Вырезка из книги Михалева, страница 5

,kn ) - решение, тот.е.столбцыматрицыА'линейновыражаютсячерезстолбцыматрицыА,следовательно,г(А') ~ г(А), и поэтому г(А') = г(А).3) Пусть г(А')=г(А) = т. Тогда максимальная линейно независимая система столбцов матри­цы А содержит т столбцов, и поэтому она является и максимальной линейно независимой системойстолбцов матрицы А'. Таким образом, столбецCJлинейновыражаетсячерез эту систему столбцовматрицыА, а поэтому и через все столбцыматрицы А,Итак, существует решение(kl, ... ,kn ) системы линейных уравнений.о8.16.91Размерность пространства решений однородной системы линейных уравненийВторое доказательство.Элементарнымипреобразованиямиприведемсистемулинейныхуравнений к ступенчатому виду (ранги матриц не меняются при этом). Совпадение рангов означаетотсутствие«экзотических»уравнений в ступенчатомвиде, т.

е. совместностьсистемы линейныхуравнений.4)ОДоказательство критерия определенности (в терминах рангов). Если система определе­на, т. е. г(А)=г(А/), то она определена тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде нет=свободных неизвестных, т. е. г(А)8.16.г(А/)= 17,.ОРазмерность пространства решений однородной системы линейных уравненийКак мы отметили ранее, совокупность решений Х одн однородной системы линейных уравнений=с матрицей АТеорема(Щj) Е .lVIm,n(К) является линейным пространством, подпространством в К":8.67.Если r=г(А)<17"то dimХ одн=n-Т (т. е.

размерность пространства решенийравна числу свободных неизвестных). (Если г(А) = 17" то система линейных уравнений имеет лишьнулевое решение.)Доказательство.Для удобства записи переупорядочимнеизвестные,если это необходимо,так, чтобыХ1,... , Х rИn-'1' главных неизвестных=Пусть ЕEn~r Е .IVIn-r(К)Х r+1,... , Х N'1' свободных не известных- единичная матрица размера (17, - Т) Х (17, - Т). Возьмём её строкив качестве наборов значений для свободных неизвестных и дополним их (единственно возможнымспособом) до решений нашей системы линейных уравненийСУ1=(С11"", С1r, 1, О, ... , О),CYn-r = (С(n-r)1"'" С(n-r)r, О, О, ...

,1).Эта система17, - rстрок-решений линейно независима (поскольку строки единичной матрицы,конечно, линейно независимы). Если(3= ((31, ... ,(3n-r, (3n-r+1, ... ,(3n) Е Ходн -произвольное решение, то'/ =(3 -(3n-r+1 СУ1 - .,. - (3n CYn-r=('/1, ... ,'/n-т, О,... , О) ЕХ одн 'Однако, конечно,(О,при этом'/...,О, О,...,О) Е Ходн,и нулевое решение имеют одинаковый набор значений для свободных неизвестных.Так как значения главных неизвестных однозначно определяются по свободным, то'/=О, следо­Ходн,поэтомувательно,(3Итак,мыdimХ одн=построилиn -Замечаниебазис=(3n-т+1 а1{а1"", а n - r }+ ... + (3nan~T'линейногопространстварешенийт.8.68.DЕсли вместо строк единичной матрицы Еn - т для свободных неизвестныхбрать строки всевозможных матрицGпозволяет построить все базисы в Ходн,Е GLn-r(К) (т.

е. С Е .lVIn(К),IGI i-О), то этот алгоритм92§ 8.Замечание8.69.Линейные пространстваЛюбой базис линейного пространства решений Ходн однородной системы ли­нейных уравнений называется в ряде алгебраическихтекстов «фундаментальнойсистемой решенийоднородной системы линейных уравнений».8.17.KV =Задание любого подпространства вК'"как пространства решений однородной системы линейных уравненийполе, и1"", и m ЕПусть К -KV=К'", И=(и1, ...

, и rn) -подпространство в к П , ЯВЛЯЮ­шееся линейной оболочкой строк Н1, ... , Нm, т. е. множеством всех линейных комбинаций строк'И1, ... , 'И rn· Мы найдём такую матрицу А Е Ms,n (К), что множество решений однородной системылинейных уравненийА CJ (~)совпадает сЕсли ИU.-с ненулевымнулевое подпространство, то в качестве А мы можем взять любую матрицуопределителем(например, А =Е). Еслии =КПnхn(это эквивалентно тому, чтоdim и = п), то в качестве А мы можем взять нулевую матрицу из Ms,n, s ~ 1. Если же1 ~ dimU = ГСИ1"", 'И m ) < п, то пусть 'Щ = ('Иil, иа, ... , 'Иiп), 1 ~ i ~ т, 'Uij Е К.Рассмотрим матрицу В Е Мrn,п(К), В = (bi j ) , bi j = 'Uij, 1 ~ i ~ т, 1 ~ j ~ 11.

