Диссертация (Математические аспекты эволюции цилиндрических вихрей в вязком теплопроводном газе), страница 10

24. Низкочастотные колебания. Зависимость частот от коэффициента подобия.Показано, что частоты экспоненциально убывают с увеличениемкоэффициента подобия.График зависимости разности собственных частот от коэффициентаподобия имеет следующий вид (Рис.25):8765f432100246810Scaling factorРис. 25. Низкочастотные колебания. Зависимость разности частотот коэффициента подобия.73Видно,чтосувеличениемкоэффициентаподобия,разностьсобственных частот (Рис.25), также как и самих их величин (Рис.24),экспоненциально убывает.5.3ДанныйВысокочастотные колебанияпараграфпосвященвысокочастотнымколебаниямцилиндрических вихрей (Рис. 26-29).Показано, что наряду с низкочастотными колебаниями, описанными впредыдущем параграфе, имеют место колебания высокой частоты.На Рис.

26 представлены высокочастотные колебания, соответствующиетаким же параметрам задачи, как и низкочастотные колебания на Рис. 14.Спектр, соответствующий Рис. 26, показан на Рис.27 и имеет двесобственных частоты (920 и 1120 Гц).0.40.2w0.0-0.2-0.412.2212.2412.2612.28t,sРис. 26. Высокочастотные колебания w = - Log  при r> r0,r = 1.709 см, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см (L=1).74Рис. 27. Спектр высокочастотных колебаний w = - Log при r> r0, r = 1.709 см, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см (L=1).Также рассмотрены высокочастотный колебания и их спектр для случая,соответствующего коэффициенту подобия 10.6 (Рис.

28, 29). Можно видеть,что собственные частоты имеют значения 790 и 1150 Гц.0.040.02w0.00-0.02-0.042444.002444.022444.042444.062444.08t,sРис. 28. Высокочастотные колебания w = - Log при r> r0, r = 18.12 см, r0= 2 см, z0= 30.84 см, z= 18.02 см (L=10.6).75Рис. 29. Спектр высокочастотных колебаний w = - Log  при r> r0,r = 18.12 см, r0= 2 см, z0= 30.84 см, z= 18.02 см (L=10.6).Важно отметить, что как высокочастотные, так и низкочастотныеколебания имеют две собственные частоты (Рис.27,29), которые связаны сналичием двух характерных размеров рассматриваемого цилиндрическоговихря (высота и диаметр).76Выводы к Главе 5Описан вид осциллирующих решений системы уравнений Навье-Стокса,на их основе рассмотрена генерация звука одиночным вихрем, возникающаяблагодаря диффузии завихренности.

Впервые определен акустический спектртакого излучения для различных областей пространства и для случаевгеометрически подобных цилиндрических вихрей.Программный код для вычисления w и вспомогательных функций былнаписан на языке Wolfram Language и выполнен с помощью программыMathematica 5.0. Графики и спектры построены в программе Qtiplot 0.9.9.2.Показано, что имеют место осциллирующие решения (возникаютколебания плотности и давления). Вычисления проводились для областивнутри и вне первоначального вихревого цилиндра. Обнаруженывысокочастотные колебания, модулированные низкочастотным сигналом,причем значения собственных частот не зависят от величины начальнойзавихренности.

Как высокочастотные, так и низкочастотные колебанияимеют две собственные частоты, которые связаны с наличием двуххарактерных размеров рассматриваемого цилиндрического вихря (высота идиаметр). Собственные частоты экспоненциально убывают с увеличениемкоэффициента подобия.776 Достоверность результатовПроизводится подробный анализ достоверности результатовдиссертационной работы. Приводится оценка сверху для погрешностивычислений, а также сравнение результатов для различных сеток Коробова.Кроме того, результаты сопоставляются с экспериментальными данными,приведенными в литературе.6.1 Погрешность вычислений6.1.1 Оценка погрешности сверхуСогласно Теореме 24 [110], ... f ( x1,..., xs )dx1...dxs Vakakakak1 Nln 3 Nf ({ 1 },...,{ s }) ({ 1 },...,{ s })  O().N k 1ppppNТаким образом, погрешность можно сверху оценить какln 3 N.NДля сетки Коробова, использованной в настоящей работе, N =2000003,таким образом, погрешность величины w , вычисленной по формуле (12), поабсолютной величине не превышает 0.00152704.Рис.

