Диссертация (Исследование волноведущих систем методами математической физики), страница 3

Во-вторых, модернизации известных и созданииновыхэкономичных высокоточных алгоритмов расчета подобных устройств,позволяющих изучать наиболее полные их математические модели, а такжеглубокое исследование и строгое математическое обоснование этихалгоритмов. В-третьих, разработка и реализация эффективных численныхметодов,позволяющихпроводитьапостериорныеоценкиточностиполученных конкретных результатов вычислительного эксперимента.Еслирассматриватьрешениестационарныхзадачрасчетаволноведущих систем, то их можно подразделить на две большие группы. Кпервой группе относятся задачи возбуждения нерегулярных волноведущихсистем.Вторуюгруппусоставляютзадачирасчетаспектральныххарактеристик регулярных волноведущих систем.

При этом свойства впоперечном направлении заполняющих систему материалов, равно как и14форма поперечного сечения могут быть достаточно произвольными. Подопределением спектральных характеристик системы понимается расчетпостоянных распространения, частот отсечки, определение модового составаполя в рассматриваемой волноведущей системе, построение дисперсионныххарактеристик и т.д.Большой цикл работ по исследованию волноведущих систем на основеметаматериалов методами математического моделирования был выполнен накафедре математики физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова[22]-[27]. В работе [22]исследован киральный резонатор с идеальнопроводящей границей. В работах [23]-[26]предложен,исследован ипрактически реализован алгоритм решения двумерных задач возбуждения 2Dволноводов с киральным заполнением. Математическое моделированиепрямоугольноговолновода,заполненногокиральнойсредой,быловыполнено Цветковым И.В.

и Ромашиным А.В. [27].1.3 Аналитические методы исследования волноведущих системДля исследования волноведущих систем на основе метаматериаловприменяются различные аналитические методы [26].Одним из наиболее эффективных методов анализаэлектромагнитныхполей в би-изотропных средах является метод факторизации. Для случаяоднородной среды при использовании метода факторизации системауравненийМаксвелладифференциальныхсводитсяуравненийкпервогодвумнезависимымпорядкадлядвухсистемамобычныхизотропных сред.

Оказалось, что в безграничных однородных киральныхсредах существуют две собственные волны, обладающие правой и левойкруговой поляризацией и имеющие различные волновые числа. Наличиедвух таких собственных волн позволяет использовать киральные структурыдля изменения поляризации падающего электромагнитного излучения, атакже применять их в качестве поляризационных фильтров15Методвекторныхцепейприменяетсядлярасчетаплоскихстратифицированных структур, например, для расчета плоско-параллельногокирального волновода. Он основан на использовании диадной матрицыпередачи,позволяющейсвязатьтангенциальныесоставляющиеэлектрического и магнитного поля на противоположных сторонах биизотропногослоя.Получаемыеприиспользованииэтогометодасоотношения содержат всю информацию о волноводе и постоянныхраспространения волн.1.4 Численные методы исследования волноведущих системДлячисленногоисследованияволноведущихсистемнаосновеметаматериалов в основном применяются методы, разработанные дляисследования «классических» волноведущих систем.1.4 .1 Исследование регулярных волноводовВ 1947-1948 гг.

в «Журнале технической физики»были опубликованытри фундаментальные работы А.Н.Тихонова и А.А.Самарского, сыгравшиеисключительную роль в развитии математической теории волноведущихсистем. В1947 году в двух выпусках была опубликована работа «Овозбуждении радиоволноводов» [28], [29], а в 1948 году – работа« Опредставлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ» [30].Фундаментальные работы А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, а также работыряда других ученых по теории регулярных волноводов [31]-[33] позволилипреобразовать высокочастотную электродинамику волноведущих систем изчисто технической наукив новое научное направление в математическойфизике – математическую теорию волноведущих систем.161.4.2 Исследование нерегулярных волноводовВ середине прошлого века появились работы по исследованиюнерегулярных волноводов.волноводахявляетсяОбычно нерегулярными элементами в такихплавныйволноводныйпереходмеждудвумяволноводами различных поперечных сечений, плавный изгиб, волноводнаяскрутка и т.д.