И однороднуюсистему линейных уравнений(8)Ясно, чтоr =т(В) =системы равна п.-dil11 и,Пусть строки 111, ... , 1)s ЕVi11 ~ r < п. Размерностьr < п, то 1 ~ 5 < п..поэтомут, и так как1~КПобразуют фундаментальную систему решений системы=~5 пространства решений Х одн этой(Vi1 .... ,'Uin), 1 ~ i ~ 5, 1.Ч} Е К. Пусть А Е Ms,n(K), Аj ~ п.

Покажем, что А - искомая матрица.= (Oi,j),Ои=l'ij,(8),1 ~ i ~s,Действительно, по построению матрицы А любая строка из И (как линейная комбинация строк'И1, ... , 'И rn ) является решением однородной системы уравнений(9)т. е. И ~ Х одн ' С другой стороны,dim Ходн = n - r (А) = п - s = п - (п - Т) = т = dil11 U.Следовательно, и=Х одн .ОВ заключение отметим, что матрица А определена неоднозначно. Например, другая матрица А'может быть получена с помощью другой фундаментальной системы решений системы(8).Полученное задание линейных подпространств оказывается полезным при решении ряда прак­JRn - линейно независимые строки, т < п. Требует­ся найти такие строки 'И m + 1 " , , ; 'И п , что {'щ, ...

, 'И п } - базис линейного пространства JRn Как и вы­ше, пусть V1, ... , V s - какая-нибудь фундаментальная система решений системы (8) (в нашем слу­чае т(В) = т, S = n - т). Положим 'И m+1 = V1, .. ·, 'И п = V n- m' Покажем, что {и1,,'" 'И п } - базистических задач. Например, ПУСТЬИ1"", 'И m Е8.17.93Задание подпространства как пространства решений однородной системы линейных уравненийв JRn. Достаточно показать, что строки щ,и СУ1Щ+ ...

+ СУnи n =имеем Z Еunv, где Vподпространств И иVО Е... ,иn линейно независимы над JR. Пусть СУ1,= (и т+1"," 'и n). Если Z(см.(8), (9))=(Z1, ... , zn), zizr + ... + z; = О, следовательно,Z1= ... ==ZnО, И... , 'и nЕJR, 1 ::>; i ::>; п, то по построению~ О,z= О Е JRn, Значит,линейно независимые строки, поэтому СУ1 = ...также линейно независимы, следовательно, СУ т+1строки 'щ,JRимеем(2), ... , Zn) (:)Но 'и1, ... ,ит -...

, СУП ЕТогда для строкиJRn,= '" =СУП==СУ т=О. Строки и m+1.···. uпО. Итак, СУ1= .. ' ==СУпО илинейно независимы.Таким образом, мы рассмотрели два способа задания линейных подпространств в К ~.' = К П :1)как множество решений ХОДН однородной системы линейных уравнений;2)как линейную оболочку ('и1,... ,ит ) строк 'и1, ... ,ит Е к V = К",При этом мы научились переходить от первого задания ко второму (фундаментальная системарешений) и от второго задания к первому. Первый способ задания удобен для задания пересеченияИnWподпространств (надо к первой однородной системе уравнений при писать вторую). Второйспособ задания удобен для задания суммы подпространств:в следующем примере мы увидим комбинацию этих приёмовПример 8.70. Пусть V1иа= (0,1,1,0),V2= (0,2,1,1),UзVз= (0,0,1,1)),= (1,2,1,2)).<;;; JR4 (линейная оболочка строк щ = (1,1,0,0),(щ,V2,VЗ) <;;; JR4 (линейная оболочка строк '1'1 = (1,0,1,0),(щ,U2,UЗ)=V2=Необходимо найти базисы линейных пространств V 1при этом строки щ, 'и2, Uз, V1, V2, Vз выразить через базис пространства V 1+ V2И V1n V2,+ V2.Решение.