30 иллюстрирует зависимость w(r) при фиксированном временинаблюдения с учетом погрешности. Видно, что вычисления радиальногораспределения плотности проведены достаточно точно.781.00.8w0.60.40.20.00.000.020.040.060.08r,mРис. 30. Радиальное распределение w = -Log при фиксированном времениt=20 c, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см с учетом оценки погрешности.Тем не менее, для осциллирующей зависимости w(t), погрешность можетвносить существенный вклад в вычисления при малой амплитуде колебаний,то есть, при их затухании.Поэтому, для исследуемых в работе осцилляций приведено сравнениевычислений при различных параметрах сеток Коробова.796.1.2Сравнение результатов вычислений для различныхпараметров сеток КоробоваПроведено сравнение результатов вычислений для различных параметровсетки Коробова.Таблица 2 иллюстрирует целесообразность выбора сетки,соответствующей N =2000003 для целей описания высокочастотных инизкочастотных колебаний цилиндра.

Показано, что при уменьшении до1000003 и 500009 погрешность возрастает более чем в 1.7 и 2.9 раза,соответственно.ln 3 NNN =2000003N =1000003N =5000090.001527040.002636940.00451919Таблица 2. Оценка сверху погрешности сеток Коробова для различных N .1.00.5w0.0-0.5-1.00510t,s1520Рис. 31.

Зависимость w = -Log от времени при r> r0, r = 1.709 см, r0= 0.188 см, z0=2.909 см, z= 1.7 см для сетки Коробова N =1000003.801.00.5w0.0-0.5-1.005101520t,sРис. 32. Сравнение зависимости w = -Log от времени при r> r0, r = 1.709 см, r0= 0.188см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см для различных сеток Коробова.Черный цвет соответствует случаю N =2000003, серый - N =1000003.На Рис.32 приведено сравнение вида осциллирующих колебаний внецилиндра для двух сеток Коробова N =2000003 (Рис. 14) и N =1000003(Рис.31).

Видно, что результаты удовлетворительно сходятся между собой, ав области установившихся колебаний можно говорить об их совпадении.81Рис. 33. Спектр w = -Log при r> r0, r = 1.709 см, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 смдля сетки Коробова N =1000003.Кроме того, показано, что спектр колебаний при N =1000003 (Рис. 33)практически полностью совпадает со спектром при N =2000003 (Рис. 10), заисключением того, что при меньшем числе N спектр является болеезашумленным. Собственные частоты совпадают в обоих случая, чтопозволяет говорить о сходимости метода.6.2 Сравнение с экспериментальными даннымиПриводится сравнение полученных результатов для собственных частот сэкспериментальными данными.В связи с ограниченным количеством представленных в литературеданных, относящихся непосредственно к акустическому излучениювертикальных газовых цилиндрических вихрей, результаты работы82сравниваются с экспериментально наблюдаемыми частотами вихревыхколец, частотами турбулентных атмосферных колебаний и числами Струхалядля сверхзвуковых струй.

Показано, что теоретически полученные вдиссертации результаты хорошо совпадают с экспериментальными данными,представленными в литературе [14, 120, 121].6.2.1Атмосферные частотыВ работе [120] экспериментально исследовались флуктуацииинтенсивности света, вызванные турбулентностью атмосферы.Показано, что1. Флуктуации распределены логарифмически нормально.222. Зависимость   (ln I / I0 ) от L находится в удовлетворительном211/ 6согласовании с теорией явления, приводящей к формуле  ~ L .3. Непосредственные измерения подтверждают теоретический вывод отом, что корреляционная функция флуктуаций интенсивности света зависитот  /  L , а масштаб корреляции имеет порядокL .4.

