Вырезка из книги Михалева, страница 9

=001-1О. Таким образом,=001О. Следовательно, из (13)= ... =001=О, И поэтому,'Иl линейно независимы.Оdim V = n < 00, А: к V --+ к V - линейныйPA(t) имеет n различных корней А1,.", А n Е К. Тогда существует такойлинейное пространство над полем К,оператор и многочленбазис е1,=1=.. . , е.,линейного пространстваV,что матрица А оператора А в этом базисе диагональна:(в этом случае говорят, что оператор А диагоналигириему.Доказательство. Пусть Vi ченияAi, 1 (; i (;п..

По теоремесобственный вектор оператора А относительно собственного зна­??элементы 'ИI, ... , 'И n Епоэтому {V1, ... ,v n}-базис линейного пространстваимеет требуемый вид.V.Vлинейно независимы. Ноdim V= n,В этом базисе матрица А оператора АО9.4.111Подстановка оператора В многочленПустьА: к Vтеперь---7КVК=илиJRКС.=,- -конечномерное линейноепространствонадК,линейный оператор. В заключение мы рассмотрим специфику таких линейных-=операторов. Если Ксе, то у оператора А существуют собственные числа и собственные векто­ры. Действительно, пустьPA(t) Е C[tJ - характеристический многочлен оператора А. По основной.. , Л N многочлена PA(t) (считая кратные) явля­комплексными числами: Лl, ... - л П Е::::. ДЛЯ любого Лi собственные векторы - это ненулевыетеореме алгебры комплексных чисел все корни Лl"ютсярешения системы (АТеоремаА, В-9.30.- .\iI) (х)= О Е ,\-.т (вдесь Т - тождественный оператор).Пусть К = С,:= ","ненулевое конечномерное линейное пространство над С,-коммутирующие линейные операторы на с V: АВ =ВА.

Тогда операторы А и В имеютобщий собственный вектор.Доказательство. Пустьхарактеристический многочлен оператора А (так как У =1= о.PA(t) -=то PA(t) - многочлен степени n): 1, где ndimKV ): 1). По основной теореме алгебры комплекс­ных чисел существует корень л Е С многочлена PA(t): РА(.\) = О. Пусть И ~ V - подпространствовсех решений (A-.\I)(x) = О E"VT (это подпространство состоит из О и всех собственных векторовоператора А относительно собственного числа .\). Ясно, что И 1- {О}.Покажем, что И - инвариантное подпространство для линейного оператора В.

Пусть з: :;:: С.ТогдаА(В(х))=В(А(х))=В(.\х)=Следовательно, В(х) Е И. Рассмотрим линейный операторра В на инвариантное подпространство И:теристический многочлен оператораBlu.Blu(x) =Так как Ипоэтому существует корень J-L Е С, PBlu(J-L)раBluЗамечаниеdim V = nW = {(х, у)1}, -9.31<00,I х, уBlu:сИ---7=L'(ограничение олерато-­В(х) для всех з: Е ['). Пусть PSr."t -харак­1-{О}, то рв!си) - м ногочлен степени):1-О. Пусть О=относительно собственного числа J-L.

Тогда В(и)Таким образом,и Е и-1. ?собственный вектор операто­J-LU. НО. поскольку и Е и, Alu)=общий собственный вектор линейных операторов А и В.(о комплексификации).Пусть К =А: "VTV--7Е V} с операциями: сложения (Xl, Yl)JR),+ iy,JR,+ (Х2, У2) =(а11. Рассмотрим множество(Xl + Х2, Yl + У2); умножения(а+Ы)(х,у) = (ax-Ьу,ау+Ьх). Нетрудно видеть, чтолинейное пространство над С. При этом, обозначая (х, О)(Х, у) = хОлинейное пространство надJR. i" -Хи,линейный оператор пространствана комплексные числа а+Ы Е С (а,Ь ЕW -=.\В(х).+ Ы)(х + iy)= (ах-=Ьу)х,iy =+ i(ay -(О, у), получаемЬх).Если ет, ... , е n -базис линейного пространства IR V над JR, то el = (el' О), ...

