Вырезка из книги Михалева, страница 10

Пусть О#- Vl, .. " О#- Vm Еа1 V1+ .,.+ а m Vm =Домножим скалярно последнее равенство наa1('U1,'Ui)Так какai =О(1V, (Vi, щ) =Vi (1+ ... + аm('um,'Ui) =О ЕО при 1 ~ i#- j ~ т, а1, ... , а m Е К,V.~ i ~ т):('fai'Ui"Ui) = (O,'Ui) =~=1О Е ТТТ.(Vi' Vj) = О при i #- j, то ai(Vi, Vi) = О. Но Vi #- О, поэтому (Vi' Vi) > О. Следовательно,~ i ~ т).о116§ 10.ОпределениепространстваV.10.7.ЕслиЕгклнпоъо пространствоПустьIVil'Ul, .. _.

ит - попарно ортогональные неиулевые элементы евклидона1, i = 1.2..... т, то систему элементов {Vl"", Vm } будем называть=ортонормированноЙ.Упражнение10.8. V =С[О.2;:-:.2;;-(J(t),g(t))=Jf(t)g(t) dt,nЕ н,оРО=1~,V 271Покажите, что {ео .... , е2п}Теорема10.9=Plсов tk ,V:JJlsin tе2 = JП"'"P2n-lcos ntfi 'Р2п=sin ntfi .- ортонормированная система элементов евклидова пространства V.(неравенство Бесселя).

Пустьтов евклидова пространства=V,Х ЕVl, ... , VNV, Xi = (Х, Vi). Тогда:nLIXil(Х -tортонормированная система элемен­-2: :; Ix\2;i=lXi'Ui,щ) = О для'i= 1, ... ,n.t=lДоказательство.о:::;; (Х - ~XiVi' Х - ~XiVi) =(х - tХiVi'Щ) = (х,щ) i=lIxI 2 -~ IXi[2;tXi(Vi:Vj)=х, -.Tj = О.i=lЗамечание 10.10. Геометрический смысл неравенства Бесселя состоит в том, что квадрат дли­ны вектора не меньше, чем сумма квадратов его проекций на любыеkвзаимно ортогональныхнаправлений.10.11 (матрица [рама). Пусть el, ...

, е п - базис евклидова пространства JR V. мат­рица Г = (gij) Е Mn(JR), gij = (е., ej), 1:::;; i,j :::;; n, называется матрицей [рама базиса el,"" еп.Так как (Vi'Щ) = (Щ,Vi), то 9ij = 9ji для всех 1:::;; чэ « п, и г* = Г (матрица Г симметрическая).Если х, у Е V, Х = (Хl, ... , Х п), У = (Уl, ... ,Уп) Е m;,n - строки координат элементов Х и у в базисеЗамечание(х,у) = ХГУ.Матрица Грама положительно определена в том смысле, что ХГХ '? О для всех Х Е m;,n, еслиХГ Х = О, то Х = О Е m;,n.

Наоборот, любая симметрическая положительно определённая матрицазадаёт скалярное произведение и является матрицей Грама.Если Е ~ С} Е' С) -другой базис оростраиства V, Е' ~ С'Е (С ЕGLn(JlI.)-матрица перехода), то Х = СХ/, У = СУ/ (Х/ И у/ - столбцы координат элементов Х и у в базисеe~, ... , e~), и поэтому (х, у) = ХГУ = Х/С*ГСУ/ Следовательно, Г/ = С*ГС - матрица Грамабазиса e~, ... ,e~.dim V = п < 00. Базис el, ... ,еп ли­(ei' е}) = О для всех 1 :::;; i i- j :::;; 'п.

Ор­тогональный базис называется ортонормированным, если leil = J(ei, ei) = 1 для всех i = 1, ... , п,Определение 10.12. ПустьV-евклидоно пространство,нейного пространства V называется ортогональным, если117Ортогональный базис легко превратить в ортонормированный:базис евклидава пространствастранстваТО e~ = ~e1-"" e~... , е n -ортогональный_11I е.; - ортонормированный базис про-=еnе1V.Пример= JБt n СО стандартным скалярным произведением,10.13. Vе1 =Тогда е1,V,если еl,... ,еnТеорема-(1, О, ...

, О),ез = (О,1, О, ... , О), . . .,е n = (О,ортонормированный базис евклидова пространства10.14.Пустьевклидава пространство,V -dim V = n. . . , О, 1).V.<00.Тогда существует орто­нормированный базис пространства V.Доказательство (алгоритм ортогонализацииГрама-Шмидта). ПустьлинейногопространствапространстваПусть n ~V.2.ЕслиV.n =Тогда положим Л =значно из условия и1, 12) = О:1,ТО положим.91, 12 = .92(.92 + аЛ, 11)+ йЛ,1={Л}.91,-.91,· .. ,.9n -базисортогональныйбазисй Е JБt, коэффициент й определяется одно-= (.92, Л) + й(Л, Л) =О, следовательно, й = _ ~.92' ~1~Л, 1[: - элемент базиса пространства V, то J1 =1 О Е V, иl, J1) =1 О).

