Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика, страница 12

Для достаточно удаленных точек (r»R),пренебрегая R^ по сравнению с г^, получаем приближенную формулуВ =—^ .41t Г(7.20)Она имеет тот же вид, что и формула (5.2) для напряженности элект­рического поля диполя (для точек на оси диполя Ѳ=0 и ѳ=іс).СЛііысловаяадалогия между диполем (в электростатике) и контуром с током (в те­ории постоянного магнитного поля) подтверждается и одинаковым хара­ктером их поведения во внешних полях (см. далее с.66 -68 ).Картина линий магнитной индукции поля кругового витка с токомизображена на рис.42,б.Уравнения постоянного магнитного поля в вакууме в интегральной$РРме.

Опуская доказательство, сформулируем теоремы о потоке и цир­куляции магнитной индукции для постоянного магнитного поля.61IТ ѳ о р ѳ м а о потоке; поток магнѵггной индукции червалюбую замкнутую поверхность S равен нулю:I B^dS = О3(7.21 )Теорема о циркуляции:циркуляция магнитнсаиндукции по дюоому контуру L пропорциональна элгеораичѳской суммесил токов, пересекающих поверхность S, ограниченную этим контуром(рис.48,а) (в СИ коэффициент пропорциональности равен(7.22)иди с учетом. (7.ь)(7.22,8)Выбор знаков сил токов, стоящих справа, определяется следуюідим пра­вилом: T O K K , пересекающие поверхность под острым углом с нормалью кней (I^ и 1,^ на рис.48,а), берутся со знаком плюс, а токи, первоекающие эту поверхность под тупым углом с нормалью (I^) - со зижокминус. При этом предполагается, что направления нормалей и направ-дениѳ обхода контура согласованы друг с другом правилом винта: еслѵ’головку винта вращать в соответствии с приншъм направлением обходеконтура,то нормали следует направить в сторону поступатѳльіюго дв;жения винта (ркс.48,о)Направле­ние обходаL1^0.48Вид теорем о потоке и циркуляции определяет характер поведена.'’линий векторного поля.

Если а некоторой области пространства пото;веісгора через любую замкнутую поверхность равен нулю, то в жтакую поверхность входит столько же линий, сколько вьіходет из нѳе-гТ.ѳ. в этой ооласти линии вѳктора непрерывны. В элѳктростатическог,!доле согласно теореме Гаусса (2.12) линии напряженности непрерывны0НѲ заряженных тел: здесь g#E^dS = О, так как р = 0. В точках, гдерасположены заряды, непрерывность линий нарушается. Поток напряжен­ности через поверхность, окружающую некоторый заряд,отличен от нуляиимеет тот же знак, что и заряд (^^^ciS = W e ^ q), т.е. линии нап­ряженности исходят из точек, где расположены положительные заряды,и сходятся в точках, где находятся отрицательные заряды.В постоянном магнитном поле согласно (7.21) поток магнитнойиндукции равен нулю через любую замкнутую поверхность, следователь­но, линии магнитной индукции всюду непрерывны (они, как правило,замкнутые). Здесь нет точек, в которых линии начинались бы или кон­чались, подобных точкам расположения зарядов в электростатике.

Поэ­тому говорят, что в природе отсутствуют магнитные заряды.В векторном поле, у которого циркуляция по любому контуру рав­нанулю, как это имеет место для напряженности в электростатике, нѳсуществует замкнутых линий вектора. Действительно, циркуляция век­тора Т, взятая по замкнутой линии векторазаведомо отлична отнуля, так как в выраженииподынтегральная функция знакопос­тоянна (A^ = IAi > О, если направление обхода контура совпадает снаправлением вектора А, и A j = - I A i < 0в противном случае). Замк;«угость линий магнитной индукции постоянного магнитного поля связа№ с тем, что циркуляция магнитной индукции согласно (7.22), вообщеІоворя, отлична от нуля.Неравенство нулю циркуляции вектора5 по контуру,охватывающемусТоки, означает, что интеграл вида ГB,dl зависит не только от поA‘Яошсѳния начальной и конечной точек А и С, но и от формы кривой, покоторой он берется.Поэтому в магнитном поде нельзя ввести величину,ІЮторая была бы формальньм аналогом потенциала в электростатике.Говорят, что магнитное поле не потенциально в отличиеот электростатического, которое потенциально.При помощи теоремы о циркуляции в общем случае нельзя рассчи­тать магнитную индукцию, так как последняя стоит в ней под знакоминтеграла.

