Диссертация (Исследование волноведущих систем методами математической физики), страница 5

Однако при применении метода конечныхэлементов возникаетспецифическая проблема, связанная с тем, что впроцессе решения возникают не имеющие физического смысла фиктивныерешения, так называемые «духи», борьба с которыми является весьматрудоемкой задачей и сильно снижает эффективность алгоритма [71], [72].Следует отметить, что фиктивные решения возникают не при всехобобщенных постановках задач расчета волноведущих систем.

Большимдостоинством скалярной постановки является то, что ее использование неприводит к появлению фиктивные решений. Однако круг ее примененийдостаточно узок [73].Значительно более универсальными являются векторные постановки,однако при их применении могут возникать нефизические решения. Так длярасчетацилиндрическихвекторнаяz-постановка,волноведущихгдевсеструктуркомпонентывесьмаэффективнавыражаютсячерезэлектрические и магнитные продольные компоненты [74]. Весьма широкоприменяется постановкас использованием поперечных компонент, а такжеуниверсальная трехкомпонентная постановка в виде Н- и Е- формулировки[75]-[78].Для борьбы с нефизическими решениями существуют два основныхподхода. При апостериорном подходе фиктивные решения выделяют ужепосле процесса вычислений, а при априорном подходе используютсяпостановки задач, не вызывающие появления фиктивных решений.Для отделения истинных мод от фиктивных после процесса вычислений(апостериорное распознавание решений) наряду с собственными значениями,необходимыми для построения дисперсионных кривых, вычисляются такжесобственные функции.

Фиктивные собственные функции не удовлетворяют27«дивергентному» условию, то есть условию равенства нулю дивергенцииэлектромагнитного поля. Недостатком данного метода является егонеэкономичность, посколькудля вычисления собственных функцийтребуются значительные дополнительные затраты машинного времени.Кроме того, численное значение дивергенции определяется приближенно,что усложняет реализацию проверки дивергенции на нулевое значение.Одним из достаточно старых методов исключения фиктивных решений допроцесса вычислений (априорное исключение «духов»)штрафных функций (метод штрафов) [79].спектральных волноводных задачвходитдополнительноеопределяетсяВ данном методе при решенииприменяется функционал, в который«штрафное»степеньюявляется методслагаемое,нарушениявеличинакоторого«дивергентного»условия.В работе [80] на численных примерах показано, что с помощью этого неудаляютсявсенефизическиерешениянефизическимрешениям,соответствующиеисобственныезначения,присутствуютвчисленайденных собственных значений.

Тем не менее, сама идея введениядивергентного уравнения в постановку спектральной задачи является весьмаполезной.При применении векторной вариационно-разностной постановки весьмаэффективнымдляборьбыиспользование методаМетодснефизическимисявляетсясмешанных конечных элементов (СКЭ) [81], [82].смешанных конечныхволноводоврешениямиэлементов можетпроизвольнымприменятьсякусочно-непрерывнымдляанизотропнымзаполнением, а также в случае сложной геометрии сечения волновода.При построении базисных функций в методе СКЭ используется лишьусловие непрерывности тангенциальных составляющих полей, что наиболееадекватно соответствует исходной постановке задачи и существеннымобразом влияет на скоростьприменениесходимости метода. Следует отметить, чтометода смешанных конечных элементовпринципиальных ограничений.Даже в тех случаях, когдаимеет рядволноводная28система имеет цилиндрическую симметрию, необходимо использованиедекартовой системы координат.При аппроксимации границы области, вкоторой ищется решение, ломаной линией, точность решения падает, чтолишает преимуществ использования конечных элементов высокого порядка.Размерность задачи увеличивается, скорость сходимости алгоритма падаетпо сравнениюс задачамипрямоугольной геометрии ина порядкиснижается точность получаемых результатов.Для решения спектральных волноводныхзадач ввекторнойпостановке обычно используются два основных подхода.

