Вырезка из книги Михалева

Линейные пространства§ 8.8.1.ВЫВОД свойств линейного пространства из аксиомПусть К-поле,V-непустое множество с операцией сложенияи операциями умножения на элементы с Е ]{(V--7V,Vf----?(VхV--7V,(о, Ь)f----?0+Ь)CV), удовлетворяющими следующимусловиям:1.1)ассоциативность сложения (т. е. ('11+ v) + w = '11 + (v + w)для всех U,и,1.2)коммутативность сложения (т. е.+ 'и = v + '11v1.3)Uдля всех и,ЕV);существование нейтрального элемента О для операции сложения (ТvЕV);w Е V);е. 'и+О='и для всех8.2.71Линейная зависимость в линейных пространствахсуществование противоположного элементаI.4)= v для всех v ЕII.1) 1· vII.2) (1's)vШ.2) (1'Тогда= 1'(sv) для всех 1', s Е К, v Е V;+ s)v =г»+ svдЛЯ всехl'Е К, 1)1,1)2 Едля всех 1', s Е К, v ЕV;V.называется линейным пространством над полем К (обозначение:V= О);V;+ 1)2) = '1'1)1 + П}2Ш.1) 1'(v1+ (-1))-v для всякого 1) Е V (т.

е. 'иV=к V).Приведём вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каж­дом конкретном случае они достаточно очевидны).1) Уравнение и+х =Действительно,v для 'и, V Е к V имеет, причём единственное, решение х = (-и) + v.прибавляя -и к левой и правой части, получаем, что х = (-и) + v. С другой+ (-и) + 'и = 'и.Если х + х = х для хстороны, 'и2)ЕKV,то х=О.Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -х, получаем.что х=+х+х =(-х)3) Ov ==Действительно, если хx=OEKV.4) 1'0 = Одляl'Е К, О ЕДействительно, если х5)+х =(-х)О.О для любого 1) Е к V.(-1)и=Ov (здесь О Е К), то х(ОOv = х, и поэтомуХ+ х = 1'0 + тО = 1'(0 + О) =то=х, и поэтому .т=О.ЕV.Действительно, (-l)v + v = (-1 + l)v = Ov = О, т.

е. (-l)v = -v.6) Т'и = О для т Е К, 'и Е V тогда и только тогда, когда либо т = О,Действительно, если l'v = 1v = T- 1TV = 1'-10 = О.+ О)и =V.= 1'0, то-и для всех+ х = Ov + Ov =1)f-О,то влибо -иполе К существует элемент 1'-1=О.ЕК,и поэтому7) 1'(u-v) = TU-1'V дЛЯ всех т Е К, u,v Е V.Действительно, 1'(и - v)8) -( -v)v=для всехДействительно, v8.2.v+ TV =Ет(и - v+ v) =1'и, т. е. т(и - v)=1'и - TV.V.+ (-v) = О,и поэтому-( -v)= v.Линейная зависимость в линейных пространствахПусть к V-линейное пространство над полем К.

Если V1,···, 1)г ЕV, k 1,···, k rЕ К, тоэлементk 1v1 +... + krv rЕVназывается линейной комбинацией элементов 1)1, ... , и; С коэффициентамиСистему элементовk1 , ... ,krk 1 , .... k I'Е К.V1, ... , 'и г Е к V назовём линейно зависимой, если найдутся элементыЕ К такие, чтоа) не всеkiравны нулю (т. е. хотя бы один элементkiотличен от нуля);Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что «нетриеиальная» линейная комбинацияэлементов Щ, ... , V r равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю,0'И1+ ...

+ О'иг= О).Система элементовV1,··., v r Е к V называется линейно независимой, если она не являетсялинейно зависимой, это означает, что из равенства72§ 8.Линейные пространстваследует, чтоТеоремадля8.1. Система элементовнекоторого {, 1 ~ i ~ л,Vl,· .. , и; Е К V линейно зависима тогда и только тогда, когдаVi=l:ljVj,ljЕКj#.i(т. е, элемент Vi является линейной комбинацией остальных элементов системы 'Ul, , , , , Vr ) .Доказательство.1)Пусть система Vl, ... , и; линейно зависима, т. е.Тогда2)ЕслиVi=l:lj7!j,j/'iтоl:ljVj+ (-l)Vi= Vi+ (-l)Vi = О,j#.iт. е.

