Вырезка из книги Михалева, страница 8

Поэтому А(х) =-uA(w) Е W ~ и+ И/+Wи И- линейноепространство.Пусть теперь .Т Е ИnИ/. Поскольку х Е И и А(U) ~ И, А(х) ЕU.Поскольку х ЕI/V ИA(l/V) ~ W, А(х) Е W. Следовательно, А(х) Е И n W.ЛеммаПусть9.17.dim V <00 и А:V-7О-невырожденный линейный оператор, И -инва­Vриантное подпространство для линейного оператора А. Тогда Иинвариантное подпространство-для линейного оператора А -1.= {О},Доказательство. Если Илинейного пространствато утверждение очевидно. Пустьбазис линейного пространства-хИ= т,е1,......,А( е с) линей­Так как оператор А невырожденный , элементы А( еl)'U.но независимы.

Подпространство И инвариантно, поэтому А( е1),поэтому А(е1),'" ,А(е с)dim=0:1А(е1)+ ... + о:сА(е с) ,,А(ес) Е ИНо-базисdim V =Т,ДЛЯ любого элемента х Е И имеемU.Е К,O:i...,е с1:(; i :(; т.При меняя к последнему равенству линейный оператор А- 1 , имеемА- 1(х) = 0:1е1Замечание9.18.Если А:V-7.. , е n -базис подпространстваW,Е И.линейный оператор,V-антные подпространства для оператора А,е с+1"+ '" + о:се,тИ иvv· -нетривиальные инвари­V = и EIЭ l/V, е1, ... , е; - базис подпространства С,то е1,·.. , е n -базис линейного пространстваV,и в этомбазисе матрица А линейного оператора А имеет блочный видПриА1этомв= Alu:Иверхнем-7линейного оператора А 29.4.левомуглустоитматрицаразмера=...

, ес, а в правом нижнем углу Alw: W -7 W В базисе е с + 1 , ... ,е n ·т х тлинейногооператораматрица А2 размера (n-т) Х (n-т)Подстановка оператора в многочленПусть к V-линейное пространство над полем К,j(x)=0:0+ СУ1Х + ... + о:nхnмногочлен с коэффициентами из поля К, O:i Е К, i =вгдеА1И В базисе е1,I: V-7V Vоператора В:Е К[х]0,1, ...-.п. Положим= j(A) = o:oI + О:lА + ... + о:nАnЕ End(K V),тождественный линейный оператор на пространстве-7Vимеем АВ= ВА.Если еl,матрица линейного оператора А в базисе е1,......,е т-V.,е т, то матрица В линейного оператора В в этомбазисе равнав =где Е Е Мт(К)-j(A) =суоЕ+ щА + '" + СУnАединичная (т Х m)-матрица.Ясно, что для линейногобазис линейного пространства к V, А­nЕ Мт(К),106§ 9.Предложениеоператор,ЕfПусть к V9.19.ВK[xJ,= f(A).Линейные операторы линейного пространствалинейное пространство над полем К, А:-V->V -линейныйТогда подпространства 1тВ и КегВ линейного пространстваинвариантны для линейного оператора А.

В частности, если ЛХ)=х, то В=А и1mAVи КегАинвариантныдля оператора А.Доказательство.а) Пусть х Е 1шВ, хА(х)==ЛА)(у) ДЛЯ некоторого у ЕАи(А)(у»)=(АЛА)) (у)б) Пусть теперь х Е Кег В, В(х)f(A)(A(x»)===ЛХ) Еи(А)А) (у)= f(A)(x) = О.и(А)А)(х)V,K[xJ.Тогда= f(A)(A(y»)Е 1mf(A).Тогда(АЛА))(х)=Аи(А)(х))=А(О)=О,то есть А(х) Е КегВ.оРассмотрим одномерные инвариантные подпространства. Пусть в этом случае ириантного подпространства кU. Так как А(И)()!s;;-базис инва­И, то А(и) Е И, следовательно, А(и)=аи, гдеЕ К. Это приводит К следующему определению.Определение9.20.нейный оператор, х ЕПустьV,х=1линейного оператора А, а хЕсли е1,...