,е n = (е n , О) - базислинейного пространства С W над С. Рассмотрим отображение А: с W -7 с W, где ДJ1Я Х, у Е IR V,x+iy Е W, положим A(x+iy) = A(x)+iA(y). Тогда А-линейный оператор на пространстве cW(над С), называемый комплексификацией оператора А. При этом матрица оператора А в базисеel = (el' О), ... ,е n = (е n , О) пространства с W (над С) совпадает с матрицей оператора А в ба­зисе el, ... , е n пространства IR V (над JR). Поэтому характеристические многочлены РА (t) ИРА (t)совпадают.ТеоремаА:IR V---79.32. ПустьIR V - линейныйК= JR, V -линейноепространствонадК,1~dim V<00,оператор. Тогда для оператора А существует одномерное или двумерноеинвариантное подпространство.Доказательство.

Пусть PA(t) - характеристический многочлен оператора А. Если существует.\ ЕJR,РА(.\)=О (действительный корень), то пусть Оотносительно собственного числа .\, О1- IRИ =1-1},Е IR V('и). Тогда И-собственный вектор оператора А- инвариантное подпространство дляоператора А, dimIRИ = 1.Пусть теперь многочленPA(t)не имеет действительных корней. По основной теореме ал­гебры комплексных чисел многочлен PA(t) имеет комплексный корень а+ЫЕ С, а, Ь Е ~,112ь§ 9.bi) = О.

Рассмотрим комплексификацию А: w --7 W линейного оператора ~(см. замечание 9.31), при этом а + bi - корень характеристического многочлена оператора А:РА:(а + Ы) = РА(а + Ы) = О. Пусть О 1- х + iy Е W (где х Е V, У Е V) - собственный вектороператора А относительно собственного числа а + Ы: А(х + iy) = А(х) + iA(y) = (а + Ы)(х + yi),1-О: РА(аЛинейные операторы линейного пространства+при этом элементы х и у одновременно не равны нулевому элементу пространства V. Последнееравенство равносильно тому, что{Пусть И=diШjRU =2(х, у)с;;;V.ТогдаjRU -А(а) = ах - Ьу,А(у)=+ ау.Ьхинвариантное подпространство для оператора А, при этомdimU ? 1;1, то многочлен PA(t) имел бы действительный(так как элементы х и у одновременно не равны нулевому элементу, топо построению diШjRU ~2, если бы diШjRU=корень).О9.33.

Матрица А Е мnес) нильпотентна (т. е. А т = О Е Мn(К) Д.1Я некоюроют Е N) тогда и только тогда, когда собственные числа Л1, ... ) Л N равны нулю.ТеоремаДоказательство. а) Если Л1=Л2= ... =Гамильтона-Кэли А n = (О) Е МnиС).б) Если А т=лnIA -О, толЕI= (О) Е мnис) и АХ = лХ, где л Е С, О 1- Х Е сп, то=,tn(_l)n лnЭ оПоieopeve= л т ~\'" = л"'..;\'".следовательно, Л N = О И Л = О.Замечание9.34.Одним из фундаментальных результатов об алгебре :\Iатриц ~In(CJ над по­лем комплексных чисел С (и о строении отдельно взятого линейного оператора конечномерноголинейного пространства С V) является теорема о жордановой нормальной форме:1) для каждой матрицы А Е Мn(С) найдётся такая обратимая матрица С Е GLn(C), чтоJ1О...ооJ2...О)-Ожорданава матрица (т.

е.J1, .. " Jk -ОJkжорданавы клетки);2) нормальная жорданова форма J А матрицы А определена однозначно (с точностью до порядкажордановых клеток).Эта теорема обычно является одним из центральных результатов курса линейной алгебры.Конечно, теорема Гамильтона-Кэли над полем С является следствием теоремы о жордановойнормальной форме. В то же время имеются элегантные доказательства теоремы о жордановойнормальной форме, использующие теорему Гамильтона-Кэли.Упражнение1)9.35.Покажите, что:многочлен ЭрмигаHn(t)= (_1)ne :~: (e2tt2)является собственным вектором линейного дифференциального оператораd2d-2t2dtdtотносительно собственного числа-2n;113многочлен Чебышева2)=т n(t)cos( n arccos t)является собственным вектором линейного дифференциального оператораd2dt(t 2 -1)-2ddt+ t-относительно собственного значения n 2 ;3)многочлен Лежандраявляется собственным вектором линейного дифференциального оператора(t 2относительно собственного числаd2dtddt1)+ 2t2-+ 1).n(nЕвклидов о пространство§ 10.Пусть К= JR -поле действительных чисел, JR V-линейное пространство над полемR.

