Ответы на билеты по физике, страница 6

Величина потока получается умножением р наповерхность сферы, которая равна р. Следовательно, потоквектора Е через сферическую поверхность, окружающуюточечный заряд, равен:Покажем теперь, что результат не зависит от формы поверхности. Выделим напроизвольной поверхности малую площадку dS(рис21.3). Изобразим на рисунке проекцию элементаповерхности dS на плоскость, перпендикулярнуюрадиус-вектору r, проведенному от заряда q в точкурасположения малой площадки dS. Легко показать,что:﬩Причем знак «+» соответствует cosα>0.

Тогда потокчерез dS:﬩﬩Множитель ±﬩в (21.7) по определению является телесным углом dΩ, под которым виднаплощадка dS﬩, а, следовательно, и dS, из точки расположения заряда q. Величина dΩявляется алгебраической и положительна, когда cosα<0, то есть она автоматическиучитывает знаки в формуле (21.7):Просуммировав (21.8) по всей замкнутой поверхности S, получаем:(полный телесный угол равен 4π). Если поверхность имеет складки (рис.21.4), каждая изплощадок dS, dS’’ и dS’’’ внесет в общий поток одинаковый по абсолютной величиневклад, равный (q/4πεε0) dΩ, причем для площадок dS и dS’’’ этот вклад войдет содинаковым знаком, совпадающим со знаком q (cosα>0), а для площадки dS’’ – спротивоположным (cosα<0).

Поэтому отвечающий телесному углу dΩ вклад всех трехплощадок будет таким же, как и в случае поверхности без складок.Итак, какова бы ни была форма поверхности, окружающей точечный заряд q, потоквектора Е через эту поверхность определяется формулой (21.9).Теперь допустим, что внутри замкнутой поверхности находятся N точечных зарядов q1, q2,…,qN. В силу принципа суперпозиции напряженности Е поля, создаваемого всемизарядами, равна сумме напряженностей Ei, создаваемых каждым зарядом в отдельности:. ПоэтомуКаждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен (qi/εε0). Следовательно,:Что и требовалось доказать.3. Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности электрического поляпротяженных заряженных тел!При использовании теоремы Гаусса наличие плоской, цилиндрической и сферическойсимметрии обязательно!При решении задач рекомендуется:1) Сделать внятный рисунок2) Проанализировать структуру электрического поля3) Выбрать замкнутую поверхность исходя из структуры поляРазберем задачу с нахождением напряженности электрического поля вне и внутрицилиндра и шара.Пример 1.

Цилиндр (рис.21.4).Определить напряженность электрического поля а) внутри и б) вне бесконечногоцилиндра. Заряд распределен внутри цилиндра равномерно с объемной плотностью ρ; R радиус цилиндра, r – расстояние от оси цилиндра, - диэлектрическая проницаемостьматериала цилиндра.Решение:а) Задача обладает цилиндрической симметрией. Линии электрического поля имеютрадиальное направление, если смотреть на цилиндр сверху (см.рис.21.5). Далее, выберемзамкнутую поверхность интегрирования, чтобы на ее отдельных участках вектор Е былперпендикулярен нормали к поверхности, а на других – параллелен ей и постоянен помодулю. Таким свойством обладает цилиндр, коаксиальный с рассматриваемымцилиндром, который сверху и снизу закрыт круговыми основаниями.

Поток вектора Ечерез такую замкнутую поверхность:бокоснНа боковой поверхности цилиндра Е||n и.Кроме того, из соображений цилиндрической симметриимодуль Е постоянен на боковой поверхности.Следовательно,бокбокНа основаниях цилиндра Е﬩n ибок.Таким образом, поверхностныйинтеграл удалось представить ввиде произведения скалярныхвеличин:Согласно теореме Гаусса:Отсюда:..б) Ход решения для нахождения напряженности вне цилиндра аналогичен, с одним лишьразличием – поток вектора напряженности для заряженного цилиндра равен:Отсюда:Пример 2.Сфера (рис.21.6).Определить напряженность электрического поля а)внутри и б) вне шара. Заряд распределен внутри шараравномерно с объемной плотностью ρ; R –радиус шара, r –расстояние от оси шара, - диэлектрическаяпроницаемость материала шара.Решение:Ход решения аналогичен решению примера 1.

Зазамкнутую поверхность принимается сфера с центром,совпадающим с центром шара.а) Поток вектора напряженности на поверхности:Согласно теореме Гаусса:Отсюда:.б) Поток вектора напряженности на поверхности:Согласно теореме Гаусса:Отсюда:Разберем задачу на нахождение напряженности бесконечной плоскости.Пример 3. Бесконечная плоскость (рис.21.7)Определить напряженность электрического поля Е бесконечной плоскости. Заряд поплоскости распределен равномерно с поверхностной плотностью σ.Решение:Аналогично предыдущим задачам выберем замкнутую плоскость – цилиндр.