система V1, .. ·, и; линейно зависима, поскольку -1Пример8.2.-1О,оЕсли в системе элементов Vl, ... , и; Е к V есть нулевой элемент, скажем,то система V1 ... , Vr линейно зависима.Действительно, OV1+ ... + 1vi + ... + OVr =О, или, другим способом, и;=О= LOvjvz = О..j#.iПример8.3.i -1 j, то система V1, ... ,vr+ ... + 1vi + ... + (-1)щ + ... + OVr =Если Vi = Vj дляДействительно, OV1Е К V линейно зависима.О, или, иначе, Vi = vj+LOVk.k-l-ik-l-jПример8.4.Система строк с1,... , сп Е К К", гдес1 =(1,0,,0):с2 =(0,1,,0):сп= (О, О, ... , 1),линейно независима.

Кроме того, любая строка о:= (k 1 , ... : k n )нацией элементов С1, ... , сп, а именно, о: = (k 1 , ... , k n) = k1c1+ ... + kncn.Действительно,ипоэтому еслиk1Cl+ ... + kncn= (О,Е К К" является линейной комби­... , О),тоследовательно, система строк {ег, ... ,сп} линейно независима8.2.73Линейная зависимость в линейных пространствахПример8.5.Пусть 7)1, V2, VзЕ IRVлинейно независимая система в линейном простран­-стве IRV. Тогдаи1=V1+ V2,И2=V1+ Vз,ИЗ=V2+ Vз -также линейно независимая система.Действительно, еслитопоэтомуСледовательно,=k1О,k2=О, k з=О, и система элементов Ul, U2,UЗ линейно незавнснма.Упражнения 8.6.1)Подсистема линейно независимой системы линейно незавнсныа.2)Если подсистема линейно зависима, то линейно зависима и вся система.Замечание8.7.Для системы строк в К"вопрос о её линейной зависимости равносилен существованию иенулевого решения(k 1 , ...

; kr )следующей однородной системы линейных уравнений:, '. ', ~ ~~~~T, ~ ,О,{ ~~l,~l ,++, '.,,+=атnх та1nХ1Ос транспонированной матрицей А *, гдеТаким образом, метод Гаусса даёт нам в этом случае алгоритмическое решение задачи о линейнойзависимостиТеоремастрок.8.8.Пусть А(aij)Е Мn(К)-квадратная матрица.Тогда следующие условияравносильны:1)IAI = О;2)система строк А 1 , ... , А n матрицы А линейно зависима (в пространстве строк к n ) ;3) система столбцов А 1 ;...

,А n матрицы А линейно зависима (в пространстве столбцов К n ) .§ 8.74Линейные пространстваДоказательство.1)Если строки матрицы А линейно зависимы, скажем, i-я строкабинацией остальных,2) ПустьIAILAi =ljA j, то, как мы показали,IAI =О, т. е.+ ... + knA n =в том и только в том случае, если(k 1 , ... , kn )уравнений с матрицей А* Так какIA*I=IAIОявляется решением однородной системы линейных= О, то существует ненулевое решение (k 1 , .. . ,kn ) ,т. е. система строк А 1 , ... - А n матрицы А линейно зависима.

Итак,Теоремалинейной ком­= О. Тогда#ik1A1З) Так какA i является2) ==? 1).IA*I = IAI,то1)==?2).О3).<===?Любая система из т строк в К" при т>8.9.1)nлинейно зависима.Доказательство. ЕслиСЧ = (all"", о'1n),то равенствоk 1СУ1+ ... + kmCY m =О равносильно тому, что(k 1, ... ,km) является решением следу­ющей однородной системы линейных уравнений:{ ~11 X1 .++. '.... '. '. ~+ ~.m1X~ .~. О,а1nХ1Так как числоаmnХ m=О.уравнений меньше числа т переменных, то однородная система облалает ненуле­nвым решением, т. е. система СУ1, ...

