Ответы на билеты по физике, страница 4

Предположим, что, кромевнутренних сил, на i-ую частицу действует внешняя консервативная сила и внешняянеконсервативная сила . Тогда уравнение движения i-ой частицы будет иметь вид:.Умножив i-ое уравнение наи сложив вместе все N уравнений, получим:Левая часть представляет собой приращение кинетической энергии системы:Первый член правой части равен убыли потенциальной энергии взаимодействия частиц:Второй член правой части равен убыли потенциальной энергии системы во внешнем полеконсервативных сил:.Третий член правой части представляет собой работу неконсервативных внешних сил:.Таким образом, представим соотношение следующим образом:Величинаесть полная механическая энергия системы.

Если внешниенеконсервативные силы отсутствуют правая часть формулы будет равна нулю и,следовательно, полная энергия системы остается постоянной:Закон сохранения энергии (формулировки):1) Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна 0, и сумма внутреннихнеконсервативных сил равна 0, то полная механическая энергия системысохраняется.2) Если работа внешних сил равна 0, и работа внутренних неконсервативных силравна 0, то полная механическая энергия системы сохраняется.3) Если неконсервативные силы не совершают работу над телами в системе, тополная механическая энергия системы сохраняется.В случае незамкнутой системы полное изменение ее механической энергии ΔE равносумме работ: внешних сил и неконсервативных сил, действующих в этой системе.В общем случае:внешнкВопрос 17.

Гироскоп. Свободный гироскоп. Прецессия гироскопа. Применениегироскопов.Гироскоп – это аксиально симметричное тело, приведенное в очень быстрое вращениевокруг своей оси симметрии. Гироскоп можно рассматривать как практическисвободный, если он закреплен так называемым карданным шарниром. Последнийпозволяет ему вращаться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, причем все онипересекаются в центре масс тела. В пренебрежении трением во всех шарнирах иаэродинамическими потерями можно считать, что сумма внешних сил, действующих нагироскоп, равна 0.

Следовательно, его момент импульса относительно неподвижной точкив инерциальной системе отсчета постоянен во времени. Ось симметрии гироскопаявляется центральной главной осью, т.е. свободной осью вращения. С учетом того, чтолюбой гироскоп конструируется так, что этой оси соответствует наибольший моментинерции, становится очевидным, что положение оси вращения гироскопа устойчиво поотношению к системе отсчета, связанной с неподвижными звездами. Даже при наличиикратковременных воздействий на гироскоп он сохраняет свою ориентацию впространстве:, где – момент импульса гироскопа, - моментвнешних сил, τ – время воздействия (принимает достаточно малые значения).В устойчивом положении оси гироскопа в пространстве легко убедиться, взяв заоснование карданный шарнир и перемещая его в различных направлениях.

Это свойствогироскопа широко используется в навигации – гирокомпасах, гирогоризонтах. Также ониприменяются для придания устойчивости самодвижущимся экипажам (пример:монорельс). Также принцип гироскопа используется в нарезном оружии для приданиявращательного момента пули в стволе. Применяются в детских игрушках (юла, волчок).Весьма неожиданно гироскоп реагирует на длительное действие внешней силы, моменткоторой относительно его центра масс отличен от 0. В отсутствие вращения перемещениегироскопа, а, следовательно, и его оси симметрии, проходило бы в направлении действиясилы. Ситуация принципиально меняется, если гироскоп приведен в быстрое вращение.Пусть направление внешней силы соответствует схематическому рисунку:Под действием внешней силыпроисходит поворот вектора внаправлении вектора момента силы ,т.е. в направлении, перпендикулярномэтой силе.

Такое движение называетсяпрецессией гироскопа, и угловаяскорсть прецессии:Ситуация заметно усложнилась по сравнению со свободным гироскопом. Для последнеговекторы и сонаправлены:, где – момент инерции относительно осивращения. Теперь же вращение происходит с угловой скоростью, и, следовательно,векторы и не параллельны, т.е. поворот вектора уже не описывает поворот осигироскопа.

В приближенной теории гироскопа рассматривается случай, когда угловаяскорость прецессии, много меньше угловой скорости вращения гироскопа:. Приэтом можно опять положить:- и отождествить поворот вектора с вращениемоси гироскопа. Из этих соотношений легко получить критерий «быстрого вращения»гироскопа:.Еще одной особенностью прецессионного движения гироскопа является егобезынерционность: поворот оси вращающегося тела мгновенно прекращается, как толькоперестает действовать внешняя сила.Вопрос 18. Уравнение Бернулли. Движение идеальных жидкости и газа.

