Диссертация (Исследование волноведущих систем методами математической физики), страница 7

Поэтому еще разприбавим к (2.45) равенство (2.57). Для этого умножим (2.57) на выражениеEˆ1 Eˆ 2 i Eˆ3 ,xyпроинтегрируем результат по области S и сложим с уравнением (2.45).Врезультате получим следующее уравнение: E1 Eˆ1 E1 Eˆ1 E2 Eˆ 2E2 Eˆ 2 E3 Eˆ3 E3 Eˆ3 22S  x x y y x x y y  x x  y y  ds 45 E1 Eˆ 2 E2 Eˆ1  E1 ˆ  E2 ˆ Eˆ1Eˆ 2   E3 E3  E3 E3 ds  i    ds x yy x xyxy S S ˆ ds  0. 2  E1Eˆ1  E2 Eˆ 2  2E3 Eˆ3 ds k 2 a11a22  E, ES(2.61)SУравнение (2.61) справедливо для волновода с диэлектрическимзаполнением.

В случае волновода с кусочно-постоянным би-изотропнымзаполнением оно принимает следующий вид: E1 Eˆ1 E1 Eˆ1 E2 Eˆ 2E2 Eˆ 2 E3 Eˆ3 E3 Eˆ3 22S  x x y y x x y y  x x  y y  ds  E Eˆ  E Eˆ   EEEˆ Eˆ     1 2  2 1  ds  i    1 Eˆ3  2 Eˆ3  E3 1  E3 2  ds x yy x xyxy S S  EEEEik  a21  a12    3 Eˆ1  1 Eˆ3  3 Eˆ 2  2 Eˆ3 ds   k  a21  a12   E2 Eˆ1  E1Eˆ 2 ds yyxxS Sˆ ds  0. 2  E1Eˆ1  E2 Eˆ 2  2E3 Eˆ3 ds k 2 (a11a22  a12 a21 )  E, ES(2.62)SДо сих пор мы предполагали, что все рассматриваемые функцииявляются достаточно гладкими. Но все интегралы в уравнении (2.62) будутиметь смысл, если понизить степень гладкости решения задачи E ивспомогательной функции Ê и рассматривать E j  x, y  , Eˆ j  x, y  W21  S  ,j  1, 2, 3 . При этом уравнение (2.61)можно принять за обобщеннуюпостановку спектральной задачи в прямоугольном волноводе с однороднымдиэлектрическимзаполнением,ауравнение(2.62)заобобщеннуюпостановку спектральной задачи в прямоугольном волноводе с кусочнопостоянным би-изотропным заполнением.

Постановку (2.62) назовем второйобобщенной постановкой для волновода прямоугольного сечения.462.5 Вторая обобщенная постановка задачи для волновода произвольногосечения с би-изотропным кусочно-постоянным заполнениемВ общем случае волновода с кусочно-постоянным би-изотропнымзаполнением и поперечным сечением Sдля получения обобщеннойпостановки задачи (2.14)-(2.16), снижающей при численной реализациичисло появлений фиктивных мод, поступим аналогичным образом.Учтем уравнение (2.15), для чего умножим его на выражение:1ˆ  i Eˆ ,div E3pa22(2.63)проинтегрируем по подобласти S p и просуммируем результаты по всемвозможным p.В результате получим уравнение a div1Sˆ   i div E  Eˆ   i E  div Eˆ    2 E Eˆ  ds  0 .E  div E333 3(2.64)22Аналогично тому, как это было показано для волновода прямоугольногопоперечного сечения соднородным диэлектрическим заполнением,обобщенная постановка спектральной задачи, получаемая в результатесуммирования уравнений (2.29) и (2.64) в случае однородного заполнениясоответствует независимым краевым задачам для компонент поля E, несвязанным между собой уравнением (2.57).В результате при численном решении задачи методом лагранжевыхконечных элементов присутствуют фиктивные решения, хоть их число именьше, чем при классическом подходе, когда в качестве обобщеннойпостановки задачи рассматривается уравнение (2.29).

Прибавление куравнению (2.29) удвоенного уравнения (2.64)реализации радикальнопозволяет при численнойуменьшить число фиктивных нефизическихрешений.47Итак, сложим уравнение (2.29) и удвоенное уравнение (2.64).В результате, понижая степень гладкости функций Ex, y  и Eˆ  x, y  ,придем к следующей обобщенной постановке задачи:найти постоянные распространения и соответствующие им вектор-функции Ex, y  , компоненты которых принадлежат пространству СоболеваW21 S  , их сужения на границу S удовлетворяют условию:n, E S 0,(2.65)а в области S удовлетворяют уравнению (2.66): a  rot1Si S1a22ˆ  2 div E  div Eˆ  ds E, rot  E22  E , Eˆ    E,  Eˆ   2 div 2S1a223ˆ  ds E  Eˆ 3  2 E3  div  E E, Eˆ   E Eˆ  ds  ik   aa  E, rot Eˆ   aa  rot3321S k S221222ˆ  ds E, E(2.66)a21  a12a a a ae z , E , Eˆ ds  k 2  11 22 12 21 E, Eˆ ds  0a22a22Sдля любой вектор-функцииˆ  x, y  , компонентыEкоторой принадлежатпространству W21  S  , а ее сужение на границу области S удовлетворяетусловию (2.65).2.6 Исследование обобщенной постановки задачи для би-изотропногокусочно-постоянного заполненияИсследуем вторую обобщенную постановку задачи (2.65)-(2.66).