Имеем: и1, J2) = О;(Л, 12) = (.91, .92); dim(.91, .92) = 2; следовательно, 11, J2 - ортогональный базис линейного подпро­странства (.91,.92).(так какПродолжаяэлементы Л,процесс,... , 1k-1Едопустим,V, kчто мы последовательнонашли такие линейно независимые~ п, чтоПоложимКоэффициенты CYi,Так как1i -1~i ~ k - 1, однозначно находятся из условийненулевые элементы,1~ i ~k - 1,то1~ .j ~k - 1.и1"", Jk) = (,91,···, .9k),.9k) = k, . и следовательно, J1, ... , Jk - ортогональный базис под­пространства (.91, ... ,.9k), Если k = п, то мы построили ортогональный базис всего простран­ства.

Если k < п, то повторяем описанную процедуру. Так как n < 00, то за конечное чис­Итак, по построению Л,·.·, Jk - попарно ортогональные элементы,= dim(gl,.'"dim(.fl, ... ,Jk)ло шагов мы построим ортогональный базис {Л,.·., In} евклидова пространствае111= IfI I Л ' ... ,е n = 11n11n,Замечание10.15.получаем ортонормированный базис в V.На любом конечномерном линейном пространствеV,дЛЯ Х=Х1е1nжим (Х, У) = ~+ ... + хnе n,У=У1е1+ ... + уnеn,JR(можно задать скаляр­VXi, У]Е JБt,XiYi Тогда V - евклидово пространство, при этом е1,.··, е ni=lбазис евклидова пространстваV.Положивоное произведение (и в V превратится в евклидово пространство): пусть ез , ...

, е-.пространстваV.-- базис линейного~ i, j ~ п; поло-1ортонормированный118§ 10.Определениеизоморфными (иЕвклидава пространство10.16. Пусть m;.U и н V - евклидавы пространства. Эти пространства называются~ \;') , если существует такая биекция f: И --7 V, что для всех и;» Е И, Q: Е К:f(и+ v) =f(аи)=f(и)+ f('u);аf(и);(и,v) = (f(и),f(v)).ТеоремаПусть10.17.пространства И иm;.Uиm;.

V -конечномерные евклидовы пространства. Тогда евк.1и.J!ОВЫизоморфны в том и только в том случае, когдаVДоказательство. Если И ~dim:RU = dim R Г.как евклидавы пространства, то линейные пространства ]([- и?? dimm;.U = dimm;. VЕсли m;.U и m;.V-евклидовы пространства, n = dimm;.U = dimR". то пусть Иl""'''''''-Ор­тонормированный базис евклидава пространства m;. И, 'Иl, .. ·, v n - оргояоэмированный базис ев­клидова пространства m;. V.

Определим отображение f: m;.U --7 R \>". положив .1.1Я любого л: Е С',Х = Х1И1 + ... + ХnИn, xi Е IPг., 1 ~ i ~ п , лх) = X1V1 + ... - I"..t"r:. Ясно. ЧТО f - биективноеm;. VVизоморфны. Следовательно, полинейное отображение линейных пространств над IPг.. Более того. дляnХ=nLХiИi, У = LYj'Uj Е И,Xi.YjЕ К.1~ i.j ~ 'п,з=1i=lимеем(х,у) ~ t,~iYi ~ (t,Хiщt,VjVj)Итак,f-и(х),лу))·изоморфизм евклидовых пространств.Замечание10.18.

Пусть е1,... , е n -оортонормированныйбазис евклидовапространстваV,+ '" + хnе n, х; Е IPг.. Тогда: Xi = (х, ei), 1 ~ 'i ~ п, если у = У1е1 + ... + уnеn,то (Х, У) = Х1У1 + Х2У2 + ... + ХnУn = (Х, У)' где Х = (Х1, ... , Х n), у = (У1"", Уn) Е IPг. и(Х, У) = Х1У1 + ... + ХnУn - стандартное скалярное произведение строк в IPг. .Х ЕV, х = Х1е1nnЗамечание10.19. ЕслиV1, ... , V т ЕV, И=(V1, .

. . , V т) ~V, то можно построить ортонорми­рованный базис в подпространстве И следующим образом: во-первых.найти максимальную линей­но независимую подсистему Vil' ... ,Vi r системы V1, ... , V т (дляпроцесс ортогонализации к базису Vil".. ,Vir подпространстваV =U.IPг. n см.??),а затем применитьПроцесс ортогонализации можноприменять только к линейно независимым системам элементов]Пример10.20.1) Пусть V = IPг. 4-евклицово пространство строк длины 4 со стандартным скалярным произ­ведением,И1 = (2,1,3, -1), И2= (7,4,3, -3), ИЗ = (1,1, -6, О),И = (И1, 'И2, ИЗ, И4),Построим ортонормированный базис евклидона пространстваU.И4 = (5,7,7,8),Сначала (см.??)находим макси-мальную линейно независимую подсистему среди 'щ, 'и2, 'из, 'Щ (базис подпростра нства И):иl743-311-6О~) иl--7473-311-6О~) (~--74-1-911-1-91-97 )-1415--7(~~141-1ОООО!9)676119следовательно,и1, и2, и4 -V1 =базис подпространстваU.Применим процесс ортогонализации к щ,и,таким образом,V2= и22и1 =-(3,2, -3, -1).Положимпри этомпоэтомуVз== (1,5,1,10).и4 - 2щНормируя ортогональный базис V1, V2, VЗ, получаем ортонормированный базис еВК.1ИДОва простран­ства И:е1=1е2VI5(2,1,з,-1),1=;;:;с)(3, 2, -3, -1),у23ез>-Jl.127(1.5.1.10).2) Многочлены Лежандра.

