Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика, страница 11

Однако картины ли­ний магнитной индукции по своему характеру существенно отличаютсяот картин линий напряженности электростатического поля, что связанос различием свойств этих полей. Линии напряженности электростатиче­ского поля начинаются и кончаются на зарядах, а линии магнитной ин­дукции не имеют начала и конца - они представляют соОой, как прави­ло, замкнутые линии, охватъівающиѳ электрические токи. Это свойстволиний магнитной индукции прослеживается на рис.42, где изоораженыкартины магнитных полей прямого бесконечного проводника с током(рис.42,а), кругового витка с током (рис.42,О) и катушки с током(рис.42,в).

Векторное поле, линии которого замкнуты, называется ви­хревым. Следовательно, постоянное магнитное поле -в и х р е в о е56гв отличив от электростатического, которое является безвихревым, поскольку его линии напряженности не замкнуты.Принцип суперпозиции. Возни­кает вопрос: как теоретически рас­считывать магнитную индукцию поля,если известно распределение в про­странстве токов, создающих это по­ле? Напомним, что аналогичная про- аблѳма в электростатике, т.е.

рас­чет напряженности поля по заданно­му распределению зарядов, решаласьна основе принципа суперпозиции(CM. формулы (2.6) и (2.7)). Опытыпоказывают, что принцип суперпози­ции имеет место и в случае магнит­ного поля: магнитная индукция вкаждой точке поля, порождаемогосистемой проводников с токами, ра- бвна сумме магнитных индукций, соз­даваемых в этой точке отдельнымичастями системы.

В частности, еслипроводники мысленно разбить набесконечно малые элементы, тоf = J , dB,(7.12)где dB - магнитная индукция поля,обусловленного отдельным элементомтока, и интегрирование ведется повсем проводникам системы.Магнитное поле элемента тока.Таким образом, задача сводится кнахождению формулы для магнитнойиндукции поля, которое создавал быотдельный элемент тока.Прямые опы­ты здесь невозможны вследствиепринципиальной неосуществимостиРис.42изолированного элемента постоянно­го тока. Поэтому искомая формула была установлена косвенным путемна основе анализа магнитных полей проводников конечной длины.

Ееназывают закономб и о -С а в а р а -Л а п л а с а ;57as = iiL411;В этой формуле г - радиус-вектор,проведенный из элемента тока IdT,создащего поле, в точку простран­ства, где определяется вектор dB(рис.43). Запись коэффициента про­порциональности в виде Цц/4іс ха­рактерна для СИ. Константана­зывается магнитной п о ­стоянной и, как показьшаютопыты,Цд = 4іс Ю“'^ Гн/м(7.14)г(7.13)(в справедливости наименования"генри на метр" читатель можетубедиться после изучения C U ) .Для модуля вектора OB согласно(7.13) имеемIdl Slnot(7.15)dB =гРис.43наирадиусвеісгоромIdlгде о( - угол между элементом токаправление вектора dB совпадает с направлением векторного произве­дения [Idt f] и определяется правилом винта (см. рис.43).Сравнивая (7.15) с соответствующей ей по смыслу формулой (2.5)для напряженности поля точечного заряда в электростатике, конста­тируй одинаковую в обоих случаях зависиность поля от источника(В '.

Idl и соогвѳтственно Eq) и от расстояния от источника доточки наблюдения (-^І/г^). Болѳѳ сложный вид формулы Био - Савара-JlaiLKacs связан с веісгорійм характером элѳмѳнтг. тока и отражает заВксимость поля ОТ напрсііления из элемента тока в точку нзблвдения:в точках прямой, являющейся тіродолжѳниѳм злемента тока (о(=0), матнит;' і ин,пу!сция равна нулю и возрастает до максимума по мере приолкжения Ct к %/ 2 , если иметь в в/іду точки, равноудаленные от элшента тока.Принцип суперпозиции (7.12) шесте с законом Био - Савара - Лапласа (7 ,13) позвеоляет рассчитать магнитное поле люпіых проволников с постоянньши токами.

Привѳдэм два примера.Поле прямого проводника. Пусть к..^';ой-диЛо гонкий проводниктоком имеет прямолинейный участог.. Рассчитаем маі-ни-гную индукць.<поля, создсвемого эти>5 прямодинѳйньм участком проводника.58расстояние от точки А, где ищется поле, до проводника обозна­чим R, а вдоль проводника проведем ось хс началом отсчета координаты в точке О(рис.44). Магнитная индукция dB, создава­емая в точке насілюдѳния отдельным элаиенTOM проводника с координатой х и длиной(Il=OLr, имеет согласно (7.15) модульIcLr Sln OiА%TИз формулы (7.13),применяя правило винта,заоючаѳм, что векторы dB, обусловленныевсеми малыми элементами проводника, нап­равлены одинаково - за чертеж, что сим­волически изображено крестиком.

