилиний напря­женностиповерхностипроводника. Следовательно, поток черезповерх­ностьцилиндраопределитсяпотоком через еговнешнееоснование, ко­торый равенEAS.

ПотеоремеГаусса, этотпоток равенумноженному наІ/е^ зарядуoAS внутри цилиндра: EAS = IZe^oAS, откудаи вытекаетформула (4.1).Электростатическоеполѳ непроникает вобласть, окруженнуюза­мкнутойпроводящей оболочкой (рис.21 ,а). Этим явлением экрани­рования пользуются, когданеобходимоизбавиться от влияниявнешнихэлектрическихполей, обшивая, например, стены лабораторииметаллическимилистами (электростатическая за­щита). Обратное, вообще говоря, неверно: замкнутая проводящаяоболочканеэкранирует внешнеепространствоотполя зарядов, нахо­дящихся внутри оболочки (рис.21,6). Интересно отметить, что полевнеоболочки независит отрасположения зарядоввнутринее: прилю­быхперемещениях этих зарядов оноостается неизменным - таким, ка­коесоздавалабы самаоболочка, если ей сообщить суммарный заряднаходящихся внутри неетел (рис.21,6,в,г). Для экранировки вншнѳго31п р .;..:т р д н с т Б а достаточно заземлить ооолочку (рис.21 ,д).

Строгое до­казательствоэтих утверждений выходит зарамкиобщего курсафизики.При чистокачественном описаниираспределения зарядапо поверхностипроводника можно руководствоватьсятем соображением, что одноименныезаряды, вследствие взаимного оттал­кивания, стремятся рассредоточиться апоповерхностипроводника. Так, присоприкосновении двух проводниковсу­щественноразличных размеров, избы­точный зарядпрактически весьоказы­вается наповерхности большего про­водника- на этомоснована разрядкапроводникаприего заземлении.

Это бжесоображение позволяет предполо­жить, чтоназаряженной тонкой ме­таллической пластине, например, ввидедиска, поверхностная плотностьзаряданепостоянна, аувеличиваетсяотцентраккраям, чтоиподтвѳрасдаетсястрогилрасчетом.^(Зтметш еде, что распределениезарядасущественнозависит отрелье­фа проводника: поверхностная плот­ностьзарядаможетдостигать большихзначений на выпуклостях смалш ра­диус,jm кривизны (остриях) имала вовпадинах.

Всилу (4.1), соогветству- ійщимобразом ведетсебя ипсою, ко­тороеможетоказаться очень сильнымвблизи острия иотносительно слабымвокрвстно«~тях впадины. Это хоралевидноиз рис.19: густоталиний на­пряженности существенно большеуос­трия, чемво впадине.noA46ps'« ’ѵ! в заключение, чтоописанные закономерности равновесног> p'cCtiределения зарядов на проводат'члкякгг''M .