, е n--линейное пространство над полем К, А:KVо, А(х)=KV->KV-.ТJИ­Ах, А Е К. Тогда А называется собстеенным числомсобственным вектором (относительно собственного числа л)V, А - матрица линейного оператора А в этомбазисе, А Е Мn(К), х Е V, х = Х1е1 + ... +хnе n, xi Е К, Х = (Х1", .,хn)-строка координатэлемента т, то условие А(т) = лх, х Е V, х =1 о, А Е К, эквивалентно условию АХ = АХ."Х' Е к-,-базис линейного пространстваX~ (I).

ЛЕКПусть К - поле, А Е Мn(К), 0=1 Х Е к» = М n,1(К), л Е К. Если А· Х = л· Х, то А назы­вается собственным числом матрицы А, а Х - собственным вектором матрицы А, отвечающимсобственному числу А.Условие АХ = лХ эквивалентно условию(А - лЕ) Хгде Е Е Мn(К)-=(o~:)Е к»,единичная матрица. При фиксированном л это условие превращается в однород­ную систему линейных уравнений относительно неизвестныхМатрица А-лЕ этой системы-IA -tEI = pntnмногочлен степени п от переменнойпри этом:««.квадратная матрица размера п, Поэтому наличие ненулевогорешения этой системы равносильно тому, чтоp(t) =];1) .

. . ,tIA -лЕI = о. Пусть+ Pn_1tn-1 + ... + роt-переменная,Е K[t] -(называемый характеристическим многочленом матрицы А),9.4.107Полстноькг оператора в многочленnРn-1=(_1)n-1L аа. = (_1)n-1 тг "-1,РО=jAi·i=lМы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического мно­гочлена из поля К.Если Л Е К и Р()..) = О, то все собственные векторы матрицы А относительно собственногочисла Лэто все неиулевые решения системы-(А - лЕ)Х=(О) Е к».Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы А относительно собственного чис­ла ).. не образует линейного подпространства в к», так как все эти векторы неиулевые. Но еслик этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространствовсех реше­ний системы(А - ЛЕ)ХТаким образом, если р(Л)= IA->'EI =О, т==(О).г(А-)"Е), то О ~ т< п,то размерность пространстварешений этой системы равна S = n-т, поэтому 1 ~ S ~n.

Если {Х 1 , ... , X s } - какая-либо фунда­ментальная система решений системы (А - )"Е)Х = (О), то все собственные векторы матрицы А,отвечающие собственному числу Л, - это все нетривиальные линейные комбинации элементовХ 1 , ... ,X s с коэффициентами из поля К.Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов линейного опе­ратора на конечномерном линейном пространстве сводится к задаче нахождения собственных чисели собственных векторов матрицы.Е' = С* [dim V = n, А - матрица линейного оператора А в базисе [ линейного пространства",- другой базис, С Е GLn(V) - матрица перехода, то матрица А' оператора А в базисе Е'равна А'=Еслис- 1 АС.Таким образом, характеристический многочлен матрицы А: Р..з.(t) =[Ахарактеристиче­- tE,.ский многочлен матрицы А':Итак, характеристическиймногочлен матрицы линейного оператора А не зависит от выбора базисалинейного пространства V (и мы можем обозначать этот многочлен черезИз теоремы Гамильтона-Кэли для квадратных матриц (см.

теоремаPA(t)).7.25)следует теорема Га­мильтона-Кэли для линейных операторов на конечномерном линейном пространстве: еслихарактеристический многочлен линейного оператора А:на пространствеПримерIA )..1--7V,то РА(А)9.21.А=КорниVV.= 7,)..2= 5,)..ЕI = IIO_~)"~), к = ~,22>.1 = л 2-12)" + 35.Л],)..2 Е ~ (собственные числа матрицы А).Собственные векторы для /\1ненулевые решения:(':50= 7:=О-PA(t) -нулевой оператор108Линейные операторы линейного пространства§ 9.Собственные векторы для ),2 =ненулевые5:решения:{(-зt) IIПримерt i- О } .t E~,5t9.22.(~ ~)1К =С,А=ООр(),)= IA --),1О-АОО),ЕI =О2 = _А 3-АИмеется лишь одно собственное число: А = О.