Пусть k Е М, V - евклидово пространство всех многочленов отt степени ~ k со скалярным произведениемпеременной1(p(t), q(t))Jp(t)q(t) dt.=-1Применяя процесс ортогонализации к базису 1, t,ный базис евклидона пространства V, 1, t, t2-множителей) многочленов Лежандра1 dn2nLn(t) = 2n n! dtn [(t - 1) ] =n(_1)т (тt 2 , .. . , t k1пространства V, получаем ортогональ-3з , tЗ-'5t, ... , состоящий из (с точностью до числовых+ 'n)!.j L;(t) dt = 2n+1 .1m~o 2 т (m ! ) 2 (n _ т)! (1 - t) , о ~ n ~ k,-1Многочлены ЛежандраL n удовлетворяют дифференциальному уравнению2y2 ddy(1 - t ) - 2t2dtdt+ n(n + l)у = О.3) Многочлены Чебышёва первого родаобразуют ортогональную систему относительно скалярного произведения2120§ 10.Евклидово пространствоМногочлены Чебышева второго родаU (t) = _1_ dTn + 1 (t)71,n+1dtортогональны относительно скалярного произведения11JI=t2uт(tJUn(t)dt~ {~i= 71"т=71,.2-14)mМногочлены ЭрмитаНnHo(t) = 1,(t)2dndt n= (-1)n е t -е-t2'H2(t) = 4t 2H1(t) = 2t,-2, ...

,образуют ортогональную систему относительно скалярного произведенияmi= 71"т=71,.Теорема10.21(равенство Парсеваля). ПустьV -евклидов о пространство, С1.- Ck Е,--ортонормированная система элементов. Тогда следующие условия эквивалентны:1)'И1, ... , 'Uk -ортонормированный базис евклидова пространстваV;т2) х= L(х, 'Щ)'Ui для любого х Е V;i=lтЗ) (х, у)= L(х, 1Ji) ( 1Ji , у) для всех х, у Е V (равенство Парееваля);i=lт4)Ixl 2 = L I(х, Vi)12i=lДоказательство.1) ===> 2).

ЕслиJR. Умножаяxi Е1:::;: j :::;:V1, . . . ,'Uk -ортонормированный базис пространства V, то хскалярно последнее равенство на Щ, получаем,что (X,1'j)=Х1 V1=+ ... + xkVk,= Xj,Х] ( 1Jj , 'Uj)п,тт2) ===> 3). Если для любого Х Е V имеем Х = L(X,'Ui)'Ui, ТО У = L(У,Vj)Щ для уЕ V, иj=li=lт(Х, у)=тI)x, Vi)(Y, Vi)=i=lI)x, Vi)(Vi, У).i=l3) ===> 4). Если в равенстве Парсеваля положить х= у,ТО получимтIxj2 =(х,х) = "L1(X,Vi)1 2.i=l4) ===> 1). Пустьсистема щ,...тIxl2 = L I(x, vi)1 2для любого х Е V.

Допустим, что ортонормированнаяi=l,Vk не является базисом пространства V. Тогда существует такой элемент Оi= wЕV,что V1, ... ,Vk, W ,W= Wлинейно независимые элементы. При меняя процесс ортогоналиэации к элементу+ й1 V1 + ... +-.( W,Qkl)k, получаем Cti = - (получаем, что V1""'Иi)) =(w,-~,~-)~1Vi ,.z ~ k.1,Полагая l'k+1 = -,-и: .~ортонормированная система. Если х = Vk+1. то.L'k.l)k+1 -mIxl21 -# о ==LI(x, vi)12,i=lотем самым ПрИШЛИ к противоречию.ТеоремаПусть т, п Е10.22.пространства V, diш V<п.=<тN,п, V1, ...

, V m -Тогда существуют такие элементы V m+1,,'"00.ортонормированный базис евклидова пространстваДоказательство. Вw n - такиепространствабазиссилу??элементыW m + 1 , ... ,V(см.ортонормированная система евклидова{V1, ... , V m} -линейноголинейнопространстваПри мени м??).кvn ,что V1,.··, V N-V.этомунезависимаячтоV,базисусистема.ПустьV1, ... , V m, W m + 1 , ... , W n -процессортогонализации.ТакV1, ... , v m - ортонормированная система, то после применения процесса ортогонализациимы получим ортогональный базис V1, ... , 1)т, .fm+1, ... ,.fn (первые т элементов не будут мекакняться).