Диссертация (Исследование волноведущих систем методами математической физики), страница 4

Другой подход связан с применением метода конечных элементов(МКЭ) [50]-[52].Equation Section (Next)Для решения нестационарных задач расчетаволноведущих систем с помощью МКР было предложено много алгоритмов,основанных на дискретизации системы уравнения Максвелла. В основе этихподходов лежал оригинальныйалгоритмFDTD (Finite Differences TimeDomain – конечные разности во временной области), впервые предложенныйамериканскимученымКейномЙев1966г.[53].Посколькунепосредственное использование алгоритма FDTD для расчета волноводов20на основе метаматериалов было затруднено, Алким Акиюуртлу предложиламетод BI-FDTD, в основе котороголежало специальноеаддитивноеразложение волнового поля [54].1.4.2.3 Метод конечных элементовМетод конечных элементов (МКЭ) является самым популярнымметодом для решенияразнообразных задач математической физики итехники.

Помимо своей весьма высокой эффективности МКЭ обладает такжетакими существенными преимуществами, как простота и ясность егофизической интерпретации, а также четкость численного алгоритма, весьмаоблегчающая программирование сложных задач математической физики[50]-[52], [55],[56].МКЭ стали применятьк расчету волноведущих систем с серединышестидесятых годов прошлого века. В работах А.Д.Берка, В.В. Никольскогои ряда других авторов были построены и исследованы вариационныефункционалы для волноводов произвольного типа [57].Вначале МКЭприменялся для расчетов металло-диэлектрических волноводов, а затемразработанная техника была применена для расчета открытых волноведущихструктур с произвольной формой поперечного сечения.Воснове метода конечных элементовлежит идея сочетаниявариационных методов типа Ритца, или, в более широком плане,проекционных методов типа Галеркина с конечно-разностным методом.При этом ключевую роль играет выбор финитных базисных функций, покоторым ведется разложение приближенного решения.

Отсюда другоеназваниеэтойгруппыметодов:проекционно-сеточныеметоды.Возникновение проекционно-сеточных методов связано, таким образом, склассическими работами Б.Г. Галеркина, И.Г. Бубнова и В. Ритца, а ихматематические основы были сформулированы Р. Курантом в 1943 году.21Для построения системы финитных базисных функцийобласть, вкоторой ищется решение, как правило, триангулируется (разбивается натреугольники) и на каждом из треугольников решение аппроксимируетсяполиномом.Треугольники называются носителями конечных элементов.Под конечным элементом понимается носитель с заданным на немполиномомБольшим преимуществом метода конечных элементов является то, что онпутем специального выбора базисных функций может применяться длярасчета полей с особенностями, а также для расчета полей в неограниченныхобластях с использованием «бесконечных» конечных элементов, базисныефункции на которых определенным образом стремятся к нулю набесконечности.

При расчете метало-диэлектрических волноводов с острымиметаллическими углами наряду с обычными достаточно эффективноиспользуются сингулярные базисные функции [58].Приприменениидифференциальнойпроекционно-сеточныхкраевойзадачасводитсякметодовисходнаясистемелинейныхалгебраических уравнений (СЛАУ), которая имеет ряд особенностей. Вопервых, матрицы системы оказываются разреженными матрицами (оченьчасто ленточной структуры) и для их обработки нужно применятьспециальные методы, которые не нарушают портрет матриц [59].

Во-вторых,порядокматрицоказываетсявесьмавысокий.В-третьих,матрицы,возникающие при решении электродинамических задач, как правило,оказываются незнакоопределенными. Все это затрудняет применять дляобработки таких матриц стандартные методы [60].Существует широкий класс задач, решение которых содержит резкиенеоднородности, проявляющиеся на мелких пространственных масштабах нетолько по отношению к размеру области, но и по отношению к приемлемомушагу сетки.

Для решения подобных задач в работах Л.Г. Страховской и Р.П.Федоренко был предложен метод конечных суперэлементов (МКСЭ) [61].22Отметимтакжевесьмаперспективныйподход,основанныйнаиспользовании атомарных функций. Метод атомарных функций былразработан В.Ф.Кравченко и развит в его работах и работах его учеников[62]-[65].1.5 Задачи синтеза волноведущих системЗадачи синтеза относятся к классу обратных задач математическойфизики. В отличие от обратных задач распознавание, для которых наиболеесущественной чертойзадачахсинтезаотсутствует.является требование единственности решения, втребованиеединственностирешения,какправило,Вариативность возможных решений рассматриваемой задачисинтеза является ее существенным достоинством, поскольку из несколькихнаборов возможных значений оптимальных параметров («веера решений»)мы можем выбирать то решение, которое является наиболее приемлемым,например, с экономической точки зрения (наиболее дешевое), или же стехнологической точки зрения (оптимальная конструкция при таком наборепараметров будет наиболее простой).Решением задачи синтеза является определение тех значений параметровсинтезируемого объекта, при которых этот объект обладает в пределахзаданной точности требуемыми характеристиками.Одни из первых работ по решению задачи синтеза диэлектрическихволноводов были выполнены в нашей стране на основе решения обратнойзадачи типа Штурма-Лиувилля [66].