Поэтомусуммарный вектор в" имеет то же направле­ние, а его модуль равен сумме модулейвсех Щ, т.е. выражается определенныминтегралом:В=dB =Цр I SlM4%г*dr.Рис.44Для вычисления интеграла перейдем к переменной интегрированиял, выражая через нее г и йг в подынтегральном выражении. Как видноийрис.44, X = R Ctg(It-Ot) = - R Ctgfi.

Беря дифференциал, находимCl» = R do(/sln^a(. Для г имеем г = R/sln(TC-o() = R /зіш. Таким образомВ=М.(I IStnd dcK = ^ - (cosdj- COSOl^),R(7.16)где dj и 0(2 - предельные значения угла л, соответствующие концамрассматриваемого участка проводника.В идеальном случае бесконечного прямолинейного проводника<*!•* О и otg-» 1C, так что6 - ¾ ¾ .(7.17)Этаформула приближенно описывает поле в области вблизи серединыпрямолинейного участка реального замкнутого проводника конечныхразмеров, если все прочие участки проводника достаточно удалены отЭТОЙ области, так что их полем здесь можно пренебречь (см.рис.45,ГДѳ отмеченная область обозначена точками).

Картина линий магнитной'•Ндукции прямого бесконечного проводника с током дана на рис.42,а.59ЛПоле кругового витка с током.Замкнутый контур с током удобно охаракте­ризовать векторной физической величиной магнитныммоментоммодуль которого в случае плоского контураравен произведению силы тока I на площадьконтура S:P = I S ,(7.18)а направление перпендикулярно плоскостиконтура и связано с направлением токаправилом винта: если вращать головку вин­та в соответствии с направлением тока, топоступательное движение винта опредалитнаправление вектора іэ (рис.46).Найдем магнитную индукцию поля, соз­даваемого контуром с током, имеющим форлуокружности,причем для простоты ограничимся точками пространства, лѳжаг^ими на осиконтура.

Обозначим R радиус вит'ка, I силу тока в нем и г - расстояние от плос­кости витка до точки А, где ищется полѳ(рис.47,а). Магнитная индукция dB, обус­ловленная элементом тока Idf верхней час­ти витка, направлена согласно (7.13) перРис.46пендикулярно плоскости, проходящей через элемент тока и отрезок,соединяющий его с точкой наблюдения (изображена штриховой линией),и согласно (7.15) имеет модуль OB =ldl/(r^+F^>, где учтеHO . что расстояние от элемента тока до точки наблюденияравноVr^+ Ь®, а Slnoi = I.

так как л = %/2 . Вектор«>] dS, обусловленныевсеми малши элементами витка, располагаются по конусу (рис.47,6)-60чтобы сложить эти векторы, представим каждый из них в видесуммы двух составляющих:, направленной вдоль оси контура,и Зв^,дерпендикулярной этой оси (рис.47,а). При сложении перпендикулярныесоставляющие попарно взаимно уничтожаются, так каки 35 ’| , созда­ваемые парой диаметрально противоположных элементов тока одинаковойдлины,равны по величине и противоположны по направлению (рис.47,6).Т аким образом, искомый вектор S' определяется суммой параллельныхсоставляющих; следовательно, он направлен вдоль оси витка и имеет(Юдуль В = JdBii . Модуль dB|| легко вычислить из подобия прямоуголь­ныхтреугольников с равными острыми углами, помеченными на рис.47,адвойными дугами:dB,/dB = R/vf^+lf -. dB|| = dB R /Vr^+R^ = (ц^Мтс) I R d2/(r^+R^.Юігѳгрируя последнее выражение по всем элементам витка и замечая,ЧТО значения подынтегральной функции для всех элементов одинаковы,® ^; 4-% {Г^+^ I(гЧ^ 4U(гЧ R^I^41С ( r ^ + R ^ ) ^ ^ ^ ’Поскольку IicR"= P есть модуль магнитного момента витка, окончательйО имеем>^02Р(7.19)41С (r^+R^)^''^'Из этой формулы следует, что поле максимально в центре витка (г=0)и убывает с расстоянием.