Подтверждается, что частотный спектр флуктуаций интенсивностисвета зависит от f  L / vn и обнаруживается хорошее согласие временного ипространственного масштабов корреляции.5. Атмосферные частоты лежат в диапазоне 0.5-290 Гц.Полученные в работе низкочастотные колебания вихревого цилиндранаходятся в диапазоне 0.01-280 Гц, что хорошо согласуется с даннымиработы [120].836.2.2Акустические колебания кольцевого вихряВысокочастотные колебания цилиндрического вихря сравниваются сакустическим излучением турбулентных вихревых колец.В работе [14] турбулентное вихревое кольцо рассматривается как источникзвука.

Эксперименты проводятся в заглушенной (безэховой) камере ЦАГИ.Было показано, что акустическое излучение вихревого кольца сосредоточенов довольно узкой полосе частот, а его максимум расположен вблизи частоты,которая зависит от средних параметров вихревого кольца (размеры ициркуляция). Данные акустического эксперимента показывают, чтотурбулентное движение частиц с большими амплитудами и в широкомдиапазоне частот имеет место во всей атмосфере кольца. Тем не менее,только малые колебания ядра вихря определяют звуковое поле. Кроме того,эти колебания вызывают не только турбулентность вихревого кольца, но иего звуковое излучение.Вихревые кольца получены с помощью генератора с диаметром сопла 4см, максимум спектра наблюдается около частоты ω0=1200 Гц. Усредненныйспектр такого вихревого кольца представлен на Рис.34.84Рис.34 Усредненный спектр: вихревого кольца (I), фонового шума (II).Данные результаты хорошо согласуются с результатами, полученными вдиссертации для вихревого цилиндра радиусом 2 см (высокие частотыколебаний цилиндра составляют порядка 790 и 1150 Гц (Рис.29)).6.2.3Акустическое излучение струйИстечение газовых струй в атмосферу сопровождается излучением шума споверхности струи.

Наблюдаемый шум струи – результат действия целогоряда механизмов, относительный вклад которых может быть различен приразных условиях.Авторы [121] провели работу по изучению амплитудно-частотныххарактеристик плоских, осесимметричных и кольцевых струй.В работе установлено, что при истечении сверхзвуковых струй взатопленное пространство или дозвуковой поток в спектре их шума приопределенных условиях обнаруживаются узкополосные составляющие85значительной интенсивности, получившие название «дискретных».Интенсивность дискретного акустического излучения сверхзвуковой струиможет быть весьма велика и уровень звукового давления, соответствующегоэтому излучению, может превосходить суммарный уровеньширокополосного шума струи.

Данные фото- и видеосъемки показывают, чтоизлучающая дискретный тон сверхзвуковая струя колеблется с некоторойопределенной частотой, а по окружающему струю пространству внаправлении к соплу распространяются акустические волны. Частотадискретной составляющей в спектре шума струи, а также частоты пульсацийструи и излученных во внешнюю среду волн совпадают. Это говорит о том,что источник излучения неподвижен в пространстве, так как отсутствуетэффект Доплера. Во многих экспериментах помимо основной частотыизлучения наблюдались и высшие гармоники.Дискретное акустическое излучение приводит к изменениюгазодинамических характеристик течения в струе.

Основные особенностидискретного излучения струи:волнообразная форма границы струи, говорящая об изгибном характере ееколебаний; акустические волны, распространяющиеся по внешней среде инаходящиеся в противофазе на противоположных сторонах струи;интенсивное «распушение» струи в области ее распада.Из эксперимента видно, что звук дискретной частоты излучается не толькоплоскими и осесимметричными, но и кольцевыми струями.Кроме того, акустические излучение струй характеризуется числомСтрухаля (Sh=fL/v, здесь L и v − характерный размер и характерная скорость,соответственно, f − частота), лежащим в диапазоне Sh~0.1-0.25 .