Диссертация (Математические аспекты эволюции цилиндрических вихрей в вязком теплопроводном газе)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВА___________________________________________________Физический факультетКафедра квантовой статистики и теории поляНа правах рукописиПетрова Татьяна АндреевнаМАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЭВОЛЮЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИХРЕЙВ ВЯЗКОМ ТЕПЛОПРОВОДНОМ ГАЗЕСпециальность 01.04.02 - теоретическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наукпрофессор Шугаев Ф.В.Москва20162ОглавлениеВведение ................................................................................................................... 51Вихревые структуры в газах и жидкостях ..................................................

131.1 История исследования вихревых структур и турбулентности ............ 131.2 Вихревые структуры в атмосфере .......................................................... 171.3 Вихревые структуры и турбулентность ................................................. 191.3.1Определение и свойства турбулентности ..................................... 191.3.2Вихревые структуры в турбулентности. Каскадный механизмпередачи энергии ...........................................................................................

221.4 Аэроакустика............................................................................................. 25Выводы к Главе 1 .............................................................................................. 292Основные подходы к решению уравнений Навье-Стокса ........................ 302.1 Прямое численное моделирование (DNS) .............................................

312.2 Решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса(RANS)................................................................................................................ 332.3 Моделирование крупных вихрей (LES) ................................................. 35Выводы к Главе 2 .............................................................................................. 403Цилиндрический вихрь в вязком теплопроводном газе............................

413.1 Постановка задачи .................................................................................... 413.2 Нестационарная система уравнений Навье-Стокса и еепреобразования .................................................................................................. 42Выводы к Главе 3 .............................................................................................. 454Решение нестационарной системы уравнений Навье-Стокса ................. 464.1 Решение однородных параболических уравнений, применениеразложений по малому параметру...................................................................

4634.2 Решение неоднородной параболической подсистемы, применениепреобразования Фурье ...................................................................................... 484.3 Сетки Коробова и их применение........................................................... 514.3.1Теоретико-числовые подходы к решению задач приближенногоанализа ........................................................................................................... 514.3.2Оптимальные коэффициенты ........................................................ 544.3.3Применение теоретико-числовых сеток для решенияинтегральных уравнений и построения интерполяционных формул ......

554.3.4Сетки Коробова применительно к задаче диссертации .............. 574.4 Радиальное распределение плотности.................................................... 58Выводы к Главе 4 .............................................................................................. 625Акустическое излучение одиночного цилиндра ........................................

635.1 Акустическое излучение внутри первоначального цилиндра ............. 635.2 Акустическое излучение вне первоначального цилиндра ................... 665.3 Высокочастотные колебания ................................................................... 73Выводы к Главе 5 .............................................................................................. 766Достоверность результатов .......................................................................... 776.1 Погрешность вычислений........................................................................ 776.1.1Оценка погрешности сверху .......................................................... 776.1.2Сравнение результатов вычислений для различных параметровсеток Коробова ..............................................................................................

796.2 Сравнение с экспериментальными данными ......................................... 816.2.1Атмосферные частоты .................................................................... 826.2.2Акустические колебания кольцевого вихря ................................. 836.2.3Акустическое излучение струй ...................................................... 844Выводы к Главе 6 .................................................................................................. 86Заключение ............................................................................................................

87Приложение ........................................................................................................... 89Литература ............................................................................................................. 905ВведениеОбщая характеристика работыАктуальность темыСамой распространенной формой движения жидкостей и газов являетсявихревое течение. Наличие вихревых образований (вихревых колец ивихревых цилиндров) можно считать характерной чертой любоготурбулентного потока.Вихревые структуры рассматриваются в работах большинства классиковаэро- и гидромеханики [1-5].

