Диссертация (Исследование волноведущих систем методами математической физики), страница 6

2.1.).31.Рис.2.1. Вариант структуры области S.Рассмотрим спектральную задачу для невырожденного заполнения,когда для всех p=1,…,P выполняется неравенство a11p a22p  a12p a21p  0 . Временнуюзависимость выберем в виде eit . В каждой из подобластей S p краевая задачадля системы уравнений Максвелла может быть записана в следующем виде:rot H p  ik  a11p E p  a12p H p  ,(2.3)rot E p  ik  a21p E p  a22p H p  ,(2.4)div  a11p E p  a12p H p   0,(2.5)div  a21p E p  a22p H p   0,(2.6) x, y   S p ,z  R1 ,Условия сопряжения имеют вид (2.7) – (2.8)n p , E p  n p , Eq ,S pqS pqn p , H p  n p , H q ,S pqS pq(2.7)(2.8)а условие идеально проводящей граничной поверхности – вид:n, E  0.S(2.9)Здесь k   c , n – внешняя по отношению к области S нормаль к границе S .n p – внешняя по отношению к подобласти S p нормаль к границе S pq .32Подействуем на уравнение (2.4) оператором взятия ротора.

Тогда,ikучитывая следующее из уравнения (2.4) выражение a22p H p   rot E p  a21p E p ,получим уравнение относительно вектора электрического поля:rot rot E p  ik  a21p  a12p  rot E p  k 2  a11p a22p  a12p a21p  E p , x, y   S p ,z  R1(2.10) .В каждой подобласти S p поперечного сечения рассматриваемоговолновода имеем ai, j  const, i, j  1,2 и уравнения (2.5)-(2.6) при  x, y   S pпримут вид:a p div E p  a p div H p  0,12 11 ppppa21 div E  a22 div H  0.Система(2.11)-(2.12)представляеталгебраических уравнений (СЛАУ)(2.11)(2.12)собойсистемулинейныхотносительно неизвестных div E p иdiv H p . Так как СЛАУ (2.11)-(2.12) является однородной системой сотличным от нуля определителем( a11p a22p  a12p a21p  0 ), то она имеет толькотривиальное решение:div E p  0 ,div H p  0 ,x, y   S p ,z  R1при p  1,..., P .Рассмотрим решение задачи (2.3)-(2.6) в виде бегущей волны спостоянной распространения  :Ex, y, z   Ex, y e iz ,Hx, y, z   Hx, y e iz .33Введем операторы:    ,, 0 , x y rot  E p    , E p ,Тогдаdiv E p    , E p  .rot E p  rot  E p  i e z , E p Рассматриваемуюспектральнуюзадачуможносформулироватьследующим образом:найти постоянные распространения и соответствующие им вектор-функции Ex, y  :E  x, y   E p  x, y  , x, y   S p ,(2.13)в каждой из подобластей S p удовлетворяющие уравнениям:rot  rot  E p  i  E3p  i e z div E p   2Ep  ik  a21p  a12p  rot  E p ppp  k a21 a12p e z , E p  k 2 a11p a22 a12p a21Ep ,div E p  i E3p  0,(2.14)(2.15)условиям сопряженияnp,EpS pq n p , Eq(2.16)S pqна общих частях S pq границ подобластей S p и S q , и граничному условиюn, E S0(2.17)на внешней границе S области S .

В уравнении (2.14) использованыобозначения:E p  x, y   E1p  x, y  , E2p  x, y  , E3p  x, y  ,E p x, y   E1p x, y , E2p x, y , 0 .342.3Перваяобобщеннаяпроизвольногосеченияпостановкасзадачиби-изотропнымдляволноводакусочно-постояннымзаполнениемПолучим обобщенную постановку краевой задачи (2.14)-(2.17). Пустьˆ  x, y  = Eˆ  x, y  , Eˆ  x, y  , Eˆ  x, y E123– произвольная достаточно гладкая вектор-функция, удовлетворяющая граничным условиям идеально проводящейстенки:ˆ   0.n, E S(2.18)Умножим уравнение (2.14) скалярно на функцию Eˆ  x, y  и воспользуемсяравенством (2.19), где  E, F   Ex  Fx  E y  Fy  Ez  Fz - скалярное произведение,звездочка означает комплексное сопряжение:div  A, B  rot  A, B  rot  B, A ,(2.19)где A  Ax, y , B  Bx, y  – любые достаточно гладкие вектор-функции.

