Вырезка из книги Михалева, страница 3

, v~) =(Щ,... , vn)C.Ограничиваясь левыми линейными пространствами, мы можем использовать эквивалентную формузаписи:или, кратко, Е/ = С*["где[=ЕслиCJ '[' ~ С,) E~,1(V).V =К", то 1)1, ... , V n , 1)~, ... , v~ Е К", Е, Е' Е Мn(К) иквадратных (n х n)-матриц.8.7.1)С*[ означает равенство['Обратимость матрицы переходаЕслиICI =следует, что v~,IC*I =о, то... , V~-о и строки матрицы С* линейно зависимы. Поэтому излинейно зависимая система вICI =fV~, ... ,V~ - базис. Итак, мы показали, что(с*)-l = (с- 1)*).V.что приводит К противоречию с тем. чтоо и существует обратная матрица с- 1 (тогда2) Другое доказательство обратимости матрицы С даёт интерпретация матрицы В = с- 1 какматрицы перехода от второго базиса к первому.Действительно, элементы V1, .

. . ,Vn также выражаются как линейные комбинации элементовбазиса {v~,...,V~}:= b1i'U~ + ... + bni'U~,Е = В*['. Так как Е' ='i'UiВ= (bi j )Е Мn(К). ТогдаЕ=В*(С*[,)Так как {И1"", 'Иn } - базис в V, то (СВ)*3)==1, ...(В*С*)[,=Е К,(СВ)*[,.ICII- о,=Е, и поэтому Ви любого базиса {1)1, ...элементы V~, ...

,v~ Е К V, гдеС) ~C' С),Действительно, в этом случаеbi jЕ, следовательно, СВdim к V = n,образуют базис линейного пространства к V.,n,С*[, тоДля любой обратимой матрицы С Е Мn(К),мерного линейного пространства к V,==,Vn }с- 1 .Оконечно­8,8.Замена координат элемента линейного пространства при замене базиса81т. е. п линейно независимых элементов Vl, ... , V N линейно выражаются через V~, ... , V~. ПО основ­ной лемме о линейной зависимости элементы V~,то {V~,8.8....,V~}-ХоЗамена координат элемента линейного пространства при замене базисаЕ Мn(К), !СI=V~ линейно независимы. Так как dim к V = п,базис линейного пространства К V.Пусть {Vl"",G...

,xIVl#Vn }о,,-+ ... + xnvn ={1)~,... , V~} - два базиса линейного пространства к V, dim к Vп,матрица перехода от первого базиса ко второму,x~v~+ ... + x~v~Е KV. Так кактоилиCJ=C-'CJчто эквивалентноCJ~cCJ·оПример 8.37. Пусть V = jRЗ, Vl = (2,1, -3), V2 = (3,2, -5), Vз = (1, -1, 1). Необходимовыяснить, образуют ли элементы Vl, V2, Vз базис в jRЗ, и если да, то найти координаты строкиХ=(6,2,-7) в базисе {Vl,V2,vз}.Решение.где {ег, е2, ез} - стандартный базис в jRЗ,с = (~~ -~)1-3 -5СтрокиVl, V2,Vз образуют базис в jRЗ тогда и только тогда, когда матрица G обратима. Еслиматрица G обратима, то столбец координат строки х в базисе {Vl, V2, 'ИЗ} равенС- I Ц).82§ 8.Линейные пространстваДля вычисления этого столбца применим алгоритм вычисления матрицы А.- 1 В (см. с.

66), в про­цессе работы которого проверяется, обратима ли матрица А.=С:-1112 -11 -31 -2-1О1Такимх'И1=образом,матрицаСобратима,(1,1,1) - координаты строки х в базисе{1'1.1'2. t'з},+ 'И2 + 'из·Этот же результат можно было получить, используя формулу(~(6,2, -7)( С"' )-1= (1.1.1).~ =~) (~ ~ ~)--71 -1162 -7ОО11 1 1(здесь применяем элементарные преобразования столбцов).Линейные подпространствалинейных пространств8.9.Пусть125=fи С;:;1)'Ul2) kuЯсно,К+ 'и2поле,-кVлинейное-пространствонадполемК.Непустоеподмножествоназывается линейным подпространствомлинейного пространства Kl', если:KVЕ И для всех 'Щ,'U2 Е И;Е И ДЛЯ всехчто КUkЕ К, 'и ЕU.линейное пространство относительно тех же операций сложения элементов и-умножения на элементы из поля К, что и в линейном пространстве К V.Если17,=Илинейное-diшкV<подпространство00, то diшкU:::;:diшкV.вконечномерномДействительно,линейномесли элементыпространствеК V,7Ч, ..

