Вырезка из книги Михалева, страница 2

, а;) =А ст у п ,последовательность элементарных преобразований строк. Таккак строки 0.1, ... , a s линейно независимы. то в А ступ имеется ровно 5 иенулевых строк (первые 576§ 8.Линейные пространствастрок). Пусть bS +1 'Ь п Е КП - столбцы, на i-M месте которых стоит 1, а остальные элементыi = 8+1,, п. Припишем эти столбцы справа к матрице А сту п . Пусть В Е Мn(К) - полу-равны О,ченная матрица. Применяя к матрице В последовательность элементарных преобразований строк,обратную к ер, приходим К матрице В. При этом (В)* - матрица, в которой первые s строк - этоа1, ... , a s , а последующие строки дополняют их до базиса линейного пространства К",8.4.Замечание о линейной выражаемости конечных систем элементовв линейном пространствеПусть к Vлинейное пространство,-51 ~ К V, 52 ~ К V Будем говорить, что система 5251 элементов ·И1, .

. . , ит , если каждыйявляется линейной комбинацией элементов ·И1· ... ,llT системы 51,элементов И1,· .. , Ив линейно выражается через системуэлемент и; Е52, 1~i~ 8,т= 2:= mijЩ,uimi,jЕ К.j=lЕсли к тому же система 5з элементов W1, ... ,Wt линейно выражается через систему52.sWk2:= lkiИi,=lkiЕ К,1 ~ k ~ t,i=lтот.

е. система 5з линейно выражается через системуСистемыдруга52 называются(обозначение 51 rv 52).51Следствиеи51·эквивалентными, если они линейно выражаютС5: лруг черезОтношение «быть эквивалентными системами», 518.18.rv52,является отношениемэквивалентности.СледствиесистемыЕсли элемент и Е к V является линейной комбинацией элементов 1)1, ... ,'Ит8.19.51, 5152,rvгде52 -система элементов "ИI,комбинацией элементов И1, ... ,Иs системыСледствие8.20.... , И s , то элемент и является линейной52.Любая (конечная) система элементов5с к V зкьнееленлне своей макси­мальной линейно независимой подсистеме.Следствие58.21.Любые две (конечные) максимально независимые подсистемы любой системы~ к V эквивалентны.Замечание8.22.Если А, В Е Мт,п(К) и матрица В получена из матрицы А конечным числомэлементарных преобразований 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы В является ли­нейной комбинацией строк матрицы А (поскольку от матрицы В мы можем вернуться к матрице Ас помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матри­цы А является линейной комбинацией строк матрицы В).

Таким образом, в линейном пространствестрок К " системы строк А 1 , · .. ,А т матрицы А и В 1 , · .. , Вт матрицы В линейно выражаютсядруг через друга.Теоремастве к V8.23(основная теорема о линейной зависимости). Пусть в линейном простран­линейно независимая система элементов и1,.·· ,и т линейно выражается через другуюсистему элементов И1"", И s . Тогдаr~ 8.77Замечание о линейной выражаемости конечных систем элементов в линейном пространстве8.4.Доказательство. Допустим противное: пусть тТак как т>>5. В силу нашего предположения5, то Т строкв линейном пространстве строк КВ линейно зависимы: наидется их линейная комбинация с ко­эффициентамиk1,...

, kг , гдеО для некоторогоk i f:.тогда и линейная комбинация элементов V1, ... , и;нулю,k 1 V1приводит+ ... + krvr =насi, равная нулевой строке (О, .... О) Е К". НоС этими же коэффициентами k 1 , · . · , k r . равнаО. Таким образом, система элементов 'и1, .... и; линейно зависима. что...--,к противоречию.СледствиеДве эквивалентныеконечные линейно независимые системы в линейном про­8.24.странстве к V содержат равное число элементов.СледствиеДля системы8.25.5~ к V, где к V-конечномерное линейное пространство, лю­бые две (конечные) максимальные линейно независимые подсистемы содержат одинаковое числоэлементов г(5), называемое рангом системыСледствиеЕсли8.26.5= кVи кV-5.конечномерное линейное пространство, то любые двабазиса в к V состоят из одного и того же числа элементов п, это числолинейного пространства к V, обозначение: diшк Vnназывается размерностью= n.Как мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространстве строк к К" является системастрокс1= (1,0, ...

,0),сn=(О,О,и поэтому diш к К"Следствие... ,l),= n.Если в конечномерномлинейном пространстве к V одна система элементов8.27.51линейно выражается через другую систему 52, то г(51) :::;; г(5 2).СледствиеЕсли в линейном пространстве к V система М из т элементов имеет ранг т,8.28.то любая её подсистемаДоказательство.в М,IRI =т, то5из 5 элементов (5 :::;; т) имеет ранг не меньше чем тДействительно, еслиR \ (R n 5)R-+5 -т,максимальная линейно независимаяс М \ 5, и поэтомуIR\(R n 5)[ :::;;т-5.подсистемаСледовательно,IRn51;?:r-(m-5)=Т+5-m.оСледствие 8.29.

