Lecture11 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 11Алгебра матрицНапомним (см. лекцию 1), что матрицей размера × называется прямоугольнаятаблица чисел:1121= ( ⋮11222⋮2… 1… 2⋱⋮ ) = ( )× .… Здесь — элементы матрицы, — номер строки, — номер столбца: = 1, 2, … , ; = 1, 2, … , . Матрица состоит из строк и столбцов.1Пример. = (02 −4) — это матрица размера 2 × 3 (2 строки, 3 столбца).0 0,5Первая строка состоит из элементов 11 = 1, 12 = 2, 13 = −4.Вторая строка состоит из элементов 21 = 0, 22 = 0, 23 = 0,5.Первый столбец состоит из элементов 11 = 1, 21 = 0.Второй столбец состоит из элементов 12 = 2, 22 = 0.Третий столбец состоит из элементов 13 = −4, 23 = 0,5.Квадратнои матрицеи порядка называется матрица размера × .12345678Пример.

= () — квадратная матрица порядка 4.9 10 11 1213 14 15 16У квадратнои матрицы есть главная диагональ (выделена желтым) и побочнаядиагональ (выделена зеленым). Главная диагональ состоит из элементов 11 , 22 , 33 ,44 , …, т.е. тех элементов, для которых номер строки и столбца совпадает: = .Рассмотрим две матрицы: и .Определение. Матрицы и называются равными (обозначение: = ), если ониимеют одинаковыи размер и все элементы, стоящие на одинаковых местах, равны: = ( )× , = ( )× и = ∀, .111Пример. (21121122 ) = (211112) ⇔ { 12222122= 11 ,= 12 ,= 21 ,= 22 .Определение. Пусть матрицы и имеют одинаковыи размер: = ( )× , =( )× . Матрица называется суммой матриц и (обозначение: = + ), если = ( )× , где = + ∀, .010+11 + 101111 100) + (0,3 −7) = (−1 + 0,30 − 7) = (−0,7−7).Пример.

( −1−0,5 0,5−0,5 + 9 0,5 + 168,5 16,59 16Свойства. Если матрицы , и имеют одинаковыи размер, то1) + = + ,2) ( + ) + = + ( + ).(Докажите самостоятельно.)Определение. Пусть = ( )× . Матрица называется произведением матрицы на число (обозначение: = ), если = ( )× , где = ∀, .Пример. 2 ⋅ (1 22⋅1 2⋅22 4)=()=().3 42⋅3 2⋅46 8Свойства. Если матрицы и имеют одинаковыи размер, и — числа, то1) ( + ) = + ,2) ( + ) = + ,3) () = ().(Докажите самостоятельно.)Определение. Пусть матрицы и имеют одинаковыи размер: = ( )× , =( )× .

Матрица называется разностью матриц и (обозначение: = − ),если + = .Нетрудно убедиться, что = ( )× , где = − ∀, .Свойство. Если матрицы и имеют одинаковыи размер, то − = + (−1) ⋅ .(Докажите самостоятельно.)Определение. Пусть = ( )× . Матрица называется транспонированной поотношению к матрице (обозначение: = ), если = ( )× , где = ∀, .2Чтобы транспонировать матрицу, нужно записать ее строки как столбцы (не меняя ихпорядка) или столбцы как строки (не меняя их порядка).111 1 −0,78,5−7) = (Пример. (−0,7).11−7 16,58,5 16,5Определение. Квадратная матрица называется симметричной, если = .1 2 0,51 2 0,5Пример. = ( 2 59) , = ( 2 59) = .0,5 9 −30,5 9 −3Элементы симметричнои матрицы симметричны относительно главнои диагонали: = ∀, .Определение.

Квадратная матрица называется кососимметричной, если = −.02 −30 −2Пример. = (−209) , = ( 203 −90−393−9) = −.0На главнои диагонали кососимметричнои матрицы стоят нули, а элементы,симметричные относительно главнои диагонали, равны по модулю и имеютпротивоположные знаки: = − ∀, ⇒ = − ⇒ = 0 ∀.Свойства. Если матрицы и имеют одинаковыи размер, — число, то1) ( + ) = + ,2) () = ,3) ( ) = .Доказательство своиства 1). Пусть = ( )× , = ( )× .

Введем обозначения:⏞ + ⏞ .⏞+ ) = ⏟(⏟Нужно доказать, что = . Согласно определению операции сложения итранспонирования матриц, имеем: = + = ( )× , где = + ∀, ; = = ( )× , где = = + ∀, ; = = ( )× , где = ∀, ; = = ( )× , где = ∀, ;3 = + = ( )× , где = + = + ∀, .Поскольку размеры матриц , совпадают и = ∀, , то = , ч.т.д.(Своиства 2) и 3) докажите самостоятельно.)Определение.Матрицеи-строкой(11 12 ⋯ 1 ).называетсяматрицаразмера1 × :1121Определение.