· ,'U.s Е КU ли­нейно неза висимы в К И, то эти элементы линейно независимы и в линейном пространстве к V,5:::;:17"поэтому diшкU:::;: diшкV.ЕслиdiшкUкu=-линейноеdiшкV=17"подпространствопоэтому {И1,v = k1'UI8.10.+, 'и n }-+ k:n'U n= KV.то КUстранства кu С;:; К V, то эти17,линейногоДействительно, если {Щ,ki...К V,КUС;:;КVЕ К, т. е.KV =.и,'un}-базис линейного про­элементов 'Ul,···, 'иn линейно независимы в к V и diш к Vбазис линейного пространства к VЕ кU,пространстваИтак, каждый элементvЕV=17"имеет видкU.Пересечение линейных подпространствЛемма8.38.Пересечениелюбого семейства линейных подпространствявляется линейным подпространством.{U i С К V I i Е I} линейного пространства к V8.11.83Сумма линейных подпространствДоказательство. Если и,И1,И2 Е ИЩ+ И2, kun иi, k Е К, то и,и1,и2 Е П, для любого i Е 1, поэтому=iElЕ иi для любого i Е1,т.

е. И1+ И2, kuЕ И =niElСледствиеИ1nИ2-8.39.Если И1 и И2иi.олинейные подпространства линейного пространства к V, то-линейное подпространство в к V(наибольшее подпространство среди подпространств,лежащих одновременно в И1 и В И2 ) .Сумма линейных подпространств8.11.Если И1 И И2 -линейные подпространства линейного пространства к V, то сумма линейныхподпространствИ1+ И2 ={Щ+ И2I и1 Е и1, И2 Е и2}также является линейным подпространством. Действительно, если и1+ И2, и~ + 'U~И1,И~ Е и1, И2,И~ Е И2, k Е К, то(и1Замечание8.40.И1+ и2) + (и~ + и~) = (и1 + и~) + (И2 + и;)k(щ + И2) = kU1 + kU2 Е И1 + И2.+ И2 -Е И1Е И1+И2,+ и2;пl-!наименьшее линейное подпространство среди линейных подпро­странств, содержащих одновременно И1 и И2.

Более того,nЗамечание8.41.Если И, И1, И2, Из-линейные подпространства в K~i', тоипи=и,н с н-:«.И1ПИ2=U2ПИ1,И1И1И1n (U2 n из)и1+и2=и2+и1,= (И1+ (U 2 + Из) =n (U 1 +и2) = и1,(И1И1n и2) n ИЗ,+ и2) + Из,+(И1n и2)= И1·Линейная оболочка элементов линейного пространства8.12.Пусть к V-линейное пространство, V1, ...совокупность всех линейных комбинацийтамии.k 1 , ...

, k mk 1 1)1,v mЕ кVРассмотрим+ ... + k m 7Jmэлементов 7)1, ... ,7Jm С коэффициен­Е К, называемую линейной оболочкой элементов V1, ... , V rn . Линейная оболочка(И1,.'" 'И rn ) является наименьшим линейным подпространством, содержащим элементы 'И1,·,., 'Ит·Действительно,(k1'И1+ ... + kт'И m) + (l1'И1 + ... + lmvm) = (k1 + l1}U1 + ... + (k m + lm)'И m;k(k 1'И1если И( 7J1 ",'1+ ... + kmvm) =(kk 1)'И1линейное подпространство в к V, 1)1, ...

