Lecture01 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 1Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны:http://sites.google.com/site/vkolybasovaГруппы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов:http://vk.com/vvkolybasovahttp://vk.com/club54291252Рекомендуемая литература:1.2.3.4.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра.С.Б. Кадомцев. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.А.В. Овчинников. Курс лекций по аналитической геометрии. На сайте кафедрыматематики: http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/21В нашем курсе аналитической геометрии изучаются матрицы, определители,векторы, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2-го порядка, системы линейныхалгебраических уравнений.МатрицыОпределение. Прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов,называется матрицей размера × .Обычно матрицы записывают в круглых или в двойных прямых скобках (две формызаписи).Пример:1 3 −211) или ‖(0 1033 −21‖ — это матрица размера 2 × 3.13Произвольная матрица размера × имеет вид:1121= ( ⋮11222⋮2……⋱…12⋮ ) = ( )× ,где — элементы матрицы ( — номер строки, — номер столбца).Определение.

Матрица размера × (количество строк = количеству столбцов)называется квадратной матрицей порядка .Определители 1-го, 2-го и 3-го порядкаКаждой квадратной матрице порядка ставится в соответствие (единственнымобразом, по определённому закону) некоторое число det , которое называетсяопределителем (или детерминантом) матрицы :матрица размера × ↦ число.На этой лекции мы рассмотрим только случаи = 1, 2, 3.

Определителипроизвольного порядка будут изучаться в конце семестра.1. Определитель 1-го порядка ( = 1). Матрица размера 1 × 1 состоит из одногоэлемента: = (11 ). Её определителем называется этот элемент: det ≝ 11 .(Символ ≝ означает равенство по определению.)2. Определитель 2-го порядка ( = 2). По определению:11 = (211211↦det=|)22211222 | ≝ 11 22 − 21 12 .Определитель матрицы записывается так же, как сама матрица, но в одинарныхпрямых скобках.

Для матрицы размера 2 × 2 определитель равен разностипроизведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочнойдиагонали:11|211222 |побочная диагональглавная диагональДалее будем называть элементами, строками и столбцами определителя det элементы, строки и столбцы матрицы .Теорема 1.1 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителявторого порядка).

Для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю,необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или столбцов) былипропорциональны:11|2111 1212|=0⟺=.2221 22Примечание. В случае равенства нулю 21 или 22 данное соотношение следуетперемножить «крест накрест», как пропорцию: 11 ⋅ 22 = 12 ⋅ 21 .Теорему докажите самостоятельно.3.

Определитель 3-го порядка ( = 3). По определению:гл. диаг-льпобочная диаг-ль11 12 13det = |21 22 23 | ≝31 32 33≝ 11 22 33 + 21 32 13 + 31 12 23 − 31 22 13 − 11 32 23 − 21 12 33 .Запомнить эту формулу можно с помощью следующей схемы:111213111213212223212223313233313233Ещё одно мнемоническое правило:1112––13––11–1221222321223132333132+++Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцуСгруппируем в выражении для определителя 3-го порядка все члены, содержащиеэлементы первой строки 11 , 12 , 13 :11 12 13det = |21 22 23 | =31 32 33= 11 22 33 + 21 32 13 + 31 12 23 − 31 22 13 − 11 32 23 − 21 12 33 =(22 33 − 32 23 ) + 12 ⏟(13 13 − 21 33 ) + 13 ⏟(21 32 − 31 22 ).= 11 ⏟111213Определение.

Множители при соответствующих элементах в определителеназываются алгебраическими дополнениями:det = +(…⏟)не содержит .Упражнение. Получите явный вид всех алгебраических дополнений и проверьтесправедливость следующих формул разложения определителя 3-го порядка построкам и столбцам:11 11 + 12 12 + 13 13 (разложение по первой строке),21 21 + 22 22 + 23 23 (разложение по второй строке),31 31 + 32 32 + 33 33 (разложение по третьей строке),det =11 11 + 21 21 + 31 31 (разложение по первому столбцу),12 12 + 22 22 + 23 23 (разложение по второму столбцу),{13 13 + 23 23 + 33 33 (разложение по третьему столбцу).Определение.

Минором элемента определителя 3-го порядка называетсяопределитель 2-го порядка, получаемый из данного определителя путёмвычёркивания той строки и того столбца, на пересечении которых находится данныйэлемент.Пример:11|21311222321323 | ⇒ 12 = | 2131332333 |.Связь миноров и алгебраических дополнений: = (−1)+ .⍟Мнемоническое правило для запоминания знаков при :+ – +– + –+ – +Упражнение. Проверьте самостоятельно справедливость формулы ⍟ для всехминоров в определителе 3-го порядка, используя полученные в предыдущемупражнении выражения для алгебраических дополнений .Свойства определителей 3-го порядка1°. Определитель не изменится, если строки и столбцы этого определителяпоменять ролями (транспонировать):1 2 31 1 1|2 2 2 | = |1 2 3 |.1 2 33 3 3Доказательство: распишем определители в левой и правой частяхдоказываемого равенства и убедимся, что они тождественно совпадают.2°.

Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильнаумножению определителя на число −1.Пример:1 2 31 2 3|1 2 3 | = (−1) ⋅ | 1 2 3 |.1 2 31 2 3Доказательство. Разложим определитель по оставшейся на месте строке илистолбцу (в приведённом примере — по первой строке). При перестановке двухдругих строк (столбцов) поменяются местами строки (столбцы) во всехминорах, построенных на этих строках (столбцах). При этом согласновыражению для определителя 2-го порядка все миноры поменяют знак.3°. Если определитель имеет две одинаковых строки (или два одинаковыхстолбца), то он равен нулю.Доказательство: это следует из свойства 2°.4°.

Если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то и самопределитель равен нулю.Доказательство: это следует из разложения определителя по данной строке(столбцу).5°. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя начисло равносильно умножению определителя на .Доказательство: это следует из разложения определителя по данной строке(столбцу).6°. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равеннулю.Пример:1 1 1|2 2 2 | = 0.3 3 3Доказательство: это следует из свойств 5° и 3°.7°. Разложение определителя в сумму определителей:1′ + 1′′ 1′ + 1′′ 1′ + 1′′1′ 1′ 1′1′′ 1′′ 1′′22 | = |2 2 2 | + | 2 2 2 |.| 23333 3 33 3 3Аналогично для любой другой строки или столбца.Доказательство: это следует из разложения определителя по данной строке(столбцу).8°.

Если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавитьсоответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число ,то величина определителя не изменится.Пример:1 1 11 + 1 1 1|2 2 2 | = |2 + 2 2 2 |.3 3 33 + 3 3 3Доказательство: это следует из свойств 7° и 6°.Непосредственной проверкой можно убедиться, что все перечисленные свойствасправедливы и для определителей 2-го порядка..