Более раннийподход состоит в постановке задачи, в которой в качестве спектральногопараметра выступает квадрат волнового числа k c. Такой подход приводитк появлению фиктивных нефизических решений. Причиной их появленияявляется то, что нулевое собственное значение, которому соответствуетмножество функций градиентного вида, имеет бесконечную кратность. Причисленном решении задачи на собственные значения с использованиемстандартной техники МКЭ нулевое собственное значение бесконечнойкратности переходит в семейство ненулевых собственных значенийдискретнойзадачи.Приэтомфиктивныесобственныезначения,соответствующие нефизическим решениям, расположены среди истинныхточек спектра и встает весьма сложная проблема их выделения и отсева.В более позднем подходеприменяются не k 2 - постановка, а  2 -постановка,в которой в качестве собственного значения используетсяпостояннаяраспространения[78].Прииспользованиипостановкиотносительно продольных компонент электромагнитного поля получаетсязадача с нелинейным вхождением спектрального параметра и по сравнениюс линейной задачей численные алгоритмы определения собственныхзначений оказываются неэффективными.

Однако данный подход позволяетприменять лагранжевые конечные элементы.Это дает возможностьаппроксимироватьконечнымидифференциальнуюзадачуэлементами29высокого порядка и, что особенно важно, использовать изопараметрическиеконечные элементы с криволинейной границей [83].При использованиипостановки относительно поперечных составляющих электромагнитногополя получаемая алгебраическая спектральная задача является линейной,обобщеннойинезнакоопределенной.Припримененииконечных элементов появляются нефизические решения .в работе [84] постановкелагранжевыхВ предложеннойспектральная волноводная задача сводится кобобщенной алгебраической проблеме собственных значений относительноквадрата постоянной распространения. При реализации этой постановкиобычно используются СКЭ.В работе [85] был предложен принципиально новый подход к постановкеспектральных краевых задач теории волноведущих систем.Стандартныйподход при решении таких задач приводит к необходимости либо решениязадачи с нелинейным вхождением спектрального параметра, либо не даетвозможности вычисления комплексных волн.

В предложенномкачестве основнойподходе вподсистемы уравнений Максвелла выбирается невихревая подсистема, ауравнений Максвелла.подсистема, состоящая из шести из восьмиОна включает в себя уравнения для дивергенцийэлектрического и магнитного полей и роторные уравнения, включающиепроизводныепо продольной координате, направленной вдоль осиволноведущей системы. При таком подходе спектральная задача анализа модволновода сводится к задаче для линейного операторного пучка Келдыша,для которого построена строгая математическая теория [86], [87].

Даннаяпостановка может быть использована не только при теоретическомрассмотрении задачи анализа мод волновода, но и при численном решении,как спектральных задач, так и задач дифракции электромагнитных волн нанеоднородностях, изгибах и различных переходах в волноводах.В следующем разделе предлагается вариант введения «дивергентного»уравнениявполнуювекторнуюпостановкуспектральнойзадачи.Полученная при этом постановка спектральной задачи характеризуется30следующими свойствами. Во-первых, она существенно уменьшает числонефизических решений при применении лагранжевых конечных элементов.Во-вторых, она позволяет использовать все преимущества примененияконечных элементов лагранжевого типа: простоту программной реализации ивозможность увеличения точности путем использования элементов болеевысокого порядка и/или уменьшения диаметра носителя конечного элемента.2.2 Постановка задачи для произвольного сечения волноводаРассмотрим регулярный волновод, поперечное сечение которогообозначим через S, с идеально проводящей боковой поверхностью и биизотропным заполнением.

Введем декартову систему координат, ось Ozкоторой направим вдоль оси волновода. Для би-изотропной средыматериальные уравнения имеют вид [14]:D  a11E  a12 H,B  a21E  a22 H.(2.1)(2.2)Предположим, что заполнение волновода является кусочно-постоянным:ppa11 x, y   a11p , a12 x, y   a12p , a21 x, y   a21, a22 x, y   a22, если x, y   S p , p  1,..., P ,Pгде a11p , a12p , a 21p , a 22p – константы, S p – подобласти области S : S   S p .p 1Обозначим через S боковую границу поперечного сечения S волновода,S p – боковые границы подобластей S p и S pq – общую часть границыподобластей S p и S q (рис.