Судя по значительному количеству публикаций[6-9], внимание к исследованию вихревых структур в жидкостях и газах неослабевает и в настоящее время.Несмотря на успехи в решении некоторых частных проблем (исследованияотрывных течений, устойчивости и бифуркаций отдельных случаевглобальных течений, динамики вихревых структур), многиефундаментальные проблемы описания вихревых структур еще далеки отполного решения.Актуальной проблемой является эволюция нестационарных структур.Начало теоретическому изучению шума газового потока положил Рэлейсвоей классической монографией [10]. В этой книге были заложены основымногих современных направлений акустики и прежде всего акустикипотоков. С тех пор наука, лежащая на стыке классической акустики иаэродинамики, получила единое название − аэроакустика и быласущественно развита трудами как отечественных, так и зарубежных ученых[11-13].Тем не менее, в настоящий момент акустическое излучениерассматривается, в основном, для невязкой жидкости и при взаимодействиивихрей и вихрь-акустическом взаимодействии.6Так, частота акустического излучения вихревого кольца в невязкойнесжимаемой и слабо сжимаемой жидкости определена в работах [14-15],частота акустического излучения одиночного цилиндрического вихря внесжимаемой невязкой жидкости в [9, 16].Но, безусловно, возникновение вихревого течения тесно связано связкостью жидкой или газообразной среды.

Наличие вязкости отвечает завозникновение касательных напряжений, а касательные напряженияпорождают завихренность. Таким образом вихревые структуры можнорассматривать как существенно нелинейные объекты и описывать их наоснове учета диссипации в потоке за счет вязкости и теплопроводности.В диссертационной работе определяются осциллирующие решенияуравнений Навье-Стокса в приближении малой начальной завихренности ина их основе описывается генерация звука одиночным вихрем, возникающаяблагодаря диффузии завихренности на плоскости в вязком теплопроводномгазе. Используется разложение неизвестных функций в ряд по степеняммалого параметра.Разработанный в диссертационной работе метод с математической точкизрения сводится к вычислению кратных интегралов и дает возможностьучесть вязкость и сжимаемость среды.

Он может быть полезен длямоделирования торнадо, а также для аэроакустики и описания характеристиктурбулентных течений.Научная новизнаНаучная новизна диссертационной работы заключается в следующем:1. Построена новая процедура решения системы уравнений Навье-Стоксадля сжимаемого вязкого теплопроводного газа, позволяющая определитьосциллирующие решения и решить задачу об акустических колебаниях7кругового цилиндра, опирающегося на плоскость, в приближении малойначальной завихренности.2.

Благодаря применению разработанной процедуры впервые определенакустический спектр излучения цилиндрического вихря на плоскости ввязком теплопроводном газе. Показано, что акустические колебаниявозникают за счет диффузии завихренности.3. Впервые описана эволюция плотности во времени и акустическийспектр вихревого цилиндра для различных точек наблюдения, а также длягеометрически подобных случаев.4. Впервые показано, что акустический спектр вихревого цилиндра всжимаемом вязком теплопроводном газе имеет две высокие и две низкиечастоты. Значения этих частот не зависят от величины начальнойзавихренности, а зависят лишь от от начальных геометрических параметровзадачи . Кроме того, собственные частоты экспоненциально убывают сувеличением коэффициента подобия.Объект исследованияВ диссертационной работе рассматривается решение системы уравненийНавье-Стокса.

Основным объектом исследования является одиночныйцилиндрический вихрь на плоскости в вязком теплопроводном газе,завихренность которого в начальный момент времени мала. Описываетсяэволюция такого вихря, сопровождающаяся акустическим излучением.Метод исследованияМетодом исследования в диссертационной работе является решениеполной нестационарной системы уравнений Навье-Стокса путем разложениянеизвестных функций по степеням малого параметра (начальнаязавихренность) с последующим применением преобразования Фурье ивычислением кратных интегралов с использованием сеток Коробова.Цели и задачи работы8Основными целями данной диссертационной работы являются:Разработка метода решения уравнений Навье-Стокса, позволяющего найтиосциллирующие решения и описать акустическое излучение одиночныхвихревых структур в приближении малой начальной завихренности.Применение разработанного метода для случая цилиндрического вихря,исследование акустического спектра колебаний вихревого цилиндра наплоскости при учете сжимаемости, вязкости и теплопроводности среды, атакже описание эволюции плотности среды для различных параметровзадачи.Сравнение теоретических результатов для цилиндрического вихря всжимаемом вязком теплопроводном газе с приведенными в литературеэкспериментальными данными для вихревых колец, атмосферных колебанийи акустического излучения струй.Достоверность научных положенийВсе результаты данной работы получены на основе уравнений НавьеСтокса в приближении малой начальной завихренности.