Диссертация (Исследование волноведущих систем методами математической физики), страница 8

Полуторалинейная форманазывается вполне непрерывной, если для любой пары последовательностейF , G   H S ,jjслабо сходящихся к элементам F, G  H S  соответственно,справедливо равенство:lim k F j , G j   k F, G  .(2.83)j Оператор K̂ , действующий в гильбертовом пространстве H S  , являетсявполне непрерывным тогда и только тогда, когда для соответствующейему полуторалинейной формы k  F, G    Kˆ F, G H S при любом   0, 1справедливо неравенствоk F, F    F2H S  k F, F  ,F  H S  ,(2.84)где k F, G  – вполне непрерывная полуторалинейная форма.Для полуторалинейных форм (2.69)-(2.74)справедливы оценки типа(2.84). В самом деле, для любого   0, 1 имеют место неравенства:aF, F  2 c~F, F  ,min a 22b1 F, F  b2  F, F  22FF2H S 2H S 36 min a 22 2c~F, F  ,2k 2  max a21  a12  min a2222c  F, F  ,(2.85)k 2 max a12 , a 21  ~c1 F, F    F H  S  c F, F  ,22 min a 22 2252c2 F, F  k 2 max a11a 22 a12 a 21  1 ~c F, F  .min a 22Так как полуторалинейная форма c~F, G  является вполне непрерывной, изполученных неравенств следует, что операторы Â , B̂ иĈвполненепрерывны.

Лемма доказана.Итак, обобщенную постановку рассматриваемой спектральной задачи вволноводе можно сформулировать в следующей операторной форме:найти характеристические числа  и соответствующие им собственныефункции E  H S  операторного пучка L  y   Iˆ  Cˆ   Bˆ   2 Aˆ :L E  0 ,где вполне непрерывные операторы Â , B̂ и Ĉ(2.86)определены равенствами(2.79)-(2.80), причем оператор Â является самосопряженным и положительноопределенным.Теорема 1. Спектр задачи (2.86) состоит только из собственных чисел  n ,причем действительных среди них может быть лишь конечное число.Доказательство: Так как операторы Â , B̂ иĈявляются вполненепрерывными в гильбертовом пространстве H(S), то спектр пучка L может состоять только из собственных чисел  n , причем они не могут иметьконечных точек сгущения [86].Для произвольного элемента F  H S  , такого что FH S  1 , рассмотримвыражение:   Bˆ F, F   2  Aˆ F, F  L   F, F  H S  1  Cˆ F, F .

(2.87) H S H S H S 53Пустьпараметрсамосопряженнымявляетсяивещественным,положительнооператоропределенным.ÂявляетсяИмеетместонеравенство: f   . L    F, F  H S  1  Cˆ    Bˆ   2  Aˆ F, F  H S (2.88)При вещественном неотрицательном аргументе график функцииf x представляет собой часть параболы, концы которой направлены вверх.Следовательно, для любого числа M  0 можно указать такое конечное числоx0 F   0 , что для любого x  x0 F  справедливо неравенство f x   M . Такимобразом, если параметр  стремится к бесконечности на вещественной оси,то L F, FH S   0 для любого F на единичной сфере в пространстве H S  .Это означает, что собственные числа операторного пучка L  не могут иметьточку сгущения при    . Следовательно, спектр задачи (2.86) может иметьлишь конечное число вещественных собственных чисел.