В силуравенства (2.19) имеем: rot rot ˆ  rot E p , rot Eˆ  div rot E p , Eˆ ,Ep, E (2.20) rot ˆ  rot Eˆ p  div E p , Eˆ.Ep, E ,E Проинтегрируем полученное уравнение по подобластиSp ,пользуясьформулой Остроградского-Гаусса:35  rotSp i Epˆ ds E p , rot  E,   Eˆ 3 ds  iS p npS pSp np,  rot  E p , Eˆ  dl iE3p , Eˆ  ds SpSSpˆ ds , E p   Eˆ 3dl   2  E p , E ika21p  E p , rot  Eˆ ds  ika21p nS pp, E p , Eˆ  dl (2.21)ˆ ds   k  a p  a p  e , E p  , Eˆ ds  k 2  a p a p  a p a p  E p , Eˆ ds. ika12p  rot  E p , E2112   z11 2212 21 SpSpSpПреобразуем уравнение (2.21), используя условия сопряжения:np,HpS pq n p , HqS pq.(2.22)Выражая вектор H p x, y  из уравнения Максвеллаpprot  E p  i e z , E p  ik a21E p  a22Hp ,(2.23)получаем:pa 211 1 1ppH rot  E ez , E  p E p .ppik a 22k a 22a 22p(2.24)Следовательно, на общей части границы S pq подобластей S p и S p имеетместо равенство:1n p , rot  E p p a22Spq1 i p n p , e z , E p  a22S1n p , rot  Eq q a22S ipqpqa21p i k p n p , E p a22S1n p , e z , E q  q a22Sikpqq21q22(2.25)pqan p , Eq ,aSpqили, с учетом ортогональности векторов e z и n p ,361n p , rot  E p a22p S ipq1n p , E p  eza22p1 q n p , rot  Eq a22SpqikS pqa21pn p , E p a22p S1 i q  n p , Eq  e za22S pqpqaqn p , Eq  i k 21.q a22S(2.26)pqРассмотрим криволинейный интеграл, возникающий в уравнении (2.21): nS ppˆ  dl i,  rot  E p , ES p np, E p   Eˆ 3dl  ika21pS p nS ppˆ  dl , E p , E(2.27)ˆ dln , rot  E   i  n , E  e z  ika n , E  , Eppppp21ppРазделим правую и левую части уравнения (2.21) наpa 22ипросуммируем уравнения по всем возможным p.

В силу граничного условиядля функции Ê на внешней границе S поперечного сечения интеграл (2.27)обратится в ноль. На внутренних границах S pq в силу соотношения (2.26)имеют место равенства:1a22p  nS pqpˆ dl , rot  E p   i  n p , E p  e z  ika21p n p , E p  , E1qa22  n , rotqS pq(2.28)qˆ dl ,n q , Eq  , EEq   i  n q , Eq  e z  ika21так как n p  n q на S pq . Следовательно, в результате суммирования попараметру p все криволинейные интегралы по контурам S pq сокращаются, аинтегралы по подобластям S p в сумме дают интеграл по всему поперечномусечению S волновода.В результате получается первая обобщенная постановка спектральнойзадачи, в основу которой положено уравнение (2.29):37 a  rot1S22ˆ ds  iE, rot  ES 2S1ˆ ds  i 1 E,  Eˆ ds   E3 , E 3S a22a221ˆ ds  ik  a21 E, rot Eˆ  a12 rot E, Eˆ  ds E , Ea22aa22S  22a aˆ ds  k 2 a11a22  a12 a21 E, Eˆ ds  0.  k  21 12 e z , E , Eaa2222SS(2.29).2.4Втораяпрямоугольногообобщеннаяпостановкасечениякусочно-постояннымсзадачидляволноводаби-изотропнымзаполнениемРассмотримрегулярный волновод с осью Oz и прямоугольнымпоперечным сечением S   x, y  : x  0, lx  , y  0, l y  .