, СУ m линейно зависима.СледствиеЛемма8.10.L..Если система СУ1, ... ,СУг Е К" линейно независима. то г:::;; п .Если система элементов 0'1, .. . ,О'г Е К ",. линейного пространства к ". над по­8.11.лем К линейно независима,(3Е К V и система СУ1,.·., QГ.:З линейно зависима, тоf3являетсялинейной комбинацией элементов СУ1, ... , СУ г .Доказательство. Пустьk1CY1где не всеk1CY1k i , 1 :::;; 'i:::;;+ ...

+ krCYr =т+ ... + krCYr + k r+l (3 =+ 1, равнынулю. Если быО,kr+1=k 1,···, k r+ 1 Е К,О, то нетривиальная линейная комбинацияО, равная нулю, означала бы, что система СУ1 •... , СУ г линейно зависима, чтопротиворечит предположению.Итак,kr+l=1О, и поэтому(3 =Лемма8.12-k 1--0'1kr+1-kr+ ... + --О'т'оkT+1(единственность представления элемента линейного пространства к V в виделинейной комбинации линейно независимой системы элементов).

Пусть {СУ1, .... ct r} -линей­но независимая система элементов линейного пространства К V и(3Тогда=k1 CY1+ ... + krCYr =k~ СУ1+ ... + k~CYr,k i , k~ Е Кk 1 = Ч, ... , kr = k:~.Доказательство. Действительно,(k 1 - k~)CY1и поэтомуk: 1-Ч=О, ..., kr- k~=О.+ ... + (k r -k~)CYr = О,о8.3.Максимальные линейно независимые подсистемы систем элементов линейных пространств, базис линейногопространства75Максимальные линейно независимые подсистемы8.3.систем элементов линейных пространств, базис линейного пространстваПусть5~ к V.

Наиболее важные для нас случаи:а)5-конечное подмножество элементов в к V;б)5 = KV.Подсистема V1, ... ,Vr Емой в5,5~ к V называется максимальной линейно независимой подсисте­если:линейно независимая система;1)1)1,, Vr -2)V1,, Vr , V -линейно зависимая система для всякого 1) Е З,или, что эквивалентно,2')любой элемент V Е5является линейной комбинацией элементов L'l, .. · ,'иг ,Максимальная линейно независимая подсистема V1, ...

,с'г вS =к"\.7 (если в к V существуеттакая конечная система) называется базисом линейного пространства к V. Линейное пространствок V с конечным базисом V1, ... , V r называется конечномерным линейным пространством (приэтом будет показано, что любой другой базис линейного пространства содержит то же самоечисло элементов).Пример8.13.Как мы уже видели, система строкс2= (1, О,= (0,1,Сп=С1(О, О,,О),,О),... ,1)является базисом линейного пространства строк К":Лемма8.14.Любую линейно независимую подсистему 'и1, ...

,'()г Вдо максимальной линейно независимой подсистемы вДоказательство. Если V1, ... , V r -системы из nS.+ 1 элементовСледствие8.15.8.16.qn,такой, что Щ, V2,··., '()г, V=V r+1 -~ К",линейноS = IR n-fVЕ5О~ К" дополняем до мэксимальнойS.(или5 =личных бэзисов. Если поле К конечно,равноSSв линейном пространстве К" оказываются линейно зависимыми.Любой ненулевой элемент ОВ~ К" можно дополнитьПосле конечного числа шагов процесс остановится, так как любыелинейно независимой подсистемы вСледствиеSс К":максимальная линейно невависимая подсистема вто все доказано. Если нет, то найдётся элемент V Енезависимая подсистема вSК" дЛЯ бесконечного поля К) бесконечно много раз­IKI=q (например, К = Z2), то число элементов в К"И поэтому число базисов в К" конечно. Найдите их число.Замечание8.17.Пусть строки 0.1, ... , a s Е К" линейно независимы.такие строки а в + 1 , · · .

, а n Е К": что {а1"", а n } -s<п. Тогда существуютбазис линейного пространства К": Практи­ческое нахождение строк а в + 1 , ... ,а n можно осуществить следующим образом. Запишем строкиа1,...,а в по столбцам и приведем полученную матрицу к ступенчатому виду:где (а]',... , а;), А ступЕ Мn,в(К), <,о -<,0(0,'[, ...