Теорема доказана.Теорема 2. Если параметры a11, a22 заполнения волновода вещественны, ивыполнено равенство a12  a21 , то операторный пучок L  может иметьвещественные собственные числа.Доказательство. Запишем уравнение L F  0 в эквивалентном виде:ˆˆ  F    Iˆ  ˆ Aˆ   F    Iˆ  CˆIˆ   F   , Bˆ   F (2.89)или же  Qˆ Ψ Pˆ Ψ,(2.90)54ˆ Iˆ Tгде Ψ F G  , причем векторы F и G пропорциональны, Qˆ   –Aˆ ˆˆ ˆсамосопряженный положительно определенный оператор, P   Iˆ  CˆIˆ . Bˆ Следовательно, задача может иметь вещественные собственные числа  ,только если выражение Ψ , PˆΨ  G , F    F, G     CˆF, G TH SH SH S   Bˆ G , G H S может принимать вещественные значения. Рассмотрим это выражениеподробнее при условии, что G  F , причем  – вещественное число: Ψ , Pˆ Ψ      CˆF, F TH S    Bˆ F, F H S .(2.91)Имеем (звездочка обозначает комплексное сопряжение):k 2  a11a22  a12 a21   1 2 a21a12ˆˆˆˆ CF, F    BF, F  ik  F, rot  F rot  F, F  ds  F ds H S H S aa22a22S  22Si S1a22  F , F    F,  F   2div33F  F3  2 F3  div F ds   k Sa21  a12e z , F , F  ds,a22(2.92)Учтем, что e z , F , F   FxFy  Fx Fy  i2 Im  Fx Fy  .Таким образом, выражение (2.92) является вещественным, если параметрыa11 и a22 вещественны, а параметры a12 и a21 комплексно сопряжены другдругу.

Теорема доказана.Выводы к главе IIОдной из проблем, возникающих при использовании МКЭ для расчетаволноведущих систем, является появление не имеющих физического смысла55решений – «духов». Большое значение имеет разработка математическихпостановок задач, при которых не имеющие физического смысла решения невозникают, или же их число при численной реализации данных постановоксущественно снижается.Разработаниисследованвариантобобщеннойпостановкиспектральной задачи в волноводе с идеально проводящими стенками и биизотропным заполнением.

При этом при применении лагранжевых конечныхэлементовв рамках данной постановки число появленийнефизических(фиктивных) мод оказывается существенно меньше, чем при стандартнойпостановке.Показано,эквивалентначтозадачепредложеннаяопоискеобобщеннаясобственныхпостановкачиселзадачиквадратичногооператорного пучка. В силу компактности операторов спектр пучка состоиттолькоизсобственныхсобственныхчиселрассматриваемыйчисел. Показаноможетбытьоператорныйлишьпучоктакже,чтоконечноеможетиметьвещественныхчисло,ичтовещественныесобственные числа при условии, что параметры a11 , a22 заполнениявещественны, а параметры a12 и a21 комплексно сопряжены друг другу.Предложенный алгоритм реализован в главе IV и использован в главеV в качестве блока решения прямой задачи в алгоритме численного решенияспектральной задачи синтеза волновода со слоистым би-изотропнымзаполнением.56Глава III.Использование процедуры метода Банча-Кауфман дляфакторизации матриц жесткости метода конечных элементовВ данной главе построен и реализован эффективный алгоритмфакторизации матриц жесткости, возникающих при численном решениивекторнойзадачидифракциинанеоднородностивволноводесиспользованием метода конечных элементов.

Особенностью данногоалгоритма является то, что он разработан на основеКауфман,чтопозволяетэффективнопроцедуры Банча-осуществлятьфакторизациюнезнакоопределенных матриц..Результаты данной главы приведены в статье:Ю.В.Мухартова,элементовсН.А.Боголюбов. Расчет волноводов методом конечныхиспользованиемпроцедурыБанча-Кауфман//ВестникМосковского университета. Серия 3. Физика, Астрономия.- 2014.- №3.- С. 37.Yu.

V. Mukhartova, N.A.Bogolyubov. Calculation of Waveguides by the FiniteElement Method Using the Banch-Kaufman Procedure // Moscow UniversityPhysics Bulletin.- 2014.- V. 69.- num. 3.- P. 205-209.3.1 Постановка задачиВ пункте 2.1 главы 2 отмечалось, чтопри использованиирядапостановок спектральных задач теории волноведущих систем получаемаяалгебраическая спектральная задача является линейной, симметричной,обобщенной и незнакоопределенной.