Пусть волновод имеетидеально проводящую боковую поверхность и однородное би-изотропноезаполнение.Краевая задача для компонент вектора Ex, y  имеет вид: EE 2 E2  2 E1 2  i 3   2 E1  ik  a21  a12   3  i E2   k 2  a11a22  a12 a21  E1 ,xy yx y(2.30)E 2 E1  2 E2 E 2  i 3   2 E2  ik  a21  a12   3  i E1   k 2  a11a22  a12 a21  E2 ,xy xx x(2.31) E E  E E  2 E3  2 E3 2  i  2  1   ik  a21  a12   2  1   k 2  a11a22  a12 a21  E3 ,2xyx y  y xE1 E2 i E3  0,xyE1 y 0  E1 y l  0,y(2.32)(2.33)E2x 0 E2 x l  0,x(2.34)38E3 x 0  E3 x l  E3xy 0 E3 y l  0,y(2.35)где Ex, y   E1 x, y , E2 x, y , E3 x, y .Для получениярассмотримобобщенной постановки краевой задачи (2.30)-(2.35),произвольнуюдостаточноˆ  x, y   Eˆ  x, y  , Eˆ  x, y  , Eˆ  x, y  ,E123гладкуювектор-функциюудовлетворяющая граничным условиямидеально проводящей стенки:Eˆ1y 0 Eˆ 2y  hyУмножим0,Eˆ 2x 0уравнение Eˆ 2x  hx0,Eˆ3y 0 Eˆ3y  hy Eˆ3x 0 Eˆx  hx 0.(2.36)(2.30) на функцию Eˆ1  x, y  , уравнение (2.31) – наEˆ 2  x, y  , уравнение (2.32) – на Eˆ3  x, y  и проинтегрируем результаты попоперечному сечению S волновода.

После преобразований с учетомграничных условий получим следующее уравнение (звездочка обозначаеткомплексное сопряжение): E1 Eˆ1 E2 Eˆ 2 E3 Eˆ3 E3 Eˆ3  E2 Eˆ1 E1 Eˆ 2 dsS  y y x x x x y y  S  x y  y x  ds  EEEEi   3 Eˆ1  1 Eˆ3  3 Eˆ 2  2 Eˆ3  ds   2  E1Eˆ1  E2 Eˆ 2 ds xxyyS S EEEEik  a21  a12    3 Eˆ1  1 Eˆ3  3 Eˆ 2  2 Eˆ3 ds yyxxS ˆ ds.  k  a21  a12   E2 Eˆ1  E1Eˆ 2 ds  k 2  a11a22  a12 a21   E, ES(2.37)S39Уравнение (2.37)обычно рассматривают в качестве обобщеннойпостановки спектральной задачи в волноводе прямоугольного сечения. Оносоответствуетврассматриваемомслучаепрямоугольноговолноводауравнению (2.29), полученному для волновода произвольного сечения икуочно-постоянного би-изотропного заполнения.Однако если искатьсобственные значения задачи (2.37) численно с помощью метода конечныхэлементов, то при использовании лагранжевых элементов возникает большоечисло фиктивных решений (см.

гл. 2 п. 2.1). Число фиктивных мод причисленной реализации может быть существенно снижено, если припостановке обобщенной задачи учесть также уравнение для дивергенции E .Для этого умножим уравнение (2.33) на выражение:Eˆ1 Eˆ 2 i Eˆ3xy(2.38)и проинтегрируем результат по сечению S волновода. Получим уравнение: E1 Eˆ1 E2 Eˆ 2  E1 Eˆ 2 E2 Eˆ1 dsS  x x y y  S  x y  y x  ds  E1 ˆ  E2 ˆ Eˆ1Eˆ 2 2i   E3 E3  E3 E3 ds    Eˆ3 E3ds  0xyxy S S(2.39)Сложив уравнения (2.37) и (2.39), в результате будем иметь:   E1 ,  Eˆ1   E2 ,   Eˆ 2    E3 ,   Eˆ3 ds S40 E Eˆ  E Eˆ  E Eˆ  E Eˆ     2 1  2 1  1 2  1 2  ds y xx yx yy x S  EEˆ  EEˆ  ˆ ds i   3 Eˆ1  E3 1  3 Eˆ 2  E3 2  ds   2  E, ExxyyS S EEEEik  a21  a12    3 Eˆ1  1 Eˆ3  3 Eˆ 2  2 Eˆ3 ds yyxxS ˆ ds  0 . k  a21  a12   E2 Eˆ1  E1Eˆ 2 ds  k 2  a11a22  a12 a21   E, ES(2.40)SПреобразуем второй интеграл в левой части равенства (2.40).

