Диссертация (Математические аспекты эволюции цилиндрических вихрей в вязком теплопроводном газе), страница 8

Показано, что такие функцииможно разложить в абсолютно сходящийся ряд Фурьеf ( x1 ,..., xs ) m1 ,..., ms C (m1 ,..., ms )e2 xl ( m1x1 .... ms xs ) ,при этом для коэффициентов Фурье C (m1 ,..., ms ) справедлива оценкаC (m1 ,..., ms ) C,(m1 ,..., ms )(13)где m  max(1, m ) и константа C не зависит от m1 ,..., ms . Погрешностьквадратурной формулы1100 ... f ( x1,..., xs )dx1...dxs  k f [1 (k , N ),..., s (k , N )]  R , построенной с помощьюсетки M k  (1 (k , N ),..., s (k , N )) (k  1, 2,..., N ) при k 1может быть выраженаNоценкойRCNm1 ,..., ms S (m1 ,..., ms )(m1 ,..., ms ), где(14)52NS (m1 ,..., ms )   e2 l ( m11 ( k , N ) ...mss ( k , N )) .(15)k 1Выражение (14) устанавливает связь между оценкой погрешностиквадратурной формулы, построенной с помощью сеткиM k  (1 (k , N ),..., s (k , N )) (k  1, 2,..., N )и оценками тригонометрических сумм S (m1 ,..., ms ) .Оценки тригонометрических сумм позволяют использовать теоретикочисловые методы для построения квадратурных формул.Так, для сеток видаkksM k  ({ },...,{ }) (k  1, 2,..., N ) ,NNkNгде { } – дробная доля величиныk(так называемые, неравномерныеNсетки), в неравенстве (14) возникают рациональные тригонометрическиесуммыNS (m1 ,..., ms )   e2 lm1k ... ms k sN(16)k 1Для сумм (16) при простых N и m1 ,..., ms , не делящихся одновременно наNсправедливы оценки, имеющие порядокN , что позволяет оценитьпогрешность квадратурных формул с неравномерными сетками:R  O(1).N(17)Периодическая функция f ( x1 ,..., xs ) принадлежит классу Es , если при   1для ее коэффициентов Фурье имеет место оценка (13):C (m1 ,..., ms ) Результаты,C.(m1 ,..., ms )получающиесяспомощьюнеравномерныхсеток,справедливы не только для периодических функций f  H s , где   2 , но идля более широкого класса функций f  Es , с любым   1 .53Оценка(17) показывает, чтоточность квадратурных формул снеравномерными сетками не уменьшается при возрастании числа измерений(в отличие от точности классических квадратурных формул, дающих оценкуR  O(1).N  /sК недостаткам квадратурных формул с неравномерными сетками (как иформул, полученных с помощью методов Монте-Карло), можно отнести то,что они не реагируют на гладкость подынтегральной функции.Данная проблема решается для свободных квадратурных формул спараллелепипедальными сетками [112].Параллелепипедальные сетки имеют вид:M k  ({aka1k},...,{ s })NNгде a1 ,..., as(k  1, 2,..., N ) ,(18)– оптимальные коэффициенты (определенным образомвыбранные целые числа).Погрешность квадратурных формул с параллелепипедальными сеткамина классе периодических функций f  H s при любом   1 можно оценить:ln  NR  O(  ) ,Nгде (19)не зависит от N .

Точность этой оценки увеличивается сувеличением параметра  (характеризует гладкость функций из класса H s ).Оценка (19) не допускает существования улучшения на классе H s и на болеегладком классе Ds . Но данная формула может быть использована дляфункций малой гладкости из классов Es1 с s  0 , а также (см.

[113]) приинтегрировании функций, удовлетворяющих условию Липшица при   0 .В статье [114] показано, что теоретико-числовые методы приближенногоинтегрирования применимы для непериодических функций. Но в такомслучае необходима предварительная периодизация задачи (замена искомогоинтеграла совпадающим с ним интегралом от периодической функции).54Определяющейхарактернойчертойквадратурныхформулспараллелепипедальными сетками является то, что для случая конечныхтригонометрических полиномов их точность имеет вид:P( x1 ,..., xs ) m1 ,..., ms Cs N1sC (m1 ,..., ms )e2 xl ( m1x1 .... ms xs ) ,(20)т.о. для любого полинома вида (20) с коэффициентами C (m1 ,..., ms ) прималом s  0 и C0  C0 (s) выполняется равенство:1100 ... P( x1 ,..., xs )dx1...dxs akak1 NP({ 1 },...,{ s }) .N k 1NN4.3.2 Оптимальные коэффициентыОптимальныекоэффициентыa1 ,..., as ,накоторыхстроятсяпараллелепипедальные сетки (18) связаны с задачами теории диофантовыхприближений и с вопросами равномерного распределения дробных долей.Пусть  1 ,...,  s – произвольные действительные числа из интервала [0,1] .Рассмотрим область:0  x1   1 ,...,0  xs   s(21)и обозначим через TN ( 1 ,...,  s ) число точек сеткиM k  ({aka1k},...,{ s }) (k  1, 2,..., N ) ,NNлежащих в ней.