ТогдаотображениехVV---7VJR,хVэ (х,у)---7(х,у) Е К,называется скалярным произведением на линейном пространстве R V, если для всех х, У,zЕVиа Е К выполнены следующие условия:1) (.т,у) = (у,х);2) (х+ У, z) =(х,z) +(у,z);3) (ах, У) = а(х, У);4) (х, х) ;?: О; (Х, Х)Линейноеевклидовым=(О, х)Из(х, ау)О ЕО тогда и только тогда, когда хпространствопространством.VнадJRОтметим,для любого элемента х ЕJR=О Е Vс фиксированнымчтоV:вскалярнымевклидовом(О, Х)=(О, О, х)==О· (О, х)1)-3) скалярного произведения следует, чтоа(х, у) для всех х, У, z Е V, а Е JR.дляОназываетсяЕVимеемО Е+JR.z)(х, у)+(х,z),плоскости со скалярным произведениемвекторов.==(х, УV10.1.Линейное пространство векторов на действительной2) VпроизведениемпространствесвойствПримеры1)=JRn, для Х= (Х1, .

. . , Х n), у = (У1,,'" Уn) Е JRn положимn(Х, У)=Х1Уl+ ... + .7: n Уn=I:: XiYii=l(это скалярное произведение будем называть стандартным).114§ 10.Евклидово пространство3) V = С[а, Ь] (линейное пространство всех непрерывных функций на отрезке [а, Ь] ~ JR.), дляx(t), y(t)ЕположимVJь(x(t), y(t))=x(t)y(t) dt.а4) 11 = lVIn(JR.), (А. В) = tг(АВ*) дЛЯ А, В Е lVIn(JR.).Если И ~подпространство евклидова пространстваV -(относительно скалярного произведения пространстваОпределим длину (модуль)-евклидово пространство)(х, х).Если (х, у) = О, то говорят, что элементы х, у Е10.2то И\xl элемента х евклидова пространства V:Ix[ =ЛеммаV,V).(теорема Пифагора).

Если х, у ЕV ортсгональны (обозначение: х 1.- у).V,(х, у) = О, тоДоказательство.поскольку (у, х) = (х, У) = О.Лемма10.3(неравенство Коши-Буняковского).Для всех х, у Е[(х,у)1Доказательство.(х- ty,х- ty) ;;:ПустьО для всех(х - ty, х - ty)ttЕ=персменная.JR..Ix[-lyl-принимаюшаядействительныезначения.ТогдаПоэтому(х, х) - 2t(x, у)Рассматриваяпоследнеепеременнойвыполненное для всехt,::::;Vнеравенство+ t 2(y, у) =как неравенствоtЕJR.,[y12 t 2-2(х, y)tдля квадратного+ Ix\2 ;;:О.трёхчленаотносительнополучаем, что это условие равносильно тому, чтооСледствия1)Если10.4.V = JR.nИ для Х = (Xl,, хn ) , у= (Yl,. __ ,уn) Е JR.n имеемn(Х,У) = LXiYi,i=lто115если2)V =С[а, Ь] и для Х(О.y(t)ЕимеемVь(x(y),y(t))JX(t)y(t)dt,=атоЬ.Ь,2ь,j X(t)y(t) dtl ~ (j (x(t))2 dt) (.! (y(t))2 dt).IаааНеравенство Коши-Буняковскогодаёт возможность определить угол rp между элементами хи у евклидова пространстваV:rp = arccosЛемма10.5(~I' I~I)' О ~ rp ~ 1Г.(неравенство треугольника). Для всех х, У ЕIx + ylVIxl + lyl·~Доказательство,n(здесь мы воспользовались неравенством Коши-Буняковского).Неравенство треугольника особенно наглядно в том случае, когда V= JR2(евклидово про­странство всех векторов на действительной плоскости со стандартным скалярным проиэведением):Ix + yl~Ixl + lyl -это классическое неравенство для длин сторон треугольника:.~---..х+уПри этом теорема Пифагора (теорема10.2)превращается в обычную школьную теорему Пифагора.Неравенство треугольника в пространстве С[а, Ь] имеет видььJ(J(t)+ g(t))2 dt ~10.6.JJааj2(t) dt +аЛеммаьg2(t) dt.Попарно ортогональные ненулевые элементы евклидова пространства линейнонезависимы.Доказательство.