Вырезка из книги Михалева, страница 4

Если к VЕwW,-и'=кV=и ЕВи=и ЕВ W, то представление элемента V Е+wопределено однозначно (действительно, если V = Uш'- w Е И n W = {О}, следовательно, u = и', wW изоморфно внешней прямой сумме {( н, ш)== и'Vв виде 1!=+из'; и' Еr-,-.и- И',uЕ С,и/ Е 1Г, тош'), и поэтому линейное пространствоIиЕ и ш Е П-} линейных пространстаКU и К Иl с естественными операциями сложения пар и их умножения на с Е К.Пример8.51(прямого разложения).

Пусть=VМ, (IR) ,TIV=И={А Е Mn(IR){А Е Mn(IR)I А* =I А* = А}.-А}.ТогдаIRV=UEВW.Действительно, А =8.13.А+А*2+А-А*2= -. Если А = А*А, то А=О Е Mn(IR).оЛинейные отображения линейных пространствПусть К-поле, кU, к V-линейные пространства над полем К. Отображениеf:КU ---> К Vназывается линейным отображением, еслиf(x+ у) = f(x) + f(y),Ло:х)=о:хдля всех х, у Е И, о: Е К.Если кu=КVиf:КU ---> К V-линейное отображение, то отображениелинейным оператором на линейном пространстве кU. Еслиf:V =fназываетсяК, то линейное отображениеКU ---> К К называется линейным функционалом на линейном пространстве кu,Введём операцию сложения для линейных отображений(jf, g:И --->V:+ g)(x) = f(x) + g(x)для всех хЕИ.

Для о: Е К положим(о:Л(х)=о:Лх)для всех хЕИ. С этими операциями множество всех линейных отображений И --->линейным пространством (обозначение: Ношь- (И,V)).Vстановится86§ 8.Пример 8.52. Пусть и= Кт, V = к.; А Е Мn,т(К). Для Х Е Кт положим у = АХ. Тогдатак определенное отображение кUПримеры8.53Линейные пространства--7К V является линейным отображением.(линейных функционалов).1)К= 1R, IR V =С[О,1], to2)К= 1R, IR V =С[О,1]. Для g = g(t) Е С[О, 1] положим f(g) =Е[0,1],дляg = g(t)Е С[О,1]положимf(g) = g(to).1J g(t) dtо3) V8.14.= К"; 0:1, ... , О:n Е К. ДЛЯ х = (Х1"", х n) Е К" положим ЛХ)= O:lXl + ... + аnхn-Сопряжённое пространствоПусть к Vналов наV.линейное пространство над полем К, к V*-ДЛЯf,-множество всех линейных функцио­g Е V* имеем(J+ g)(x)(о:Л(х) == ЛХ)+ g(x)oJ(x)для всех о: Е К,для всех х Е V,х ЕV.с этими операциями сложения и умножения на элементы поля К множество к V* превращаетсяв линейное пространство над полем К.

Линейное пространство к V* называется сопряжённымпространством к линейному пространству к V.Пустьх=dim V = n,+ .. , + хnе n,Х1е1е1, ... , е n -базис линейногопространстваV,fЕV*,хЕV.Тогдаxi Е К, 1 ~ i ~ п, f(x) = x1f(el) + ... + xnf(e n). Функционал f од­J(el)"'" J(en ) Е К.

Отображениенозначно определяется элементамиявляется изоморфизмом линейных пространств. Таким образом,V*~V(так какdim V* = n=dim V).Рассмотрим следующие функционалыТак как(tfiЕV*, 1~O:ifi) (ej) = O:j,~ п:i1~=1то функционалых ЕV.Ji, 1< j ~ n,~ i ~ n, линейное независимые. Для любых функционалаимеем.f ЕV*и элементаnf(x) =Lxif(ei),i=1следовательно,nf=L f(ei)ki=1Итак, Л,... , fn -базис линейного пространстваV*,к базису е1,, е n линейного пространства V. Элементв базисе Л,Л«.Еслиэтот базис называется дуальным базисомiЕ V* имеет координаты (.t (ег), ...

, .f(е n ) )8.15.87Теорема о ранге матрицыбазисы линейного пространстваЕ' = С*[, то, так как1-V,С ЕGLn(K) -матрица перехода от базиса [Это равенство задаёт правило замены координат в линейном пространствебазисаIn(дуального к базису е1,···, е n линейного пространства(дуального к базису e~, ... ,e~ линейного пространства V).11,··"Рассмотрим теперь второе сопряжённое пространствофизмV->Любой элемент х ЕV**.линейном пространствек базису Е',линейное отображение, имеемV*при переходе отк базисуf{, ...