Имеем:y l xlx l y0lx E2 Eˆ1 E2 Eˆ1 Eˆ1dxdyE0  y x x y 0 2 xlx l y E20 0y 0lx l yx l x0x 0ly 2 E1Eˆ1EdxdyE0 2 xy0 2 ydx  dy  2 Eˆ1dxdy  0,xy(2.41)учитывая однородные граничные условия.Аналогично с учетом граничных условий получаем:lx l yx l x0x 0ly E1 Eˆ 2 E1 Eˆ 2 Eˆ 20  x y  y x  dxdy  0 E1 ylx l ydy  0lx 2 Eˆ 2Eˆ 20 E1 xy dxdy  0 E1 x 2 Eˆ 2   E1dxdy  0.xy0 0y l ydx y 0lx l y(2.42)Рассмотрим теперь третий интеграл в уравнении (2.40). Интегрируя почастям и учитывая граничные условия, имеем:41lx l y E3 ˆ  E3 ˆ Eˆ1 E3 ˆ Eˆ 2 Eˆ1 E3 ˆ Eˆ 2 S  x E1  E3 x  y E2  E3 y  ds  0 0  x E1  E3 x  y E2  E3 y dxdy  0.(2.43)Итак, окончательно получаем: S  ˆ ds E1 ,  Eˆ1    E2 ,   Eˆ 2    E3 ,   Eˆ3 ds   2  E, ES EEEEik  a21  a12    3 Eˆ1  1 Eˆ3  3 Eˆ 2  2 Eˆ3 ds yyxxS ˆ ds  0. k  a21  a12   E2 Eˆ1  E1Eˆ 2 ds  k 2  a11a22  a12 a21   E, ES(2.44)SПроанализируемуравнение (2.44).

Для этого рассмотрим случайобычного, а не би-изотропного, заполнения волновода, когда a12  a21  0 . Приэтом уравнение (2.44) переходит в уравнение (2.45):   E1 ,  Eˆ1   E2 ,   Eˆ 2    E3 ,   Eˆ3 ds Sˆ ds k 2 a aˆ  2  E, E11 22  E, E ds  0.SКак известно, в случае(2.45)Sоднородного диэлектрического заполненияволновода a11   , a22   и постоянные распространения и соответствующиеим компоненты электрического поля могут быть найдены аналитически спомощью векторов Герца [20].Поля ТМ типа имеют вид:ETM  x, y   i   x, y     x, y  e z ,(2.46)42где   a11a22k 2   2 и  – собственные значения и соответствующие имсобственные функции (функции сечения) задачи Штурма-Лиувилля впоперечном сечении волновода: ,     0, x  0, lx , y  0, l y 0.xlxy 0y l y x0.(2.47)Следовательно, постоянные распространения будут равны: n2 n,m  a11a22k 2   2  lx2m2 , n  1,2,...,l y 2 m  1,2,... ,(2.48)а соответствующие им электрические поля имеют компоненты:E1,TMn,m  x, y   i n,mnE2,TMn,m  x, y   i n,mmlxly n2E3,TMn,m  x, y    2  lx2 nxcossinlx nxlxsincos myly myly,,m2   nx  mysinsin.lxlyl y 2 (2.49)(2.50)(2.51)Поля ТЕ типа имеют вид   x, y ETE  ik a11a22 yex   x, y  ey  ,x(2.52)43где  – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля в поперечномсечении волновода (функции сечения):  ˆ  0, x  0, lx , y  0, l y ,. 0.x xlx y y 0 y y l x x 0y(2.53)Окончательно для компонент полей ТЕ типа получаем выражение:E1,TEn,m  x, y   ik a11a22E2,TEn,m  x, y   ik a11a22 m cos  nx sin  my ,lylxly n sin  nx cos  my ,lxlxE3,TEn,m  x, y   0 .ly(2.54)(2.55)(2.56)Компоненты полей ТМ типа, как и ТЕ типа, связаны соотношением:E1 E2 i E3  0 .x yУравнение(2.57)(2.45) представляет собой объединенную обобщеннуюпостановку трех независимых краевых задач для компонент электрическогополя нормальных мод волновода:44 2 E 2 E11  k 2 a a   2 E  0, x  0, lx11 22122 xyE E1 1 0, E1 E10 xy 0y l yxx 0x lx 2 E 2 E22 2  x 2yE E2 2 x 0x lxk a2 2 E3   E3  x 2y 2E E2 2 x 0x lxk a11a22  2 0,2E2y11a22   0,E3  , y  0, l E22y 02Ey 03y(2.58) 0, x   0, lx  , y   0, l y E2y0y l y(2.59) 0, x   0, lx  , y   0, l y  E3y l y0Собственные функции каждой из задач(2.60)(2.58)-(2.60) представляютсобой компоненты электрического поля нормальных волн ТЕ или ТМ типа.Однако для того, чтобы эти компоненты вместе формировали нормальнуюволну, они должны быть связаны дополнительно условием (2.57), что вуравнении (2.45)явным образом не учитывается.