Крайне важно, чтобы на таких нерегулярных элементах нетолько не происходило заметное отражение падающей волны, но и было быминимальным преобразование основной волны в паразитные волны. Длярасчета данного класса волноводов потребовалась разработка специальныхматематических методов.Так одним из достаточно широко распространенных методов расчетаволноведущих систем является метод частичных областей, применениюкоторого посвящен большой ряд работ [34]-[35].В 1955 году в работахС.А.Щелкунова и П.Е.Краснушкина былпредложен метод поперечных сечений [36], [37], в котором поле в сечениинерегулярного волновода разлагаетсярегулярного волновода сравнения.по полям нормальных волнДля зависящих от продольнойкоординаты коэффициентов разложения получается бесконечная системаобыкновенныхдифференциальныхКоэффициенты этойсистемыуравненийпервогопорядка.выражаются достаточно сложнымиинтегралами от различных комбинаций полей нормальных волн волноводасравнения.Следуетпоперечных сеченийотметить,чтообоснованиесходимостиметодабыло проведено для случая слабо нерегулярныхволноводов на физическом уровне строгости.Но наиболее распространенными оказались методы, основанные на идеяхметода Галеркина (неполный метод Галеркина), идеях дискретизации задачи(метод конечных разностей) и на комбинации этих идей (метод конечныхэлементов).171.4.2.1 Неполный метод ГалеркинаВ начале 60-х годов прошлого века А.Г.Свешниковым был предложеннеполный метод Галеркина, в котором был преодолен основной недостатокметода поперечных сечений, сильно снижающий его эффективность исвязанный с численным решением на каждом шаге спектральной задачи[38]-[40].В защищенной в 1963 году докторской диссертации А.Г.Свешниковымбыли развиты эффективные алгоритмы исследования волноведущих систем,основанные на разработанных автором проекционныхширокогокругазадачматематическойфизики,методах решениявозникающихматематическом моделировании радиоволноводов, а такжеприв теориидифракции в неоднородных средах.

Для удовлетворения краевому условиюна боковой поверхности нерегулярного участка волновода производитсяотображение нерегулярного волновода на регулярный цилиндрическийволновод. Это отображение можно получить путем введения новойнеортогональной криволинейной системы координат, одна из координатныхповерхностей которой совпадает с боковой поверхностью исследуемогонерегулярноговолновода.электромагнитныхповерхностьюВколебанийсводитсякрезультатевволноводеэквивалентнойзадачасораспространениинерегулярнойзадачеобоковойраспространенииколебаний в цилиндрическом волноводе постоянного поперечного сечения,но уже с анизотропным заполнением.

Это обстоятельство позволяет, вчастности, решить вопрос о возможности предотвратить трансформациюволн в волноводах с нерегулярной боковой поверхностью путем выбораспециального анизотропного заполнения волновода.Отличие подходаразвитого в диссертации А.Г.Свешникова от подхода в большинстве работ,посвященных исследованию нерегулярных волноводов, заключалось в том,что переход осуществляется не к бесконечной системе, а с использованиемосновной идеи метода Галеркина - к конечной системе обыкновенных18дифференциальных уравнений. Использование метода Галеркина позволилодля волновода с кусочно-непрерывным заполнением и достаточно гладкойбоковой поверхностью доказать сходимость неполного метода Галеркина понорме пространства W21и получить мажорантные оценки скоростисходимости.1.4.2.2 Метод конечных разностейПри применении неполного метода Галеркина к решениюволноводных задач исходная задача сводится к системе обыкновенныхдифференциальных уравнений.

Отличительной чертой данной системыявляется ее, так называемая жесткость [41]. Существует развитая методикарешения жестких задач. Укажем, в качестве примера, на разработанныйА.А.Быковым метод направленнойортогонализации[42]. Весьмаперспективным в плане численного решения волноводных задач являетсяприменение метода конечных разностей (МКР). В Советском Союзеакадемиком А.А.Самарским была создана мощная конечно-разностная школа[43]. Вообще говоря, метод конечных разностей (или метод «исчисленияконечных разностей») был известен задолго до появления первыхэлектронно-счетных машин. Например, в Казанском университете в то время,когда его ректором был великий русский математик Н.И.Лобачевский, врасписании занятий числился курс исчисления конечных разностей.

Методконечных разностейприменяется для доказательстваматематическихутверждений (см., например, работу [44]). Но подлинный расцвет данногометода связан с появлением и широким внедрением в математическуюпрактику компьютеров.\Первые применения МКР были связаны с задачами теории упругости,гидро- и газодинамики. Операторы соответствующих краевых и начальнокраевых задач являются, как правило, операторами эллиптического и19параболического типа, для которых при определенных условиях применимпринцип максимума. Это позволяет строить устойчивые разностные схемы,получать оценки для их решения через входные данные, обосновываяустойчивость и сходимость таких схем.Математические модели волноведущих систем содержат, как правило,незнакоопределенные и несамосопряженные операторы, что чрезвычайноусложняет как построение устойчивых схем, так и доказательство ихсходимости, поскольку в этом случае принцип максимума уже неприменим.Все это требует модификации старых и разработки новых методовисследования разностных схем.Еслирассматриваетсязадачавозбужденияинеоднородностьволноведущей системы носит локальный характер, то для ограниченияобластиможно использовать разностные аналоги парциальных условийизлучения [45].

Полученная разностная краевая задача, представляющаясобой систему линейных алгебраических уравнений высокого порядка,решается прямыми или итерационными метолами линейной алгебры.Отметим также использование методов параболического уравнения иопорной волны [46], а также метода ограничения спектра и выделенияспектральной полосы[46] - [48].Длярешения спектральных волноводных задач с помощью МКРиспользуется интегро-интерполяционный метод построения консервативныхсхем [49].