Данный набор свойств является весьмахарактерным и требует разработки специальных методов, в частности, дляфакторизации получаемых при применении метода конечных элементовматриц.Рассмотрим регулярный волновод прямоугольного поперечного сеченияS с идеально проводящими стенками.57Введем декартову систему координат, направив ось z по оси волновода, аоси x и y параллельно границам сечения. Решая систему уравненийМаксвелла для гармонических электромагнитных полей, т.е. разыскиваярешение в виде:E( x, y, z, t )  E0 ( x, y, z)eit ; H( x, y, z, t )  H0 ( x, y, z)eit ,(3.1)получим следующим систему:rotE0  ik  H0 ,rotH0  ik E0 ,E0  n гдеE0 ( x, y, z ) и H0 ( x, y, z ) x, y   S ,z  R1,(3.2)S  0,обозначают комплексные амплитуды векторовэлектрического поля, n - вектор внешней нормали к граничной поверхности,k-волновое число,  ,  ,  диэлектрическая и магнитнаявеществаволновода.

Будем считать,проницаемостичто  является кусочно-постояннойфункцией координат, а  - постоянная величина.Выражая в (3.2) вектор электрического поля E0 через вектор магнитногополя H 0 , запишем уравнение для магнитной составляющей поляrot ( 1rotH0 )  k 2  H02  0,E0  n S 0.(3.3а)(3.3б)Будем искать модовые решения в виде H0 ( x, y, z)  H ( x, y)ei z , где  постоянная распространения, а H  x, y   H x , H y , H z .Тогда, записывая уравнения (3.3а) покомпонентно, приходим к системеуравнений относительно компонент вектора H  x, y  :58 2    1 H y     1 H x    2 1H x  i 1 H z  0,k  H x y xyx y     1  2H x     1 H y    2 1H y  i 1 H z  0, k  H y x yxy x k 2  H     1  H      1  H   i   1H  i   1H  0.zxyx x z  y y z xyПроизведем в уравнениях этой системы замену переменных следующеговида: H x  i H x ; H y  i H y ; H z  H z .Тогда, умножая первые два уравненияна i , а третье – на  2 , получим следующую систему уравнений:    1 k 2  H x H x     1 H y    2   1H x   1 H z  ,y xxx  y     1  2H x     1 H y    2   1H y   1 H z  , (3.4a) k  H y x yxy x 0   2   1H    1H     1  H      1  H   k 2  H .xyzxyx x z  y y z Граничное условие для вектора E0 (3.3б) перейдет в два граничных условиядля вектора H :  1  rotH  n  zn H   Hxx z xSS0 ny  y H z  H y(3.4б)SОтметим, что граничные условия (3.4б) являются для данной постановкизадачи естественными [51].59Если ввести вектор-столбец H  H x , H y , H zT, и операторные матрицыA и B:   1  2 -   k yy  1  A   x y 0B = -10 1x  1  y x -  1   2-k x x 00 0  ,0x 1y10- 1 1y-  1     1   2k x x  y y (3.5a),(3.5б)то систему уравнений (3.4а) можно записать в следующем матричном видеAH   2 BH(3.6)Поскольку матрица B не равна единичной матрице, то исходная задачасводится к обобщенной проблеме собственных значений (3.6).Для еерешения мы будем использовать метод конечных элементов.603.2 Построение матрицы жесткостиОдной из трудоемких проблем приприменении метода конечныхэлементов является построение матрицы жесткостиA .

Мы проведем этопостроение в два этапа. Сначала мы сформируем некоторые элементныематрицы двух типов, которые вставим в опорные матрицы, из которых затембудем собирать матрицу жесткости.Проведем триангуляцию области поперечного сечения D. Введем вобласти D равномерную прямоугольную сетку с шагом hx вдоль оси x ишагомвдольhyосиy.прямоугольников размеромКаждыйизполученныхтакимобразомhx  hy разделим на два треугольных элемента-типа TI и TII (рис 3.1) 0, h t zzryh , h xym1 тип2 тип hx , 0 nsiРис.