Матрицеи-столбцом называется матрица размера × 1: ( ⋮ ).111Определение. Произведением строки = (11 12 ⋯ 1 ) на столбец = ( 21 )⋮1называется число 11 11 + 12 21 + ⋯ + 1 1 = ∑=1 1 1 . При этом строка истолбец обязательно должны содержать одинаковое количество элементов.Обозначение: .Пример.

(142 3) ⋅ (5) = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 = 32.6Определение. Пусть = ( )× , = ( )× (количество столбцов первоиматрицы равно количеству строк второи матрицы). Матрица называетсяпроизведением матрицы на матрицу (обозначение: = ), если = ( )× и = ∑ ∀, ,=1т.е. элемент является произведением i-и строки матрицы на j-и столбецматрицы .11 2 3Пример. Произведение столбца = (2) (размер 3 × 1) на матрицу = ()4 5 63(размер 2 × 3) не определено (т.к. количество столбцов матрицы не равноколичеству строк матрицы ), но произведение определено:11⋅1+2⋅2+3⋅31 2 314 = () ⋅ (2) = () = ( ) — столбец размера 2 × 1.4⋅1+5⋅2+6⋅34 5 632341 4Пример.

Произведение матрицы = (2 5) (размер 3 × 2) на строку =3 6(1 2 3) (размер 1 × 3) не определено, но произведение определено:1 4 = (1 2 3) ⋅ (2 5) = (1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6) =3 6= (14 32) — строка размера 1 × 2.В общем случае ≠ , т.е. произведение матриц некоммутативно. Например, если = ( )2×3 , = ( )3×4 , то произведение определено, а произведение неопределено. Если же = ( )2×3 , = ( )3×2 , то оба произведения и определены, но имеет размер 2 × 2, а имеет размер 3 × 3, поэтому ≠ .Даже если размеры матриц и совпадают, то эти матрицы все равно могут бытьне равны друг другу.

Пример:1 2=(),3 41 25 = ()⋅(3 475 6=(),7 81⋅5+2⋅76)=(3⋅5+4⋅781⋅6+2⋅819 22)=(),3⋅6+4⋅843 501 25⋅1+6⋅35 6 = ()⋅()=(3 47⋅1+8⋅37 85⋅2+6⋅423 34)=(),7⋅2+8⋅431 46 ≠ .Однако для некоторых матриц и может выполняться равенство = . В этомслучае говорят, что матрицы и коммутируют.Свойства. Если матрицы , и имеют такие размеры, что все операции в левоичасти равенств определены, — число, то справедливы следующие равенства:1)2)3)4)5)() = (),( + ) = + ,( + ) = + ,() = () = (),() = .Доказательство своиства 1).

Пусть = ( )× , = ( )× , = ( )× . Введемобозначения:⏞ =⏞() . ()⏟⏟Тогда = ( )× , = ( )× , = ( )× , = ( )× . Нам нужно доказать, что = . Имеем:5 = ∑ , = ∑ = ∑ (∑ ) = ∑ ∑ ,=1=1 = ∑ ,=1=1=1 =1 = ∑ = ∑ (∑ ) = ∑ ∑ .=1=1=1=1=1 =1Поскольку размеры матриц , одинаковы и = ∀, , то = , ч.т.д.Доказательство своиства 5). Пусть = ( )× , = ( )× . Введем обозначения:⏞ ⏞ .⏞) = ⏟(⏟Тогда = ( )× , = ( )× , = ( )× , = ( )× , = ( )× . Нам нужнодоказать, что = . Имеем: = ∑ ,=1 = = ∑ , = , = ,=1 = ∑ = ∑ .=1=1Поскольку размеры матриц , одинаковы и = ∀, , то = , ч.т.д.(Своиства 2), 3) и 4) докажите самостоятельно.)Определение.

Квадратная матрица порядка называется единичной, если она имеетвид10=(⋮00 … 01 … 0) = ( )× ,⋮ ⋱ ⋮0 … 1где = {1 при = ,Выражение называется символом Кронекера.0 при ≠ .Теорема 11.1. Если — матрица размера × , то = , = , где и —единичные матрицы порядка и , соответственно.Доказательство. Пусть = ( )× . Обозначим = , = . Тогда = ( )× , = ( )× .

Нам надо доказать, что = , = . Имеем:6 = ∑ = 1 ⏟1 + 2 2 + ⋯ + + ⋯ + ⏟ .⏟⏟=101 приПоскольку = {0 присоответствующии = :010 = ,то из всеи суммы остается только один член, ≠ , = .Поскольку размеры матриц , одинаковы и = ∀, , то = .Равенство = докажите самостоятельно.Следствие. Единичная матрица порядка коммутирует с любои квадратноиматрицеи порядка .(Докажите самостоятельно.)7.