Lecture10 (Электронные лекции Колыбасовой), страница 2
Описание файла
Файл "Lecture10" внутри архива находится в папке "Электронные лекции Колыбасовой". PDF-файл из архива "Электронные лекции Колыбасовой", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
При этом прямые 1 , 2 переходят вкакие-то новые прямые 1′ , 2′ , и через каждую точку параболоида по-прежнему будутпроходить две различные прямые, ч.т.д.Теорема 10.4. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят дверазличные прямые, целиком принадлежащие этому гиперболоиду.Доказательство. Для простоты рассмотримоднополостныи гиперболоид 2 + 2 − 2 = 1.Возьмем произвольную точку 0 (0 , 0 , 0 ),принадлежащуюгиперболоиду.Еекоординатыудовлетворяютуравнению222гиперболоида: 0 + 0 − 0 = 1.
Рассмотримпроизвольную прямую , проходящую черезточку 0 . Запишем ее параметрическиеуравнения: = 0 + ,{ = 0 + , = 0 + .Потребуем,чтобыпрямаяцеликомпринадлежалагиперболоиду.Подставимкоординаты произвольнои точки прямои вуравнение гиперболоида:222(0 + ) + (0 + ) − (0 + ) = 1.Раскроем скобки:802 + 02 − 02 + 2(0 + 0 − 0 ) + (2 + 2 − 2 ) 2 = 1.⏟12(0 + 0 − 0 ) + (2 + 2 − 2 ) 2 = 0.Для того чтобы это уравнение выполнялось при всех , необходимо и достаточновыполнения двух условии:0 + 0 − 0 = 0,{ 2 + 2 − 2 = 0.Докажем, что эта система имеет решения. Поскольку направляющии вектор прямоиопределен с точностью до произвольного множителя, положим = 1. Тогда системапринимает вид: + 0 = 0 ,{ 02 + 2 = 1.Во втором уравнении положим = cos , = sin . Подставим это в первоеуравнение:0 cos + 0 sin = 0 .Решим его методом вспомогательного аргумента.
Для этого запишем уравнение ввиде00√02 + 02 (cos +sin ) = 0 .√02 + 02√02 + 02Пусть0√02 +02= cos 0 ,0√02 +02= sin 0 . Тогда с учетом равенства 02 + 02 = 1 + 02уравнение принимает вид:cos( − 0 ) =0√1 + 02.Поскольку правая часть по модулю меньше 1, это уравнение имеет два корня напромежутке ∈ (0; 2): = 0 ± arccos0√1 + 02.Тогда = cos = cos (0 ± arccos= cos 0 cos (arccos0√1 + 020√1 +02)=) ∓ sin 0 sin (arccos0√1 + 02)=0 0 ∓ 0,1 + 029 = sin = sin (0 ± arccos= sin 0 cos (arccos0√1 + 020√1 +02)=) ± cos 0 sin (arccos0 (0 , 0 , 0 )Следовательно, через точкусодержащиеся в гиперболоиде:0√1 + 02)=проходят0 0 ± 0.1 + 02двепрямые,целиком0 0 − 00 0 + 0 = 0 +,2 ,1 + 01 + 020 0 + 0 и 2 :0 0 − 01 : = 0 + = 0 +,2 ,1 + 01 + 02{ = 0 + { = 0 + .
= 0 +Однополостныи гиперболоид2222+2−2= 1 получается из гиперболоида 2 + 2 − 2 = 1 с помощью растяжения вдоль координатных осеи. При этом прямые 1 , 2переходят в какие-то новые прямые 1′ , 2′ , и через каждую точку гиперболоида попрежнему будут проходить две различные прямые, ч.т.д.10.