Lecture14 (Электронные лекции Колыбасовой), страница 2

т. д.2°. Подставим столбец 1 + 2 в НСЛАУ и воспользуемся основными свойствамиопераций с матрицами: (1 + 2 ) = 1 + 2 = + = , ч. т. д.3°. Нужно доказать два утверждения:а) любой столбец вида ⍟ является решением НСЛАУ,б) любое решение НСЛАУ представляется в виде ⍟.Рассмотрим некоторый столбец вида ⍟. Он является суммой 0 — решенияНСЛАУ — и ∑−=1 — решения ОСЛАУ. Тогда из п. 2° следует, что являетсярешением НСЛАУ.Пусть 0 — ЧР НСЛАУ. Рассмотрим некоторое другое решение НСЛАУ .Согласно п. 1°, их разность − 0 является решением ОСЛАУ. А поскольку любоерешение ОСЛАУ имеет вид ∑−=1 , то отсюда следует, что представляется ввиде ⍟.Для решения НСЛАУ можно также использовать метод Гаусса—Жордана, при этомследует с помощью ЭПС преобразовать её расширенную матрицу ∗ = (|) так,чтобы матрица приняла упрощённый вид.Пример.

Найти значения параметра , при которых НСЛАУ совместна. Найти ФСР и ОРсоответствующей ОСЛАУ, ЧР и ОР НСЛАУ.1 − 22 + 3 + 4 = ,{1 − 22 + 3 − 4 = −1,1 − 22 + 3 + 54 = 5.8Для того чтобы решить НСЛАУ методом Гаусса—Жордана, нужно с помощью ЭПСпреобразовать её расширенную матрицу ∗ = (|) так, чтобы матрица принялаупрощённый вид:1 −2 = (1 −21 −211 11 −1|−1) ~ (015 501 −2 1~ (00 000 00 −11|1).0 1−∗−2 111 −20 0 −2|−1 − ) ~ (0060 0600111) ~01|0 −2 −1 − (Последовательность ЭПС: вычтем из третьей строки вторую строку, затем из второйстроки первую.

Умножим третью строку на 1/6 и поменяем местами со второй.Вычтем из первой строки вторую и прибавим к третьей строке вторую строку,умноженную на 2.)Базисные переменные: 1 и 4 . Свободные переменные: 2 и 3 .Запишем НСЛАУ, соответствующую упрощённой матрице, оставив в левой частибазисные переменные 1 и 4 :1 = − 1 + 22 − 3 ,{4 = 1,0 = 1 − .Из последнего уравнения видно, что система совместна только при = 1. При = 1 еёОР имеет вид:2 = 1 ,3 = 2 ,1 = 21 − 2 ,4 = 1,где 1 , 2 — произвольные числа.Запишем ОР НСЛАУ в матричной форме:21 − 22−101100=() = ( ) + 1 ( ) + 2 ( ).2001⏟⏟⏟ 0101012Тогда 0 — ЧР НСЛАУ, {1 , 2 } — ФСР ОСЛАУ, 1 1 + 2 2 — ОР ОСЛАУ,0 + 1 1 + 2 2 — ОР НСЛАУ.Заметим, что ЧР НСЛАУ можно получить, положив в упрощённой системе всесвободные переменные равными нулю.9.