Диссертация (Математические аспекты эволюции цилиндрических вихрей в вязком теплопроводном газе), страница 9

Значения оптимальных коэффициентов для нахожденияпятнадцатикратных интегралов при различных значениях N.Для вычисления интегралов, рассматриваемых в диссертационной работе,применялись оптимальные коэффициенты, соответствующие наибольшемузначению N (N= 2000003 ). Случай N= 1000003 рассматривался дополнительно,для обоснования сходимости сетки (раздел 6.1.2).4.4Радиальное распределение плотностиВ качестве первой иллюстрации применения разработанного вдиссертации метода к цилиндрическому вихрю, вычисляется радиальноераспределение плотности среды для фиксированного момента времени.Расчеты выполнены для областей установившихся колебаний внепервоначального цилиндра, для геометрически подобных случаев (L –коэффициент подобия).591.00.8w0.60.40.20.00.000.020.040.060.08r,mРис.6. Радиальное распределение w = -Log при фиксированном времениt=20 c, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см (L=1).Рис.6 соответствует исходному случаю вне цилиндра, считаем, чтокоэффициент подобия L=1.

Последующие рассмотренные случаи будутподобны исходному с коэффициентами L=2,3,4 (Рис.7-9), момент временификсирован и соответствует установившимся колебаниям.0.0-0.2w-0.4-0.6-0.8-1.00.000.050.100.150.20r,mРис.7. Радиальное распределение w = -Log при фиксированном времениt=80 c, r0= 0.376 см, z0= 5.818 см, z= 3.4 см (L=2).601.00.8w0.60.40.20.00.000.050.100.150.200.250.300.35r,mРис.8. Радиальное распределение w = -Log при фиксированном времениt=200 c, r0= 0.564см, z0= 8.727см, z= 5.1 см (L=3).0.0-0.2w-0.4-0.6-0.8-1.00.00.10.20.30.40.50.60.70.8r,mРис.9.

Радиальное распределение w = -Log при фиксированном времениt=400 c, r0= 0.752см, z0= 11.636см, z= 6.8 см (L=4).Для коэффициентов подобия 1(Рис.6) и 3 (Рис.8) наблюдается убывание w= -Log от единицы и последующее асимптотическое стремление к 0.61При коэффициентах подобия 2 (Рис.7) и 4 (Рис.

9) имеет место областьвозрастания функции и последующего асимптотического стремления к нулю.При L=2 значение w на оси цилиндра (r=0) минимально и равно -1. Крометого, при L=4 на оси цилиндра значение w равно -0.1, а минимальноезначение (-1) достигается при r≈4.5 см.62Выводы к Главе 4Задача, поставленная в Главе 3, решена при учете вязкости итеплопроводности среды. Т.е. сформулирован метод решения системыуравнений Навье-Стокса для цилиндрического вихря на плоскости вприближении малой начальной завихренности.При решении задачи использовано разложение неизвестных функций постепеням малого параметра (начальная завихренность), решение однородныхпараболических уравнений (для вычисления нелинейных членов системы), атакже преобразование Фурье неоднородной параболической подсистемы.Записаны выражения для завихренности и плотности среды.Описан метод Коробова вычисления кратных интегралов (сетки Коробоваи оптимальные коэффициенты) и обосновано его применение дляполученных в диссертации интегралов.Найдены осциллирующие решения системы уравнений Навье-Стокса.Аналитически показано, что собственные частоты акустических колебанийцилиндрического вихря не зависят от величины начальной завихренности, азависят только от начальных геометрических размеров цилиндра.

Крометого, разработанный в данной главе метод применен для описаниярадиального распределения плотности среды.635 Акустическое излучение одиночного цилиндраПолученные в Главе 4 результаты применены к описаниюосциллирующих решений системы уравнений Навье-Стокса дляцилиндрического вихря, опирающегося на плоскость. Показан видзависимости плотности и давления среды от времени и построенхарактерный акустический спектр излучения цилиндра в вязкомтеплопроводном газе для случаев различных коэффициентов подобия.Программный код для вычисления плотности и других параметров средынаписан на языке Wolfram Language и выполнен с помощью программыMathematica 5.0. Графики и спектры построены в программе Qtiplot 0.9.9.2.Показано, что возникают колебания плотности и давления.

Вычисленияпроведены для области внутри и вне первоначального вихревого цилиндра.Показано, наблюдаются высокочастотные колебания, модулированныенизкочастотным сигналом.5.1Акустическое излучение внутри первоначального цилиндраОписан характер акустического излучения, возникающего за счетдиффузии завихренности в вязком теплопроводном газе для различных точекнаблюдения.На Рис. 10,11 представлены колебания плотности для областей внутрицилиндра (на его оси и на расстоянии половины первоначального радиуса).641.00.50.0w-0.5-1.00.00.51.01.52.02.53.0t,sРис.10. Зависимость w = -Log от времени на оси цилиндра (r=0),r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.1.00.5w0.0-0.5-1.00.00.51.01.52.02.5t,sРис.11.