Для системы строк 'и1, ... ,'ит Е К" следующие условия эквивалентны:1)система строк V1, ... , и: является базисом линейного пространства строк К" (т. е. макси­мальной линейно независимой подсистемой строк в К"; и тогдаr = n);78Линейные пространства§ 8.2)каждая строка(и тогда т =VЕК" единственным обрэзоч представляется в виде линейной комбинацииn);З) т=17И система строкт=17И каждая строка4)V1,· ... VNVЕлинейно незавнснма:К" представима в виде линейной комбинацииДоказательство. Мы уже показали, что1)====}2).+ ... + Лгt'г =линейно зависимая система строк, Л1 V1Покажем, что2)1).====}i'О с некоторым ЛiЕслиV1,···, Vr-О, то нулевая строкаимеет два различных представленияОПри этом т=17,Ясно, что= О . V1 + ... + о .

Vr =====}3)Лii' О.Покажем, что3) ====} 1). Для любой строки(17 + 1 > 17). Так как V1, .. ·, VN - линейноV1, ... , 'Иn,И линейно зависимаv = Л1 VI + ... + ЛnV n для некоторых1)+ ... + ЛrVr,так как любые базисы в К" содержат п элементов.1)Ясно, чтоЛ1V1====}4).Л1"Покажем, что..4)независимая система, то,Л n Е К.====}1).допустим, чтосистема. Тогда её максимально линейно независимая подсистемаV1,'Uil'симальной линейно независимой подсистемой в К"; что противоречит т8.5.Е К" система строкV,,Vn -линейно зависимая?Чr, т< 17,=является мак-П.ОИзоморфизм линейных пространствПусть к И, к Vлинейные пространства над полем К. Биективное отображение-f:kU----7КV,для которогоf(U1для всехU1, U2,'иЕ кU,k+ 'и2) =JCU1) + JCU2),f(ku) = kJ(u)Е К, называется изоморфизмом линейных пространств ки и К V(в этом случае будем говорить, что линейные пространства КU и К V изоморфны, обозначение:КU ~KV).Упражнение 8.30.

Отношение КU ~ К V является отношением эквивалентности.Лемма{е1,...,е n}8.31.-Если.f: КU----7базис в кU, то и(е1),KV...-изоморфизм линейных пространств, diшкU,Леn)}-=Т/,базис в к V, и поэтому diш к V = 17 = diш кU.Доказательство.1) Если V Е KV, то .f(u)k 1 , · · · , k n Е К. Тогда= Vдля некоторого и Е кU. Пусть ИV = J(u) = k 1J(e1)2)иПустьk1J(e1)= k1e1 + ...

+ kne n,где+ ... + kn.f(e n).+ ... + kn.f(e n) = О для k1, ... , kn Е К. Тогда0= k 1.f(e1) + ... + kn.f(e n) = .f(k:1e1 + ... + k:nf'.n) ,поэтомуk 1 = k 2 = ... = kn = О.Итак, в силу 1) и 2), U (е.), ... , f (е n )}следовательно,-базис линейного пространства к V.о79Замена базиса линейного пространства и преобразование координат8.6.8.32.

Если dimKV = п. и {еl, ... ,еn}-базис линейного пространства KV, то, сопо­= k1el + ... + kne n Е К V однозначно определённую строчку его ко­ординат (k 1 , ... ,kn) в базисе {el' ... ,е n}, получаем изоморфизм линейных пространств К V ~ К",таким образом, каждое п-мерное линейное пространство к V над полем К изоморфно линейномуЛеммаставляя каждому элементу vпространству строи к».Доказательство.Соответствиеявляется биекцией, для которой.6.(V + v')=== .6.

((k1el ++ kne n) + (k~el + ... + k~en)) =.6. ((k 1 + k~)el ++ (k n + k~)en) =(k 1 + k~, ... , k n + k~) = (k 1 , ... , k n) + (k~, ... , k~) == .6. (V) + .6. (v' ) ;.6.(kv)= .6. (k(k1el + ... + kne n)) = .6.((kk1)el + ... + (kkn)en)== (kk 1 , ... , kk n) = k(kl"", k n ) = k.6.(v).Теорематогда, когда8.33. Конечномерные линейные пространства кu и К 1/dimKU = dimKV = п, и в этом случае КU ~ К" ~ KV.Доказательство теоремы следует из леммУпражнение8.31иизоморфны тогда и ТО.1ЬКО8.32.Покажите, что следующие линейные пространства яв.1ЯЮТСЯ бесконечно­8.34.мерными линейными пространствами (это означает, что в них нет базиса из конечного числаэлементов):1) IRC[O, 1] - линейное пространство вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1];2) к К[х] - линейное пространство многочленов от переменной х С коэффициентами из поля К;3) к к»-линейное пространство всех счётных последовательностей (k 1 , k 2 , ...

, kn , ... ) элемен­тов из поля К.Упражнение8.35.а) dimкМт,n(К)Докажите, что= тп;б)dim IR {АЕ М n (IR) I А * = А} =в)dimlR{AЕ8.6.lVIn(IR) I А*=n (n 2+ 1) ;-А} = п(п2- 1).Замена базиса линейного пространства и преобразование координатПустьбазис вV,V -конечномерное линейное пространство над полем К,{v~,.

. . ,v~} -другой базис в'uj =Clj'Uldim V=n < 00, {Vl" .. ,vn }V,+ C2j'U2 + ... + CnjVn,j=1, ... ,п,CijЕJ((запись по столбцу'). С = (Cij) Е Мn(К) -матрица перехода от первого базиса ко второму.-80§ 8.8.36.ЗамечаниеТак как умножение в поле К КОМ,мутативно, то левое линейное простран­ство к V можно рассматривать и как правое линейное пространствол Е К,vЕV.Линейные пространстваVK,полагая vл=лv для всехТогда определение матрицы перехода может быть записано в матричном виде как(v~,...