Запишем строки щ, 'и2, Uз, V1, V2, VЗ по столбцам и приведём полученную матрицук ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:'и1 И2изV1 V2VЗ1 О О 1 О 11 1 О О 2 2о 1 1 1 1 1О О 1 О1 2(1)(-+ОООО1 ОО1 О -1 21 11 1О 1О 11)-+J'LL1~ (~О1О 11 о -12 12 -1 ОО 1О 1О1 2О-+!и2J-«J1'1J1'21О-122 -11 -1J'изn94Линейные пространства§ 8.Посколькуvi + V2 =(7),1, Н2, 7),з, V1, V2, vз) и элементарные преобразования строк матрицы не ме­няют линейных соотношений между столбцами, то {Н1, Н2, нз, V1} -dim(V1+ V2 )=4, то vi+ 112111 + V2базис в(и так как= JR.4). Из ступенчатого вида мы вычисляем V; и V~ через H~, н;,7),~, V~:Поэтому V; = H~V~+V~=+ -и; + H~=v~ и, следовательно, V2-(2, О, 2, 0)* = 2H~ +2H~, поэтому VЗ=+ Н2 + НзН1-Vl. ДЛЯ V~ мы видим, что2и1 +2'U3-1Jl.

Проведеиные вычисления равносильнызавершению приведения матрицы к главному ступенчатому виду:О~)1О11О-1 -1L- 1_Рассмотрим теперьV1 n V2.ДЛЯ этого найдём однородные системы линейных уравнений, чьимножества решений совпадают сДля.viиV2соответственно.V1 :(1ООО О) (Х1)(О)ОХ21 1 ОО 1 1ХЗОХ4система уже имеет ступенчатый вид, Xl, Х2, Хз -главные неизвестные, Х4 -ментальная система решений состоит из одной строки(-1,1, -1.1).свободная.

Фунда­Итак, подпространствоviсовпадает с пространством решений однородной системы линейных уравнений(-1,1,-1,1)ДЛЯ(Ю ~O(1 О)V2 :О--+О22(:О) Г) (~) (i~11 11 2~) (j~) шо(ю Ш (~ О (j~) Ш-: ) (j~) шХ2--+ХзХ4ОО12 12 О--+О12 11 О--+1О1и мы приходим К ступенчатому виду, при этом Xl, Х2, Хз -11 О2 1--+главные неизвестные, а Х4 -Фундаментальная система решений состоит из одной строки(-1, -1, 1, 1).свободная.Значит, однородная95система линейных уравненийн,-I,I,I) (Ю ~Oзадаёт подпространство§ 9.(11 )V2.Линейные операторы линейного пространстваПустьV-линейное пространство над полем К. Напомним, что отображение А:вается линейным отображением или линейным оператором (на пространствех, У ЕV,V),V-7Vназы­если для всеха Е К имеемА(х+ у) = А(х) + А(у),А(ах) = аА(х).Пустьdim V= n < 00,е1,...

, е-, -базис линейного пространстваV.В силу свойства линейно­сти любой линейный оператор однозначно определяется (эадаётся) образами базисных элементов71)j = A(ej)ЕV, .7 = 1, ... , п..Действительно, еслиnХ= LXjej,j=lтоА(х) ~ АЕсли же заданы элементы(t,W1, ... ,wnЕXje j )V,=t,xjA(ej)=t,XjU'jто дляnХ=Х1е1+ ... + хnе n =LXjej Е Vj=lопределимnА(х) = Х1Ш1+ ... + ХnШ n =LXjWj.j=lnПолученное отображение А:V-7Vявляется линейным, поскольку для У =имеем:А(х + У) = A(t XjCj + t]=1nn= L(Xj + Yj)Wjj=l= A((Xj + Yj)Cj) =Yje j)]=1=L XjWjj=ln+ LYjWj=А(х) + А(у);j=lЕсли жеnШj=A(ej) = o,lje1 + a2j e2 + ...+ o,njen =Li=lo,ijei,Lj=lyjejи а Е К96где§ 9.aijЕ К,i= 1,2, ...

.п,j= 1.2, ... ,п,Линейные операторы линейного пространствато линейный оператор А:V---7полностью опреде-Vnляется и задаётся квадратной (п х п)-матрицей Аматрицей линейного оператора А в базисе еl,·= (aij)Е Мп(К),A(ej)=Laijei, называемойi=l.. , е п .Таким образом, еслиnх= LXjej,Х=(тт.. ··,.т п ) Е M1n(K),j=lnW=L щеi,W = (Ш1,... , 'Шп ) Е М 1п(К),i=lтоnWi = Lai.jXj,i= 1, . . .