Зависимость w = -Log от времени при r= r0/2,r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.Акустические спектры, соответствующие Рис. 10,11 изображены наРис.12,13.65Рис. 12. Спектр колебаний w = -Log на оси цилиндра (r=0),r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.Рис. 13. Спектр колебаний w = -Log при r= r0/2,r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.Рис.10 относится к оси цилиндра. Как можно наблюдать, амплитудаосцилляций сначала возрастает, а затем спадает до нуля. После этогоосцилляции возникают заново. На Рис.12 наблюдаются две собственныечастоты (около 115 Гц и 280 Гц) с непрерывным спектром между ними.Рис.11 иллюстрирует осцилляции при r= r0/2.

Можно наблюдать двавременных интервала нарастания амплитуды колебаний, но максимумамплитуды достигается во второй области. Спектр осцилляций (Рис. 13)имеет две такие же собственных частоты (около 115 Гц и 280 Гц), как ислучай r=0, но непрерывный спектр между ними не наблюдается.665.2Акустическое излучение вне первоначального цилиндраРассматривается вид акустических колебаний для области внепервоначального вихревого цилиндра. Анализируются геометрическиподобные случаи, а также зависимость собственных частот от коэффициентаподобия.Характер колебаний вне цилиндра, для случаев, соответствующихразличным коэффициентам подобия, представлен на Рис. 14-18.1.00.5w0.0-0.5-1.00510t,s152025Рис. 14. Зависимость w = -Log от времени при r> r0, r = 1.709 см,r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.Исходный случай, считаем коэффициент подобия L=1.671.00.5w0.0-0.5-1.0020406080100t,sРис.

15. Зависимость w = -Log от времени при r> r0, r = 3.418 см,r0= 0.376 см, z0= 5.818 см, z= 3.4 см (L=2).1.00.5w0.0-0.5-1.0050100150200250t,sРис. 16. Зависимость w = -Log от времени при r> r0, r = 5.127см,r0= 0.564см, z0= 8.727см, z= 5.1 см (L=3).681.00.5w0.0-0.5-1.00100200300400t,sРис. 17. Зависимость w = -Log от времени при r> r0, r = 6.836см,r0= 0.752см, z0= 11.636см, z= 6.8 см (L=4).1.00.5w0.0-0.5-1.001000200030004000t,sРис. 18. Зависимость w = -Log от времени при r> r0,r = 18.12 см, r0= 2 см, z0= 30.84 см, z= 18.02 см (L=10.6).На Рис.

14 показаны осцилляции для точки вне цилиндра. Наблюдаетсяобласть первоначального роста осцилляций (0-3 с), затем происходит резкое69уменьшение амплитуды (3-12 с), далее наступает насыщение и медленноеугасание осцилляций.Рассматриваютсятакжегеометрическиподобныеслучаискоэффициентами подобия 2, 3, 4,10.6 (Рис.15−18).Процесс на Рис. 15 (коэффициент подобия 2) практически идентиченисходному (Рис. 14), но развивается медленнее.

Увеличение амплитудыпроисходит в интервале 0-15 с, в дальнейшем амплитуда уменьшается.Показано, что при увеличении коэффициента подобия тенденция кзамедлению процесса сохраняется. При коэффициенте подобия 3 (Рис. 16),можно наблюдать две области увеличения амплитуды колебаний, а именно:0-25 с и 80-160 с.На Рис. 19 представлен спектр, соответствующий колебаниям на Рис. 14.Показано, что имеют место две собственные частоты (17 Гц и 24 Гц).Рис. 19. Спектр колебаний w = - Log  вне первоначального цилиндра,при r> r0, r = 1.709 см, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см (L=1).При изменении коэффициентов подобия, в спектрах колебаний, попрежнему сохраняется две основные частоты (Рис.20-23).70Рис. 20. Спектр колебаний w = - Log  вне первоначального цилиндра,при r> r0, r = 1.709 см, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см (L=2).Рис.

21. Спектр колебаний w = - Log  вне первоначального цилиндра,при r> r0, r = 5.127см, r0= 0.564см, z0= 8.727см, z= 5.1 см (L=3).71Рис. 22. Спектр колебаний w = - Log  вне первоначального цилиндрапри r> r0, r = 6.836см, r0= 0.752см, z0= 11.636см, z= 6.8 см (L=4).Рис. 23. Спектр колебаний w = - Log  вне первоначального цилиндрапри r> r0, r = 18.12 см, r0= 2 см, z0= 30.84 см, z= 18.02 см (L=10.6).Зависимость частот колебаний от коэффициента подобия представлена наРис. 24.7225Low frequency (Hz)20151050024681012Scaling factorРис.