, I~и построим канонический изомор­рассмотрим как следующий линейный функционал наV(т. е. как элемент х Еx:V*->К,V**V*V)V**):x(J)=I(x)для всехIEV*.(7)Построенное отображениеVзадаётинъективноелинейноелх) = х(!) = о для всех1Еэ х -> х ЕотображениеV*,поэтому хV->=V**Действительно, еслиV**.О. Так какх=о.тоdim V = dim V* = dim ~-**, то этоотображение является изоморфизмом линейных пространств.8.15.Теорема о ранге матрицыПусть А =(Щj) Е Мт,n(К)-прямоугольная (т х n)-матрица с элементамиQijиз поля К.Определитель }\./[il ,.,ik;]l ,,]k квадратной (k х k )-матрицы, состоящей из элементов на пересеченииkстрок с номерами·i1, ...

:ikиkстолбцов с номерами]1, ....н. называется минором к-го порядкаматрицы А. Наивысший порядок ненилевого минора матрицы А обозначим через г(А).ТеоремаА =(ai])8.54(о ранге матрицы). Следующие четыре числовые характеристики матрицыЕ Мт,n(К) совпадают:1) г(А 1 ,, А т ) (ранг системы строк, в к ) ;2) г(А 1 ,,3)nА n ) (ранг системы столбцов, в кn);г(А) (наивысший порядок ненулевого минора);4) число ненулевых строк r в ступенчатом виде А матрицы А.(Это совпадающее число называется рангом матрицы А и будет обозначаться через г(А).Доказательство разобьём на четыре леммы.Лемма8.55.Пусть матрица А получена из матрицы А элементарным преобразованием строк(столбцов) /-го или 2-го типа, тогда г(А)= г(А).Если А-ступенчатая форма, к которой приво­дится матрица А, то г(А) = г(А).Доказательство проведём для преобразований строк (для столбцов всё аналогично).Случай 1.

A~ = A i + cA j , с Е К, i -#]. Для k > г(А) рассмотрим минор NI =а) Если i ~ {ч . .. i k } , то NI = Mi1, ..,ik;]1"',]k = О.б) Если i,j Е {'i 1,, ik}, то Лl = Mi1, ... ,ik;]1, ... ,]k = О.в) Если i Е {i1,l':li ] , .. ,ik;]l,,]kВ А.,i k } 7э j, то разложим определитель М по i-й строке A~ = A i + сА] в сумму= М + cLS. = О, так как М = Mi1, ... ,ik;jl'''',]k = О, поскольку k > г(А),двух определителей: М88§ 8.Линейные пространстваопределитель LS. в качестве i-й строчки имеет часть строки A j , но ] t/:.

{i 1 , ... , i k } , И поэтомуLS. отличается от минора матрицы порядка k перестановкой двух строк, и поэтому Li = О. Итак,г(А) ( г(А). Поскольку от А к А можно вернуться элементарным преобразованием строк, тог(А) ( г(А).Случай 2. A i <--7 Aj разбирается аналогично (i,] Е {il, ... ,ik}; i,] t/:. {i1: ...

,ik};iE{i 1 , ... ,ik};ij)nЛемма8.56(о сохранении линейных соотношений между столбцами при элементарныхпреобразованиях строк). Пусть от матрицы А к матрице А' мы перешли элементарными преоб­разованиями строк, тогда столбцы матриц А и А' имеют одни и те же линейные соотношения.а именно, k u 4. 1+ ... + knA n =О тогда и только тогда, когда ku4.~+ ... + kn.A~=О.Доказательство. Ясно, что элементарные преобразования Гто и 2-го типа д.1Я строк сохраня­ют линейное соотношение для столбцов и эти преобразования обратимы.Следствие 8.57. Система столбцов .Aj 1 , ...

, .Aj1' матрицы А линейно заВИСН.\!а гсоогзет­ственно,линейно независима или является максимальной линейно независнмой Г!О.1снс;е.\tИ;~ в.А 1 , ... ,..Аn Е кт) тогда и только тогда, когда соответствующая система столбцов I с гемн женомерами) .A'jl"'" .Aj1' матрицы А' линейно зависима (соответственно лннейно чеэавнснма Н.Шявляется максимальной линейно независимой подсистемой в .A~: .... A~ ~ к:».Следствие 8.58. г{..А 1 ,Лемма 8.59. Если А-... ,.А n }= г{.A~, .. . , .A~}.ступенчатая матрица, то наивысший порядок неН_':1еВОГО\Шfюра г Асовпадает с числом т ненулевых строк.Доказательство.1) Минорт-го порядка на пере сечении '1' иенулевых строк и столбцов.