Введемгильбертово пространство H S  , состоящее из вектор-функций Fx, y  ,48пространству Соболева W21 S  , а ихкомпоненты которых принадлежатсужения на границу S области S удовлетворяют условиюn, F S 0.(2.67)Скалярное произведение в пространствеH S определим следующимобразом: F, G H  S      FjGj   Fj , G  ds,3jj 1 S(2.68)где звездочка означает комплексное сопряжение.Рассмотрим следующие полуторалинейные формы: E, Eˆ   E E  ds ,ˆ  1a E, ES a22ˆ ib1 E, ES31a223(2.69)  E , Eˆ   E,  Eˆ   2div33ˆ  ds , (2.70)E  Eˆ3  2 E3  div Eˆ  k a21  a12 e , E , Eˆ ds ,b2 E, EzS a22(2.71)aaˆ  ik c1 E, ES  a2221 E, rot  Eˆ  a1222 rot  E, Eˆ  ds ,ˆ c2 E, Ek 2  a11a22  a12 a21   1a22Sˆ  1d E, ES a22 rot E, Eˆ  ds ,(2.72)(2.73)ˆ  2div E  div Eˆ  ds.E, rot  E(2.74)Формы (2.69)-(2.74) ограничены в пространстве H S   H S  .

В самомделе, для любых E, Eˆ  H  S  справедливы неравенства:49ˆ a E, E2min  ap22b2  E, EE kˆ  8kc1 E, EˆEH S min  ap22EH S ˆEmax max a21p , max a21pmin  ap22ˆ b1 E, E,max a21p  a12pˆ  k2c2 E, Eˆ d E, EH S max a11p a22p  a12p a21pmin  a22p 6min  a22p  EH S ˆEH S 6H S EEEmin  a22p H S ˆE,H S ,(2.75)H S ˆEH S ˆEH S H S ,,.Билинейная форма d  E, Eˆ  является, кроме того, самосопряженной иположительно определенной. Следовательно, выражение a  E, Eˆ  ds  d  E, Eˆ 1S(2.76)22можно принять за квадрат эквивалентной нормы в пространстве H S  .Введем в пространстве H S  эквивалентное скалярное произведениеF, G H  S   S1 F, G  ds  d  F, G a22(2.77)F, FH S  .(2.78)и эквивалентную нормуFH S При каждой фиксированной вектор-функции Eˆ  H  S  полуторалинейныеформы (2.69)-(2.74)пространствеH S  ,задают линейные ограниченные функционалы вкоторыемогутбытьединственнымобразомпредставлены в виде скалярных произведений [88]:50ˆ   Aˆ E, Eˆˆˆˆ ˆ ˆˆa E, E H  S  , b1 E, E   B1E, E H  S  , b2 E, E   B2E, E H  S  ,ˆ  Cˆ E, Eˆˆˆˆc1 E, E 1 H  S  , c2 E, E  C2E, E  H  S  ,(2.79)(2.80)где Aˆ , Bˆ  Bˆ1  Bˆ2 , Cˆ  Cˆ1  Cˆ 2 , – линейные ограниченные операторы, причемоператор  самосопряженный и положительно определенный.В работах [89], [90] было показано, что в случае, когда область Sдопускает продолжение элементов гильбертова пространства векторфункцийF,компонентыкоторыхпринадлежатСоболевскому~пространству W21 S  , на более широкую область S  S , так что справедливынеравенстваFj ~L2 S ~ q S, S  FjF j,L S 2 ~L2 S ~ q S , S  F jW21  S ,j  1, 2, 3 (2.81)с постоянными qS , S  и q S , S  , не зависящими от функции F и зависящими~~~~только от областей S и S , оператор C , определяемый равенствомCF , G  c  F , G     F , G ds, F , G  H  S H S (2.82)Sявляется вполне непрерывным в пространстве H S  .

Класс областей,допускающих продолжение, достаточно широк. Это так называемые «строголипшицевы» области, к числу которых принадлежат, например, области сгладкой границей.Лемма. Операторы Â , B̂ и Ĉ вполне непрерывны.Доказательство.Воспользуемся результатами работы [91]. Оператор K̂ , действующий вгильбертовом пространстве H S  , является вполне непрерывным тогда и51только тогда, когда соответствующая ему полуторалинейная формаk  F, G    Kˆ F, G H S является вполне непрерывной.