Собственные векторы относительно А=О задаютсясистемой линейных уравнений( О~1 О) (Х1)~ ~~~-Система уже имеет ступенчатый вид, Х2, ХЗ9.23.~главные неизвестные, Х1множество собственных векторов относительно АПри мер(О)=-свободная переменная,О:ЕслиА (ОС1О=диагональная матрица,то ОС1,...1ОСП -О)ОСПвсе корни характеристического многочленаматрицы А(и следовательно, собственные числа).Пример9.24.A=(_~ ~),Р(А) = IA а) К= ~:AEI=I=~ _~I = А 2 + 1.нет действительных корней многочлена Р(А)= ),2 + 1,поэтому для матрицы А нетдействительных собственных чисел (и собственных векторов).б) К=с многочлен Р(А) имеет корни А1Собственные векторы для А=i Е С, А2=-i Е С (собственные числа матрицы А).= i:- i( -11) (Х1)-~Х2(О)О'9.4.109Подстановка оператора в многочленненулевые решения:Собственные векторы для А =-'i:'i( -11) (Х1)Х2'i(О)О'ненулевые решенияПри мер9.25.к ~ Н, А ~ (:Р(А)=jA - АЕIКорни многочлена Р(А): А1 = -2, А2=-2, АзСобственные векторы для А ===4_АЗ=: ;).+ 12А + 16.(собственные числа).-2:(А + 2Е)(::)Шненулевые решенияСобственные векторы для А =4:(А 4Е) (~~) (~)-ХЗОненулевые решенияЗадача 9.26.

Пусть V= JR2 -из одной точки (центра), А-линейное пространство всех векторов на плоскости, выходящихлинейный оператор пространстваVповорота на угол ер противчасовой стрелки, имеющий в стандартном базисе е1, ез матрицу(C?Sерsш ерsin ер) .cos ерв зависимости от ер найдите собственные числа и собственные векторы оператора А.Задача9.27.Пусть К= JR,п. Ечленов от одной переменной степениN, V - линейное пространство всех действительных много­:::;; п, А: V --? V - линейный оператор взятия производной .Найдите собственные числа и собственные векторы оператора А.110§ 9.ЗамечаниеЛинейные операторы линейного пространстваРешение общей задачи нахождения собственных чисел и собственных век­9.28.торов матрицы связано с нахождением корней многочлена.

При степенях многочлена болеезадача частоне имеет алгоритманахожденияточного решения,поэтому приходится4этаискать ПрИ­ближённые значения собственных чисел. Задача приближённого нахождения собственных чисели собственных векторов матрицы является одной из основных задач численных методов .lинеЙноЙалгебры.Теоремаполем К,9.29.0=1=Пусть А:,vl ЕV1,Тогда элементы V1,KVKV--+-линейный оператор на линейном пространстве к'- нпA1, ... ,Al Е К,V,Ai =1=Aj при=1= j (; [, A(t'i) =1 (; iЛjl.",.i = 1..... 1.,Vl линейно независимы, т. е. собственные векторы, отвечающиераз..тичныlсобственным значениям, линейно независимы.Доказательство. Доказательство проведём индукцией поА .

V1 = А1 . V1, О=1=V1,{Щ}[.Пусть теперь [ ~ 2 и наше утверждение доказано для всех [',001V1Основание ИНДУКЦИЯ:11.линейно независимая система векторов.-+ ... + апл =О Еooi Е К,11;i1 (; [' < 1.Допустим, что= 1..... 1.(13)Применяя оператор А к обеим частям равенства, получаем, чтощи. А . V1+ ... + Щ . А . Vl =А.О =О Е ,О.поэтому(14)Умножая(13) наAl, имеем(15)Вычитаем(15) из (14):Применяя предположение индукции, получаем, чтоПоскольку А1=1=Al,· .. , Al-1следует, что ОО(Иl=О ЕV.собственные веКТОРЫИ1,ПустьV -Al, отсюда следует, чтоТак как 'Иl...i- О,то OOl=001= ...