Однако в некоторых простейших случаях, когда поле обла­дает достаточной симметрией, удается выбрать замкнутый контур, вовсех точках которого (или, по крайней мере, на тех его участках,где;«.0) B j = в = const. Тогда в выражении для циркуляции по такомуконтуру величина магнитной индукции выносится из-под знака интегра­ла и может быть легко вычислена. В качестве примера найдем полевнутри бесконечно длинного соленоида.63Шіле бесконечно длинного соленоида. На рис.42,в представленакартина линий магнитной индукции поля реального соленоида при упро­щающем предпаложении, что соленоид представляет собой совокупностьплоских витков. Если неограниченно удлинять соленоид при неизменномсечении, то линии магнитной индукции внуі’ри соленоида будут вьшрямляться вдоль его оси, а поле вне соленоида будет стремиться к нулю.Рассчитаем магнитную индукцию поля внутри такого идеального беско­нечно длинного соленоида, применяя теорему о циркуляции.Контур L , фигурирующий в этой теореме, выберем в виде прямо­угольника A C E F , одна из сторон которого AC длиной I проходит черезточку, где ищется полѳ, и параллельна оси соленоида, а противополо­жная ей сторона EF находится вне соленоида (рис.49).

На всех участ­ках этого контура кроме стороны AC B^= О, так как на участке DEFf.;S=O, а к участкам CD и GA вектор І" перпендикулярен. Поэтому цирку­ляция вектора В по всему контуру сведется к интегралу только по от­резку AC. Поскольку вектор В направлен вдоль прямой AC и по сообра­жениям симметрии одинаков во всех ее точках, то B j = В = constициркуляция запишется так:ссВ й і = В j й і = BI.ф BjdI =LAАКак видно из рис.49, поверхность,ограниченную рассматриваемым кон­туре»!, пересекают пі витков, гдеп - число витков на единицу длинысоленоида. Следовательно, суммар­ный ток,пронизыващий эту поверх­ность, равен Ini, где I - силатока в соленоиде. По теореме оциркуляции (7.22) BI = Цріпг,откудаБ=■тшРис.49I.(7.23)Из ЭТОЙ формулы видно, что магнитная индукция не зависит ст положения точки, т.е.

поле внутри бесконечного соленоида однородное.Тако»полѳ приближенно имеет место в реальном соленоид,е, У которого длик•'ущественно больше радиуса, за исключением областей в6ли?и краѳгсолѳн.оида. ilo характеру создаваемого поля - практическое отсутстрь*поля вне и приблизительная однороднос;ть внутри соленоида - длинны.'соленоид соответствует плоскому конденсатору в элекгростатиііг64§ 8.СИЛЫ, ДЕЙСТКУЮЩИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕВзаимодействие прямолинейных проводников с токами.Вопрос осиловом воздействии магнитного поля на проводник с током в принциперешается следующим ооразом; с^тоируя амперовы силы (7.10), действу­ющие на все малые участки проводника, найдем полную силу, а, сумми­руя моменты этих сил, - полный момент сил, действующих на проводник.Если проводник прямолинейный, а поле однородное, то формула (7.10)будет, очевидно, справедлива и для силы F, действующей на участокпроводника конечной длиной I:F = [іГ В].(8.1)В качестве примера рассмотрим взаимодействие двух параллельныхпроводников с током, ооозначим R расстояние между проводниками, аI.

и■12'--Г АРис.50Вычислим силу>Д®*^ствующую на отрезок длиной Z второго про­водника C O стороны первого, считая сначала проводники бесконечнодлинными. Тогда магнитная индукция поля первого проводника в точкахпространства, где расположен второй проводник, имеет одно и то жезначение, определяемое формулой (7.17), и для силы^ справедливаформула (8.1): Fj.^= [I,? В). Учитывая, что угол между I,Г и В павен тс/2, для модуля силы ^ получим Fj 2 = IgBZ. Подставляя сюдавыражение (7.17) для В, в котором следует заменить I на I^ , получимокончательно21.I(S.2 )тгНетрудно понять, что для реальных проводников конечной длиной L по­лученная формула вьшолнйѳтся лишь приближенно, с тем бшіьшей точ­ностью, чем меньше расстояние и&ждѵ лр^-водниками по сравнению с ихs-/mДЛИНОЙ. Сила І'|„ напоавлена к пеовому проводнику, если токи I, иимеигг одинаковое напоавдениѳ, и от первого проводника, если напоавления токов противоположны фис.5и,а,0).