Потоквектора через такую замкнутую поверхность:оснбокНа основаниях цилиндра Е||n и. СледовательноосноснНа боковой поверхности цилиндра Е﬩n иосн.Согласно теореме Гаусса:оснОтсюда :Вопрос 22. Разность потенциалов, потенциал. Работа сил электростатическогополя. Принцип суперпозиции для потенциалов. Связь напряжѐнности ипотенциала электрического поля. Примеры расчѐта потенциала электрическогополя распределѐнной системы зарядов.Поле сил неподвижного точечного заряда является центральным. Ранее былодоказано, что любое центральное поле сил потенциально.Потенциал – отношение потенциальной энергии пробного заряда, помещенного вданную точку электрического поля, к значению этого заряда.Из этого следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которойобладал бы в данной точке единичный положительный заряд.

Подставив в предыдущеевыражение значение потенциальной энергииточечного заряда следующее выражение:, получим для потенциала.Рассмотрим поле, создаваемое системой точечных зарядов.Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим. Работа,совершаемая силами этого поля над зарядом , будет равна алгебраической сумме работсил, , обусловленной каждым зарядом в отдельности:Каждая из работравнаГде- расстояние от заряда до начального положения зарядарасстояние от до конечного положения заряда .

Следовательно,Так как, получим для потенциальной энергии зарядасистемы зарядов выражениеиз которого следует, что,–в полеИз этого следует, что потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равеналгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.Это выражение называется принципом суперпозиции для потенциалов.Поскольку, значит, работа сил поля над зарядом может быть выраженочерез разность потенциалов:.Таким образом, работа, совершаемая силами поля, равна произведению величинызаряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках (т.е. на убыльпотенциала).Если заряд из точки с потенциалом удаляется не бесконечность (где поусловию потенциал равен нулю), работа сил будет равна.Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершаютсилы поля над единичным зарядом при удалении его из данной точки набесконечность.Связь напряженности и потенциала электрического поля.Сила связана с потенциальной энергией соотношением. Длязаряженной частицы, находящейся в электростатическом поле,,.Подставив эти значения, получим, что.

Константу можно вынести за знакградиента. Осуществив это и сократив затем на , придем к формуле:Данная формула позволяет по известным значениям найти напряженность поля вкаждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по заданным значениям в каждойточке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Для этоговоспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом при перемещенииего из точки 1 в точку 2, может быть вычислена какВместе с тем, та же работа может быть представлена в видеПриравняв друг другу эти выражения и сократив напридем к соотношению.Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, ибо работа сил поля независит от пути. Для обхода по замкнутому контуруформула переходит всоотношениеИнтегрирование ведется по замкнутому пути.

Заметим, что это соотношение справедливотолько для электростатического поля.Вопрос23. Проводники в электрическом поле. Связь поверхностной плотностизаряда и напряжѐнности электрического поля у поверхности заряженногопроводника. Замкнутые проводящие оболочки. Теоремы Фарадея.Если проводящему телу сообщить некоторый заряд , то он распределится так, чтобысоблюдать условия равновесия. Представим себе произвольную цилиндрическуюповерхность, образованную нормалями к поверхности проводниками основаниямивеличины .Поток вектора электрического смещения через внутреннюю частьповерхности равен нулю, так как внутри проводника , а значит и равно нулю. Внепроводника в непосредственной близости к нему напряженность поля направлена понормали к поверхности.

Поэтому для выступающей наружу боковой поверхностицилиндра, а для внешнего основания(внешнее основание предполагаетсярасположенным очень близко к поверхности проводника). Следовательно, потоксмещения через рассматриваемую поверхность равен, где - величина смещения внепосредственной близости к поверхности проводника. Внутри цилиндра содержитсясторонний заряд( - плотность заряда в данном месте поверхности проводника).Применив теорему Гаусса, получим:, т.е.. Отсюда следует, чтонапряженность поля вблизи поверхности проводника равнаГде- диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.Электроемкость.Сообщенный проводнику заряд распределяется по его поверхности так, чтобынапряженность поля внутри проводника была равна нулю. Такое распределение являетсяединственным.

Поэтому, если проводнику, уже несущему некий заряд, сообщить ещезаряд такой же величины, то второй заряд должен распределиться по проводнику точнотаким же образом, как и первый. В противном случае он создаст в проводнике поле,отличное от нуля. Следует оговорить, что это справедливо только для уединенногопроводника. Если вблизи данного проводника находятся другие тела, сообщениепроводнику новой порции заряда вызовет изменение поляризации этих тел либоизменение индуцированных зарядов на этих телах.