В работе [67] использовался аппаратквантовой механики и, в частности, метод ВКБ, который, однако, не являетсяуниверсальным методом решения задач синтеза волноведущих систем,посколькунакладываетсущественныеограничениянапараметрысинтезируемых систем.В работах А.Г.Свешникова и А.С.Ильинского [68], [69] был предложенвесьма общий подход к решению задач синтеза волноведущих систем, при23котором задачи синтеза рассматриваются как некорректные задачи, длярешения которых применяется метод регуляризации А.Н.Тихонова [70]. Приэтом предполагается многократное решение прямой задачи расчета даннойволноведущей системы с направленно изменяемыми оптимизационнымипараметрами, длячегорешаетсявариационнаязадача оптимизацииоценивающего функционала.Отметим, что в электродинамике весьма часто решаются задачи синтезапромежуточного уровня.

Например, рассматривается задача о нахождениираспределения токов на раскрыве антенны, при котором диаграмманаправленности антенны имеет заданный вид. При этом вне рассмотренияостаются такие важные и сложные задачи, как выбор возбуждения антенны,обеспечивающий необходимое распределение токов на её раскрыве. Задачиполногоматематическогопроектирования,когдаопределяютсягеометрические и физические характеристики синтезируемого объекта, прикоторых он обладает требуемыми свойствами, решаются гораздо реже.Поскольку данная методика решения задач синтеза предполагаетмногократное решение прямых задач расчета соответствующих систем, тотребования, предъявляемые к этим алгоритмам,оказываются весьмавысокими.

Главы 2 и 3 диссертации посвящены разработке эффективногоалгоритма решения прямых спектральных задач расчета волноведущихсистем,в главе 4 эти методы реализуются на практике, а в главе 5используются для решения спектральных задач синтеза таких систем.Выводы к главе IБольшие перспективы в высокочастотной электродинамики, волновой иинтегральной оптике имеют устройства, построенные с использованиемметаматериалов–искусственносозданныхструктурированныхмезоскопических систем с характерными размерами структурных элементовот единиц до сотен нанометров.Все большее применение находят24волноведущие системы с бианизотропным, биизотропным и киральным(гиромагнитным) заполнением.Весьма остро встает вопрос о применении известных, а также о созданиии реализации новых экономичных высокоточных методов и алгоритмоврасчета волноведущих систем на основе метаматериалов, позволяющихпроводитьапостериорнуюоценкуточностиполученныхконкретныхрезультатов вычислительного эксперимента.Важнойзадачейявляетсястрогоематематическоеобоснованиеразрабатываемых методов для расчета волноведущих систем на основеизучения возникающих операторов в специальных функциональных итопологических пространствах.Методы,разработанныедлячисленногорасчета«классических»волноведущих систем, такие как МКР и МКЭ, и их модификации в целомоказываются весьма эффективными для исследования волноведущих системна основе метаматериалов.Наряду с разработкой и исследованием методов решения прямых задачрасчета волноведущих систем, большое значение имеет разработка иисследование методов решения обратных задач синтеза таких систем.25Глава II.

Спектральная задача для волновода с кусочно-постояннымби-изотропным заполнениемВ данной главе рассмотрена векторная спектральная задача впрямоугольномволноводескусочно-постояннымби-изотропнымзаполнением. Одним из широко используемых численных методов дляматематического моделирования таких волноведущих систем является методконечных элементов. Однако в случае электродинамических задач в полнойвекторной постановке метод конечных элементов может приводить кпоявлению фиктивных решений. В настоящей главе дляволновода сидеально проводящими стенками и кусочно-постоянным би-изотропнымзаполнением разработан и исследован вариантпостановки спектральнойзадачи, позволяющий использовать лагранжевые конечные элементы исущественно снижающий числопоявлений фиктивных нефизическихрешений.

На основе предложенной постановки построенчисленныйалгоритм расчета постоянных распространения и соответствующих имсобственных волн, основанный наобобщенной постановке векторнойзадачи.Предложенный алгоритм использован в главе IV для расчетапостоянных распространения и собственных волн в волноводе с киральными би-изотропным заполнением, а также в главе V для решения спектральнойзадачи синтеза волновода со слоистым киральным заполнением.Результаты данной главы изложены в статье:Н.А.Боголюбов, Ю.В.Мухартова. Спектральная задача в волноводе соднородным би-изотропным заполнением // Журнал вычислительнойматематики и математической физики.- 2014. - Т.

54.- № 6.- С. 969-976. Yu.V. Mukhartova, N.A.Bogolyubov. Spectral Problem in a waveguide withHomogeneous Bi-isotropic Filling. . Pergamon Press Ltd. // ComputationalMathematics and Mathematical Physics.- 2014.- V. 54.- num. 6.- P. 977-983.262.1 Проблема появления нефизических решенийКак уже было отмечено в главе 1, применение МКЭ (как и МКР) прирасчете волноводов избавляет от необходимости решения жестких системдифференциальных уравнений.