Диссертация (Математические аспекты эволюции цилиндрических вихрей в вязком теплопроводном газе), страница 7

Индекс “0” относится к начальному состоянию.Полный вид системы (4) представлен в Приложении.Система (4) обезразмерена с использованием характеристической длиныl0   0 / c0 и характеристического времени t0   0 / c0 2 .Зависимость вязкости газа от температуры может быть описанастепенным законом [107]44 T , n  0.75,0  T 0 nгде 0 и T0 − значение вязкости и температуры в начальный момент времени.Расчетные значения, выполненные по последней формуле, в интервалетемператур T=240-800 К отличаются от экспериментальных значений длявоздуха не более, чем на 2-3%. Коэффициент теплопроводностипропорционален произведению C p  , где C p - теплоемкость при постоянномдавлении [108].Учитывается, что давление, температура и плотность связаны междусобой уравнением Менделеева-Клайперона p  RTM, где M – молярная масса.45Выводы к Главе 3В данной главе приведена постановка задачи об эволюции параметровкругового цилиндрического вихря, опирающегося на плоскость в вязкомтеплопроводном газе.

Начальную завихренность цилиндрического вихрясчитаем малой величиной.Записана применяемая для решения поставленной задачи нестационарнаясистема уравнений Навье-Стокса в Эйлеровых переменных, в случаепренебрежения объемной вязкостью и объемными силами. В ходепреобразования системы Навье-Стокса применяется разложение Гельмгольцадля поля скорости на потенциальную и соленоидальную часть,обезразмеревание с использованием характеристической длины,характеристического времени и скорости звука.

Кроме того, учитывается, чтозависимость вязкости от температуры может быть описана степеннымзаконом, а давление, температура и плотность газа связаны между собойуравнением Менделеева-Клайперона.464 Решение нестационарной системыуравнений Навье-СтоксаЗадача, поставленная в Главе 3, решается при учете вязкости итеплопроводности среды. Т.е. формулируется метод решения системыуравнений Навье-Стокса для цилиндрического вихря на плоскости вприближении малой начальной завихренности. Описываютсяосциллирующие решения данной системы и на их основе − генерация звукаодиночным вихрем, возникающая за счет диффузии завихренности.

Крометого, показывается, что собственные частоты акустических колебаний независят от величины начальной завихренности, а зависят только отгеометрических размеров цилиндра.4.1Решение однородных параболических уравнений,применение разложений по малому параметруВыполняется разложение неизвестных функций w, s, h, i , v i (i  1, 2,3) постепеням малого параметра и определение компонент скорости. Решаютсяоднородные параболические дифференциальные уравнения относительно iи определяются нелинейные члены  2(1) , 3(1) системы.Для решения системы (4), проводятся разложения неизвестных функцийпо степеням малого параметра (начальной завихренности)   0 :471(1)  x , t    2 1(1)  x , t    31(2)  x , t    4 1(3)  x , t   ...,2 (1)3 (2)4 (3)(1)2  x , t     2  x , t     2  x , t     2  x , t   ...,3  x , t   3(1)  x , t    2 3(2)  x , t    33(3)  x , t   ...,w  x , t    2 w(1)  x , t    3 w(2)  x , t    4 w(3)  x , t  ...,s  x, t    s x , t    s  x , t    s  x , t  ...,h  x , t    2 h(1)  x , t    3h (2)  x , t    4 h (3)  x , t  ...,vi  x , t    vi(1)  x , t    2vi(2)  x , t    3vi(3)  x , t  ...2 (1)3 (2)(5)4 (3)Подстановка разложений (5) в систему (4) дает члены более низкогопорядка  i(1) i(1) , t w(1)(1) t  s , (1) s  1 w(1)  4 s (1)  1 h(1)   (1) ,2 t3 (1) h   h(1)  (  1) s (1)   (1) .3 tPr 2(1) (6)(1) v (1) v (1)vi(1) v j1j, 3(1)   (  1) Dij v (1) Dij v (1) , Dij v (1)   i  . xx j xi2xi  jДля скорости вихря получено выражение:v ( x, t )  0.25 {( x  r , t )  n  s( x  r , t )n}dr  sin  d d ,n  {sin   cos  ,sin   sin  , cos  }.(7)Система (6) состоит из трех однородных параболическихдифференциальных уравнений относительно i и неоднороднойпараболической подсистемы с постоянными коэффициентами относительноw, s, h .

