Вырезка из книги Михалева, страница 20

Размерно­стью этого аффинного пространства называется размерность линейного пространства к V.Пример12.1. (R n , R n ) .Выберем точку О Еаффинного пространства51 и базис ·/)1- ... _ L'n линейного пространства к V. Система(51, к V) - это совокупность {О; V1,, V n } . Для любой точкиординаты точки Х в фиксированной системе координат {О; V1,------7ОХ в базисе ·И1,... ,'И n линейного пространства------7KV.Х Е51ко-это координаты элементаОтождествляя точку Х Е51с её координата-------7= ОУ - ОХ = У - Х Е К":{01; 1)~, ...

, V~} - другая система координат аффинного пространства (51, V). Тогда длями, Х Е К", имеем ХУПусть-----7,Vn } -координатпересчёта координат точек в разных системах координат имеемО...01vХгде С ЕGLn(K) -матрица перехода от базисаV1, ... , Vnлинейного пространства к V к базисуV~, ... , 1)~. Следовательно, 61 = Х - с . Х', или х = 61 + С . Х', где 61, Х - столбцы коорди­нат точек 01 и Х соответственно в «старой- системе координат {О; 7J1, ...

, 7Jn } , х'координаты-------7элемента 01Х в базисе V~, ... , V~ линейного пространства к V.-Пусть зафиксирована система координат {О; V1, ... ,Vn } точечно-векторного аффинного про­странства(51, V), п = dim V, А Е Мm,n(К), г(А) = r < п, k = п - г. Множество всех точек Х(51, V), чьи координаты в этой системе координат аффинного пространства (51, V)пространстваудовлетворяют совместной системе уравненийназывается к-мерной плоскостью (еслиk=п. -1, то гиперплоскостью'[.

Любая гиперплоскостьможет быть задана линейным уравнениемnLaixi = Ь,i=lгде Ь Е К, а; Е К, 1 ~Пусть теперь К =странство(51, V)i ~ п,R,JR V-евклидоно пространство. Тогда аффинное точечно-векторное про­называется евклидовым аффинным (точечно-векторным) пространством. Рассто­янием между точками .М,-+N Е 51 называется число 1М NI Е R.Пусть k-мерная плоскостьW в евклидов ом аффинном пространстве задана системой159где А Е Мщn(JR), г(А)= Т, k = n - Т.

Так как О Е lГ, то lГ -.ынеЙное полпространство в IRV,-->-->1V ED 1Vl-, И для любого Х Е s1 элемент ОХ однозначно представляется в Биде ОХ = У + z,где У Е Иl, z Е VV'l-. Число Izl называется расстоянием от точки Х до плоскости 1V. Ясно, чтоIR V =(см.??)Izl- минимальное возможное число среди всех чиселЕсли теперь k-мерная плоскостьОХу-.тле у Е П'-задана совместной СИСТБЮЙ линейных уравненийWAX~ CJ.(28)где А Е Mm,n(JR), г(А) = Т, k = n - Т, bi Е JR., 1 ::;;; i ::;;; m. то пусть .УО Е Н! - частное решениесистемы (28).

Тогда все решения системы (28) имеют вид ХО - г. где у - решения однороднойсистемывсе решения У образуют k-мерную гиперплоскость П", проходящую через начало координат. ЕслиV = W' ffi (W')l-, то для любой точки Х Е s1 элемент Х;;Х имеет однозначное представлениев виде х;;хплоскостиУ + z, где У Е W', z Е (W')l-. Число=называется расстоянием от точки Х до1V.Пусть К =JR., (S1, V) -n-мерное аффинное пространство,иенулевая квадратичная фор­Q(x) -ма на линейном пространстве IR V, Ь(х){О; щ,...

, V n }вается множество таких точек Х ЕS1,-->Q(OX)-->Отметим, что если ОХ1 ::;;; i ::;;; n.- линейная форма на линейном пространстве lR V. Пусть(S1, V). Поверхностью второго порядка (квадрикой) назы­система координат в-=Х1 V1что-->+ 2Ь(ОХ) + с =+ ... + xnVn,xiЕО,гдес ЕJR., 1 ::;;; i ::;;; n,(29)JR..-->то Ь( ОХ)=+ ... + ЬnХ n,Ь1Х1С помощью замены базиса линейного пространства IR V квадратичная формаможет быть приведена в каноническому виду (см.??),bi Е JR.,-->Q( ОХ)после чего, с помощью выделения полныхквадратов (и переноса начала координат), в новой системе координат уравнение(29)преобразуетсяк одному из следующих типов:±±±Если± У; = 1± У; = о± У; - 2уnпространства н V,(1::;;;т::;;;n);=О(1 ::;;; '(' ::;;;п.- 1).ортонормированный{V1"", Vn} -то, изменяя ортонормированный базис евклидова простран­ства IRV на ортонормированный базис V~,дения квадратичной формыО в(1::;;;т::;;;n);евклидово n-мерное аффинное пространство,(S1, V) -базис евклидоваyi ± y~yi ± y~yi ± y~-->..

. ,'и~ евклидова пространства IR V (в процессе приве-к главным осям и возможного переноса начала координатQ(OX)01), в новой системе координат {01; 'И~, ... ,'и~} уравнение (29) преобразуется к одному изследующих типов:+A1yi +A1yiПри этом А1,...

, А т-+ АтУ; =+ АтУ; -Н(Т2f-LУn = О(т::;;;n-1, f-L,Аl, ... ,А т Е JR. ) .::;;; n,Н ЕJR., AiЕJR., 1::;;; i ::;;;ненулевые коэффициенты канонического вида формык главным осям (см. теорему11.25).Случаиn=2,3QТ);при приведении еёподробно рассмотрены в??.