ФормулаТорричелли.Поток величины – это количество какой-либо величины, проходящей в единицу временичерез некоторую поверхность.Стационарный поток – это поток, в котором каждая частица, оказавшаяся в данныймомент в некой точке потока, имеет в этой точке такую же скорость, какую имели в этойточке и все ранее попадавшие в нее частицы.Идеальная жидкость (газ):1) плотность постоянна в любой точке пространства2) нет внутреннего трения3) течение ламинарно (без перемешивания жидкости или газа)Линии тока – линии, касательные к которым совпадают с вектором скорости.Уравнение Бернулли(уравнение неразрывности струи):Выделим в стационарном потоке участок трубки тока, ограниченный сечениями 1 и 2.Выделим в стационарномпотоке участок трубкитока, ограниченныесечениями 1 и 2.Обозначим для этихсечений через иплощади, и скорости, и –давления жидкости, ичерез и– высоты, накоторых находятся центрысечений.

Поскольку силытрения отсутствуют вместо законов Ньютона можно сразу применить закон сохраненияэнергии. Изменение энергии рассматриваемого элемента жидкости должно быть равноработе внешних сил. Внешними силами для рассматриваемого элемента являются, вопервых, сила тяжести и, во-вторых, силы давления, действующие на объем через сечения1 и 2. Силы давления, действующие на боковые стенки трубки, нормальны к стенкам иработы не совершают, т.к. давление жидкости в направлении, нормальном к поверхноститрубки, не происходит.

За малое время Δt рассматриваемый элемент жидкостипереместится по трубке. Его границы займут положение 1’ и 2’. Левая границапереместится на. Энергия элемента жидкости при этом измениться, но так как потокстационарный, то энергия части элемента, ограниченной сечениями 1 и 2, останетсянеизменной. Все изменение энергии элементов жидкости будет таким же, как если былевый слой, заключенный между 1 и 1’, занял место правого слоя, заключенного между 2и 2’. При достаточно малом Δt эти слои можно считать цилиндрическими. Их объемыистационарный.

ПоэтомуОбъемдолжны быть равны, т.к. жидкость несжимаема и поток.обладает массой. Его потенциальная энергияи кинетическая энергия. Аналогично выводятсяпотенциальная и кинетическая энергии объема:и.Изменение полной энергии всего рассматриваемого объема есть.Внешние силы (силы давления), действующие на рассматриваемый объем через сечение 1,направленных в сторону перемещения жидкости и совершают положительную работу.Наоборот, внешние силы, действующие через сечение 2, направлены против перемещенияжидкости и совершают отрицательную работу. Поэтому вся работа внешних силипри перемещенияхибудет равна:.По закону сохранения энергииили, получим:.

Подставляя их в выражение и сокращая их наили.Так как сеченияивыбраны произвольно, то для любых сечений данной трубки тока– уравнение Бернулли.При помощи уравнения Бернулли легко подсчитать скорость истечения жидкости изотверстия. Если сосуд широкий, а отверстие мало, то скорости жидкости в сосуде вдали ототверстия малы. Поэтому можно применить уравнение Бернулли ко всему потому в целоми рассматривать его как одну токовую трубку. В верхнем сечении этой «трубки» - уповерхности жидкости – давление p0 равно атмосферному, а скорость v равна 0.

В нижнемсечении «трубки» - в отверстии – давление также равно атмосферному. Если скоростьотверстия обозначить через v, то из уравнения Бернулли для этих двух сечений получим:или, где h – высота уровня жидкости в сосуде (формулаТорричелли).Таким образом, истечение происходит с той же скоростью, какую имело бы всякое телопри свободном падении с высоты h.

Этот результат становится совершенно очевидным,если вспомнить, что мы пренебрегаем силами вязкости в жидкости.Если площадь отверстия равна S, то масса вытекающей за единицу времени жидкости. Уносимый жидкостью за единицу времени импульс.Вопрос 19. Формула Пуазейля. Течение вязкой жидкости по круглой трубе. ЧислоРейнольдса.Вязкая жидкость отличается от идеальной тем, что в ней присутствует вязкое трение.- поток жидкости (скорость изменения объема).- число Рейнольдса, где l – характерный размер (сторона квадрата при квадратныхсечениях, радиус или диаметр при круглом сечении и т.д.), - средняя скорость потока, η– коэффициент вязкого трения.Для круглой трубы, еслименьше 1000, то течение считается ламинарным, и можноиспользовать формулу Пуазейля, если больше 1000 – турбулентным, приможнопренебрегать силами вязкого трения и пользоваться уравнением Бернулли.- закон вязкого трения, где- модуль градиента скорости.Распределение скоростей по сечению:Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины R.

Пристационарном движении в трубе постоянного сечения скорости всех частиц жидкостиостаются неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, приложенных к любомуобъем жидкости, равна 0. На основания рассматриваемого цилиндрического объемадействуют силы давления, сумма которых равна. Эта сила действует внаправлении движения жидкости.

Кроме того, на боковую поверхность цилиндрадействует сила трения, равная. Условие стационарности имеет вид:. Скорость убывает с расстоянием от оси трубы. Следовательно,отрицательна. Учтя это, преобразуем соотношение следующим образом:Разделив переменные, получим уравнения:Интегрирование дает:.Постоянную интегрирования нужно выбирать так, чтобы скорость обращалась в 0 настенках трубы, т.е. при(R – радиус трубы).