Решение подсистемы может быть найдено с помощью преобразованияФурье.48Первое уравнение системы (6) даетi(1)  x, t  20.125(1)(,0)*exp0.25x/ t d . 3/2t 3/2  i(8)В рассматриваемом случае, только одна компонента 3(1)   отлична отнуля.Выражения (7,8) позволяют определить члены  2(1) , 3(1) в правой частиуравнений системы (6).4.2Решение неоднородной параболической подсистемы,применение преобразования ФурьеК системе (6) применяется преобразование Фурье, в результате чегополучаются выражения для функций w, s, h . Выражения для неизвестныхфункций приводятся к виду, пригодному для интегрирования и описываютсяакустические колебания цилиндрического вихря на плоскости.Фурье-образ однородной параболической подсистемы системы (6) дает: dw(1) s (1) , dt ds (1)k 2 (1) 4 2 (1) k 2 (1) w  k s  h ,3 dt dh (1) k 2 h (1)  (  1) s (1) ,Pr dt(9)где волнистая линия обозначает Фурье-образ.Характеристическое уравнение системы (9) имеет вид [109]:4 4  2k4f 3  k2(  ) f 2  k2(k  1) f 03 Pr3 PrPr(10)49При 0  k  k ( k  1 для воздуха), решения уравнения (10) представляютсяследующим образомf1  1 (k ), f 2,3   2 (k )  ir (k ); 1,  2  0.При k  k все решения действительны и быстро убывают со временем.Дисперсионная кривая r (k ) имеет две ветви.

В расчетах используется толькота ветвь, которая соответствует меньшим значениям коэффициента затухания1 ,  2 (0  k  k1  k* ).Преобразование Фурье фундаментальной матрицы решений дляпараболической подсистемы (7) имеет вид:A   aij  , i  1, 2, 3,a1i  c1i e 1t  c2 i e 2 t cos(r t )  c3 i e 2 t sin(r t ),a2 i  c1i 1 e 1t  (c2 i 2  c3 ir )e 2 t cos(r t )  (c3i 2  c2 ir )e 2 t sin(r t ),144 ))e 1t  ((1  2 ( 2 2  r 2 )   2 )c2 i 33kk222r ( 22  )c3 i )e 2 t cos(r t )  ( 2r ( 22  )c2 i 33kk4(1  2 ( 2 2  r 2 )   2 )c3 i )e 2 t sin(r t ).3ka3 i  c1i (1   1 (2Здесь коэффициенты cij определяются из начальных условий.c11  ( ( 222k 2k2 r )  k ) / g1 ; c12  2( 2 ) / g0 ; c13  ;3g122c21  ( 1 ( 1  2 2 )  k 2 ) / g1 ; c22  c12 ; c23  c13 ;c31  ( 1 ( 2 2   1 2  r 2 )  k 2 ( 1   2 )) / (r g1 );c32  ( 12   2 2  r 2  4 k 2 ( 1   2 ) / 3) / (r g0 );c33  k 2 ( 2   1 ) / 3) / (r g1 ), g0  ( 2   1 )2  r 2 , g1   g0 .Функция w(1) , описывающая колебания плотности, записываетсяследующим образом:50(1)wa12 x, t   d  d  dkexp ik ( x   )  *t12 R30R3(11)(k , t   ) ( , )  a13 (k , t   ) ( , ) ,(1)2(1)3Функции w( n) ( x, t ), s ( n) ( x, t ), h( n) ( x, t ), n  1 получаются аналогично.Вводится переменная X    x0 .

Тогда уравнение (11) принимает видw(1)  x0 , t  a122tk100002 d  kdk  R3dR3  sin 3d3  d sin(kR3 )*0(12)(k , t   ) ( x0  X , )  a13 (k , t   ) ( x0  X , ) .(1)2(1)3Отклонение плотности от начального значения равно d  0  w  02 w(1) .0Здесь  d обозначает размерную плотность.Для параметров задачи диссертации характер изменения плотностипрактически точно совпадает с характером изменения давления.

Поэтомуможно считать, что выражение (12) описывает колебания плотности.Из выражения (12) следует важный вывод о том, что функция w(1) , такжекак и частота акустического излучения, не зависит от начальнойзавихренности 0 . Первые члены ряда могут быть использованы для анализачастотного диапазона осцилляций плотности в случае малой завихренности.Коэффициенты степенного ряда по 0 служат кратными интегралами.51Сетки Коробова и их применение4.3РазделпосвященописаниюсетокКоробоваиоптимальныхкоэффициентов, а также применению данного метода для интегралов,вычисляемых в диссертационной работе.4.3.1 Теоретико-числовые подходы к решению задач приближенногоанализаТеоретико-числовые подходы к решению задач приближенного анализарассматриваются в работе [110]. Наибольшее внимание уделяется вопросу оприближенном вычислении кратных интегралов.Впервые теоретико-числовые методы были применены к вычислениюинтегралов произвольной кратности в статье [111] для периодическихфункций f ( x1 ,..., xs ) , из классов H s при   2 .