,7Jm Е7Jm )С::;; И. Более того,+ ... + (kkт)'Иm;И, то k1?!l + ... + k: m 7 1 тnU~KVVl, ... ,v m ,EUи.Е И, следовательно,84§ 8.Замечание(v)8.42.Если ОЗамечание8.43.(L'l ..... И т )Замечание8.44. dim к (7.'1 , ...=Kv#-Е KV, тоL'(V) = Kv = {kv I kЕ К},Линейные пространстваdim(v)= 1;если7)=О,= {О}.=КИ1,Vm )+ ...

+ К'Uт=г{ V1, ...,v m } ; любаямаксимальная линейно независимаяподсистема в {V1, ... ,7 1т } является базисом линейного подпространства (7)1, ... , 71т ) .Основная лемма о линейной зависимости может быть сформулирована в следующей эквива­лентной форме.Теорема 8.45(о замене). Пусть V1, ... ,v sЕKV -линейно независимая система,и1, ... ,ит Е (V1, ...

,vs), {и1,' .. , и т} - линейно независимая система элементов. Тогда т ~ 3 Игде1Доказательство. Таккак< ... < i sdimK ( щ ,s(щ, ... ,·ит ) . Если r=(V1,,,,,V s)~ i r +1<3,~ з,то... , V s ) ,t/:то найдется Vi r+ 1т~Если3.(и1, ... ,и т )тмальный с этим свойством). Продолжая этот процесс, построим базис {и1,'" ,'И т ,В (V1, ... , V s) .=8.46.т. ТогдаПусть И,1~Теорема=n8.47< 00.В частности, если ИW... ,ViJ<:: W, dimKU = 1,дополнить т - 1 элементамиKV(формула размерности).<::И/ иПусть И,W1=и Ит, то И = И/-линейные подпространства в к1'.ТогдаdimKUили,-линейные подпространства вWт и любой базис подпространства И можнодо базиса подпространстваdimK1/томини­оСледствиеdim к Ws,(индекс 7'1'+1 -+ dimKW = dimK(U n W) + dimK(U + И/),что эквивалентно,+ vV)dimK(U= dimKUn W) ==d, dimKU=dimK(Un W).dimKW = t.

Ясно, что О ~ d ~ 3,О утверждение очевидно (объединение базисов в И и W даёт базис в И + И/). Выбе­Доказательство. Пусть dimK(Ud ~ t. При d+ dimKW -3,рем базис V1, ... , Vd линейного пространства И n 1V и ДОПОЛНИМ его до базиса 'U1, ... , 'Ud, Ul, ... , Us~dлинейного пространства И и до базиса Vl, ... , vd, 'UJl, .. ·, 71Jt-d линейного пространства И/. Ясно,чтоИ+W =(V1, ... , 'Ud, 'щ, ...

, 'Us-d, 'LUl,···, 'UJt-d).ЕслитоdL)...iVi+i=lпоэтомуf.L1/-Ls-d=О, "/1s-dt-d)=1k=lL щи] = - L= ... ="/t-d="/k'UJkЕ И n W,О. Следовательно, )...1О. Такимобразом,{Vl, .. " vd, Ul,···, Us-d, 71Jl,···, Wt-d}базис линейного подпространства Иs+t =+ W,d + (3 - d)откуда+ d + (t -d) = d + (d + (3 - d)+ (t -d)) ,поэтомуdimKU+ dimKW = dimKU n vV + dimK(U + vV).о8.13.85Линейные отображения линейных пространствТеоремаn=<00,8.48 (о существовании прямого дополнения подпространства). Пусть dim к V =И - линейное подпространство в к V.

Тогда существует линейное подпространство Wв к V такое, чтоИ+ Иl =иV,nW= {О},(называемое прямым дополнением подпространства И в к V; в этом случае также говорят, чтолинейное пространство к V является прямой суммой линейных подпространств И ичение: к V=Доказательство. ЕслиdimKU = т и {Щ, ... , 'U rлинейного пространства к V: Ul,··., U r , Vl,···, V n иnWW,обозна­и ЕВ И1 ) .r 'базис в кU, то дополним его до базиса} -Пусть И1=vn -(Vl, ... ,"' ) 'Тогда KV=И= {О}.+ W,ОЗамечание8.49.Конечно, прямое дополнение определено неоднозначно, однако все пря­мые дополнения линейного пространства изоморфны (аименно, все они имеют размерностьdimK V - dimKU).Замечание 8.50.