Таким ооразом, токи одина­кового направления притягиваготся лруг к другу, а токи противополож­ных направлений отталкиваются друг от друга.Формулу (8.2) используют для введения основной электрическойединицы в СИ - единицы силы тока "ампер". Полагая I^= 1„=1A, R =ім,имеем для F,,/I значение, численно равное 2 ((і.,,/4іс) , т.ѳ. с учетоы(7.14) ~ 2Н/м. Таким образом, I ампео - сила такого тока, ко­торый, протекая по длинньм параллельным проводникам, вызывает силу,действующую на единицу длины проводника, равную 2 10'’Я/м.Действие магнитного поля на контѵр с током, йзучим теперь дей­ствие магнитного поля на замкнутый контур с током. Рассмотрим пря­моугольную рамку, помещенную в однородное магнитное поле и ориентироваиянуютак, что одна из ее осей симметрии, вдоль которой проведемось 2 декартовой системы координат, перпендикулярна линиям магни­тной индукции, а магнитный момент р рамки ооразует с магнитнойиндукцией поля В угол л (см.рис.Si ,а, а также 51,0, где дана проек­ция рамки на плоскость, перпендикулярную оси z).Длины сторон I и 3,параллельных оси z, обозначим а, сторон 2 и 4 - Ь.Рис.51и? , действующие на соответствующие стороныСилы F,рамки, найдем по формуле (8.1).

Модули этих сил равны:Fj= F^= IoB sln| = ІаВ,F^= І6В sln(| - of) = ІЪВ c o s a ,F^= IbB sln(^ + 0() = IbB COSOt = Fj ,( 8 .3 )a направления сил даны на рис.51. Констатируем, что суммарная силаравна нулю, так как силы попарно равны по модулю и противоположньг66HO капоавлению: F, + !■,+ F„+ F^= 0. Следовательно, иѳнтб масс оамкиоудѳт оставаться неподвижным, если он первоначально покоился.Вычислим теперь моменты силотносительно оси z . Напомним,что по определениюI r ^ f^^j, где- радиус-вектор, проведенныйот оси в точку приложения силы, а F^- составляющаясилы, лежащаявплоскости, перпендикулярной оси.

Моменты силиравны нулю,поскольку эти силы направлены вдоль оси z и, следовательно, для них^2 і " ^"41 =Моменты сил Fj иодинаковы, поэтому суммарныймомент сил, действующих на рамку, M = 2[г, , F, J, где учтено, что—У-—**^111Fj ^ =- F. . Выразим этот момент сил через магнитный момент р рамкистоком и магнитную индукцию В поля, учитывая, чтоFj^= Ь/2 и исполь­зуя выражение (8.3) для силы F, ,шѳем= 2 | IaB зіш = lab зШ.поскольку O p = S , где S - плошадь рамки, а Is = ресть модуль ма­гнитного момента рамки, то=PВ Slnd.(8.4)Так как к тому же направление этого момента сил связано с направле­ниями векггоров P и В”правилом винта (это видно из рис.5 1 ), тоI^=IpBJ.(8.5)момент сил (В.5) стремится повернуть рамку кположению устой­чивого равновесия, при котором маі'нитный момент р направлен вдольмагнитной индукции в”. (Легко уоедиться, что другое положение-, равнсвесия, при котором векторы р и В” антипараллачьны, неустойчиво.)Кроме того, как видно из рис.5 I , рамка испытывает со стороны полядеформирующее воздействие.Рассмотрим теперь поведение контура с током в неоднородном ма­гнитном поле.

Пусть для определенности маі'нитная индукция сущест­венно изменяется по модулю в направлении линий магнитной индукцииипрактически не изменяется в аерпендикулярных к ним направлениях (нарис.52 линии магнитной индукции сгущаются слева направо, т.е. палерастет в этом направлении). Как и в однородном поле, на контур стоком оудѳт действовать момент сил, стремящийся ориентировать маг­нитный момент контура в направлении магнитной ивдуюцик. Однако вотличие от случая однородного поля результирующая сила, действующаяна контур, теперь отлична от нудя. Действитально, силы dF, дейс, ^\?«яциѳ по закону Ампера (Ѵ.іО) на элементарные участки контура, располаі'аются по конусу и дадут суммарную силу f , направленную в сто­рону возрастания поля (см.