проходящих через УГО.1Ю!ступенек, является определителем треугольной матрицы с иенулевыми элементами надиагонали,2)ипоэтому отличенглавнойот нуля.Все миноры, порядок которых больше '1', нулевые, так как имеют нулевую строку.ОЛемма 8.60. В ступенчатой матрице А ранг системы столбцов совпадает с числом r ненулевыхстрок (а именно, столбцы, проходящие через уголки ступенек, образуют максимальную линейнонезависимую подсистему столбцов).Доказательство.1)Указанные столбцы линейно независимы, так как проходят через (7'хт)-матрицу сненулевымопределителем.2)Любой столбец ступенчатой матрицы является линейной комбинацией указанных.Следствие8.61О(алгоритм нахождения максимальной линейно независимой подсистемыв системе столбцов прямоугольнойматрицы). От матрицы А перейдём к ступенчатой матрице Ас помощью элементарных преобразований строк ]-го и 2-го типов, запомним номера столбцов]1, ...

,]1" проходящих через уголки ступенек в А, в матрице А возьмём столбцы с этими номерамиAj 1 , · · · , .A.i1"Пример8.62.Найти какую-либо максимальную линейно независимую подсистему строк в си­стеме 0,1,0,2, аз: 0,4 Е JR4,0,1 =аз(-1,4, -3, -2),= (3, -2, 1, О),0,2 =0,4(3,-7,5,3),= (- 4, 1, О, 1),а остальные строки выразить как линейные комбинации строк этой подсистемы.8.15.89Теорема о ранге матрицыРешение. Записываем строки 0.1, 0.2, аз, а4 как столбцы и при водим полученную матрицук главному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:(-~ -~ -~ -~) ~ (-~-3-2531ООО1О3 -4)35-4-310-8-631 32 -4)-3~-15129ООО00о~(~011омаксимальная линейно независимая подсистема.

аз = 30,1системы строк 0.1, 0.2, аз, 0,4 равен+ 20,2,1, 2.0,4 = -50,1 -.о000Записываем номера столбцов в ступенчатом виде, проходящие через уголки ступенек:{0.1, 0.2} -3 -3-5)2О '-::o~o~--:oo-Поэтому30,2: ранг2.Завершение доказательства теоремы о ранге:г ( А 1 , ... , А nЛл)лемма 8.56=.с(""г А 1 , ... , А n=тТеорема8.63. Пусть А= (aij))(ранг столбцов ступенчатои матрицы А)uлеММ~859 г(А) леММ~855 г(А)Е Мm,n(К), Вг(АВ) ~ г(А),Доказательство. Пусть С =(Cij) ==-лемма 8.60=г(А*) леММ~856 г(А 1 ,= (bij)Е МnАК). Тогдаг(АВ)< г(В).... ) Аm) .ОАВ. Тогда+Ci = ail B1 +с, = А 1 Ь 1) +Cij =ail b1j+ ainbnj ,+ ainBn,+ Anbnj,т.

е. строки матрицы С линейно выражаются через строки матрицы В, столбцы матрицы С линейновыражаются через столбцы матрицы А. Поэтому г(С) ~ г(В) и г(С) ~ г(А).Следствие8.64.Доказательство.иПри умножении на квадратную матрицу А сТак какIAI #- о,IAI #- оОранг не меняется.то существует обратная матрица А- 1 Поэтомуследовательно,г(В) ~ г(ВА),г(В) ~ г(АВ).г(В) ~ г(ВА),г(В) ~ г(АВ).г(В) = г(ВА),г(В) = г(АВ).Ранее мы доказали, чтоПоэтомуТеорема8.65(о факториальном ранге). Пусть т,равен наименьшему числуkА(это числоknЕ N, А Е Мm,n(К). Ранг матрицы г(А)такому, что=В. С,где В ЕMm,k(K),оС Еназывается факториальным рангом матрицы А).Mk,n(K)90§ 8.Доказательство.

Допустим, что А =В. С,где В Е Мm,n(К), С ЕЛинейные пространстваMk,n(K). Тогда системаk штук). Поэтомустолбцов матрицы А линейно выражается через систему столбцов матрицы В (ихг(А) ~k.Пустьk: = г(А). Выберем строки A i 1 , ... ,Ai k , образующие максимальную линейно независимуюподсистему строкA 1 , ...,А т матрицы А,Рассмотрим матрицы В Еj = 1, ... ,k.Теорема=Тогда А8.66Mm,k(K),В=(/Зij) , и С ЕMk,n(K),для которой j-я строка С,о(теорема Кронекера-Капелли: критерий совместности и определённостисистемы линейных уравнений в терминах рангов матриц).

Пустьных уравнений с= AiJ •В· С.17,неизвестными, А= (aij)Е Мm,n(К)-(aijI bi )-система т линей­матрица коэффициентов,расширенная матрица системы линейных уравнений.а) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг мэлрниы коэффи­циентов А равен рангу расширенной матрицы А/ = (А, Ь), г(А) = г(А/).б) Система линейных уравнений определённая тогда и только тогда, когда г(А)=г(А'/= n.Доказательство.1) Используя определение ранга матрицы с помощью столбцов, видим, что всегда l'(A) ~ т(А').2) Если (k 1 , .. .