В работе [14] сформулирована Теорема 22, согласно которой,для того, чтобыцелые  1 ,...,  s были оптимальными коэффициентами,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенствоTN ( 1 ,...,  s )   1... s N  R0 ,(22)где R0  O(ln  N ) и  не зависит от N . То есть, узлы параллелепипедальныхсеток расположены таким образом, что количество их попаданий в область(21) асимптотически стремится к произведению объема области на числовсех точек сетки.55Качество оценки остаточного члена из равенства (22), напрямую влияетна равномерность распределения в кубе точек сетки M k . При этом, чемравномернее расположены точки сеток, тем точнее квадратурные формулы,построенные с их помощью. При таком выборе целых a1...as лучшей оценкойостаточного члена R0 из (22) является некоторая степень ln N .

Такимобразом, именно для оптимальных коэффициентов достигаются лучшиеоценки остаточного члена. Оптимальные коэффициенты вычисляются сприменением достаточных условий оптимальности.4.3.3 Применение теоретико-числовых сеток для решенияинтегральных уравнений и построения интерполяционныхформулИнтегральные уравнения Фредгольма второго рода имеют вид ( P)    K ( P, Q) (Q)dQ  f ( P) ,(23)Gsгде Gs − s-мерный куб. Предполагаем, что свободный членf ( P)принадлежит классу Es , ядро данного уравнения - классу E2s , а знаменательФредгольма D( ) отличен от нуля. В статье [115] показано, что с помощьютеоретико-числовых сеток M k может быть получено решение уравнения (23)в виде ( P) NN K ( P, Mk 1k) ( M k )  f ( P)  R1 ,где величины  (M k ) определяются из системы линейных алгебраическихуравнений. (M j ) N K (MNk 1j, M k ) ( M k )  f ( M j ) ( j  1, 2,..., N ) ,причем порядок погрешности R1 в зависимости от выбора сеток,совпадает с порядком погрешности при вычислении интегралов от функцийиз класса Es .

Так, при использовании параллелепипедальных сеток, получаемоценку56R1  O(1N  (24))с малым   0 .Благодаря применению метода итераций и использованию квадратурныхформул с параллелепипедальными сетками для случаев вычисленияинтегралов возрастающей кратности, для малого  для решения уравнения(23) получаем приближенное выражение. Для погрешности сохраняетсяоценка (24).Трудностью применения данного метода к уравнениям Вольтерраявляется то, что интегрирование проводится по области, не совпадающей сединичным кубом. Но и в этом случае можно получить приближенныеформулы, для которых порядок точности не зависит от размерностииулучшается с возрастанием гладкости ядра и свободного члена уравнения.В работах [116,117] было показано, что теоретико-числовые сетки могутбыть использованы для интерполяции функций многих переменных.

Вработе [118] к коэффициентам Фурье функции f ( x1 ,..., xs )  Es примененыквадратурные формулы с параллилепипедальными сетками, благодаря чемуполучается интерполяцонная формулаf ( x1 ,..., xs ) as ka1k1 Nln 1Nf({},...,{})(x,...,x)O() Nk1s 1N k 1NN 2где  k ( x1 ,..., xs ) – известные функции,  1 не зависит от N . На классе Es приs2данная формула обладает лучшей точностью, чем классическиеинтерполяционные формулы, имеющие на том же классе погрешность1порядка 1N. Может быть показано, что при произвольном выборе сеток2нижнюю границу погрешности интерполяционных формул на классе Esможно оценить как1.N  1574.3.4 Сетки Коробова применительно к задаче диссертацииПрактическое вычисление оптимальных коэффициентов, примененных впроцессе решения задачи диссертации основывается на Теореме 23 [110]:Теорема 23. Пусть для целых z функция H ( z ) определена равенствомH ( z) 3s pkkz s 1 2(1  2{ }) 2 ...(1  2{}) ,p k 1ppгде p - простое число, большее s .Если при z  a достигается минимум функции H ( z )1  z  p 1,тоцелыеa1  1, a2  a,..., as  a s 1будутна интервалеоптимальнымикоэффициентами по модулю p .Крометого,используемоевдиссертацииприменениепараллелепипедальных сеток для случаев, когда область интегрирования Vотлична от единичного куба, основано на Теореме 24 [110].Теорема 24.

Пусть p  1 - нечетно, a1 ,..., as - оптимальные коэффициентыпо модулюp,- их индекс и N  p . Обозначим через  ( x1 ,..., xs )Характеристическую функцию области V , лежащей внутри единичного s–мерного куба и ограниченной плоскостями, параллельными координатнымплоскостям. Тогда при f ( x1 ,..., xs )  H s1 (C ) ... f ( x1,..., xs )dx1...dxs VТаблицыas kas ka1ka1k1 Nln 3 Nf({},...,{})({},...,{})O(). pN k 1pppNоптимальныхкоэффициентовбыливычислены(25)А.И.Салтыковым [119] с помощью функций H ( z ) и H ( z ) (Теоремы 1 и 2).Для случая рассматриваемых в задаче пятнадцатикратных интегралов,оптимальные коэффициенты имеют следующие значения, представленные вТаблице 1.N= 2000003N= 1000003N= 500009a1111a2427616211813193732a3116917561237741226658a418686620374179097a5130173465117195476a61974075531570274790a778898498631158059a8167607426533035019a9984513174690178796a10879520501967383197a11260176817205184956a121253535123383250834a1381851544977197805a141585228684723468500a151839649797703308293Таблица 1.