Диссертация (Исследование волноведущих систем методами математической физики)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВА____________________________________________________Физический факультетКафедра математикиНа правах рукописиБоголюбов Николай АлександровичИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЕДУЩИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИСпециальность 01.01.03 - математическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наукпрофессор Свешников А.Г.Москва2015ОглавлениеВведение5Глава I. Математические методы исследования электродинамических системна основе метаматериалов121.1 Метаматериалы121.2 Математические методы, применяемые для исследования волноведущихсистем141.3 Аналитические методы исследования волноведущих систем151.4 Численные методы исследования волноведущих систем161.4.1 Исследование регулярных волноводов161.4.2 Исследование нерегулярных волноводов171.4.2.1 Неполный метод Галеркина181.4.2.2 Метод конечных разностей191.4.2.3 Метод конечных элементов211.5 Задачи синтеза волноведущих систем23Выводы к главе I24Глава II.

Спектральная задача для волновода с кусочно-постоянным биизотропным заполнением262.1 Проблема появления нефизических решений272.2 Постановка задачи для произвольного сечения волновода312.3 Первая обобщенная постановка задачи для волновода произвольносечения с би-изотропным кусочно-постоянным заполнением352.4 Вторая обобщенная постановка задачи для волновода прямоугольногосечения с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением382.5 Вторая обобщенная постановка задачи для волновода произвольногосечения с би-изотропным кусочно-постоянным заполнением4722.6 Исследование обобщенной постановки задачи для би-изотропногокусочно-постоянного заполнения48Выводы к главе II55Глава III. Использование процедуры метода Банча-Кауфман дляфакторизации матриц жесткости метода конечных элементов573.1 Постановка задачи573.2 Построение матрицы жесткости613.3 Процедура Банча-Кауфман693.3.1 Обратные итерации693.3.2 Факторизация матрицы жесткости723.4 Численная апробация: металло-диэлектрический волновод с кусочнопостоянным заполнением78Выводы к главе III83Глава IV.

Расчетспектральных характеристик волновода с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением методом конечныхэлементов4.184Решение задачи методом лагранжевых конечных элементов сиспользованием второй обобщенной постановки844.2 Тестирование алгоритма924.3 Волновод прямоугольного сечения с кусочно-постоянным би-изотропнымзаполнениемВыводы к главе IV97105Глава V. Спектральная задача синтеза волноведущих систем на основеметаматериалов1075.1 Спектральные задачи синтеза волноведущих систем1075.2 Процедура минимизации1095.2.1 Метод Нелдера – Мида1095.2.2 Метод скользящего допуска11035.3 Решение задачи синтеза прямоугольного кирально-диэлектрическоговолновода111Выводы к главе V117Заключение119Литература1214ВведениеАктуальность темы.

В настоящее время большие перспективы ввысокочастотнойэлектродинамике, волновойсвязываютустройствами,си интегральной оптикепостроеннымисиспользованиеммезоскопических систем. Мезоскопические системы – это искусственносозданные структурированные материалы с характерными размерамиструктурных элементов от единиц до сотен нанометров. Наряду сэлектродинамическими системами и устройствами со сложной нерегулярнойгеометрией и с неоднородным анизотропным заполнением, все большееприменение находятсистемы и устройства с заполнением на основеметаматериалов: с би-изотропным и, в частности, киральным заполнением, сби- анизотропным заполнением и т.д.

В связи с этим весьма остро встаетвопросопостроениииисследованииматематическихмоделей,описывающих физические процессы, происходящие в подобных системах.Большинство из таких моделей представляет собой краевые и начальнокраевыезадачиматематическойфизики.Большоезначениеимеетмодернизация известных и создание и реализация в виде алгоритмов новыхэкономичных методов расчета подобных систем и устройств, позволяющихчисленно исследовать их наиболее полные математические модели.Насущнойнеобходимостьюявляетсяисследованиеэтихалгоритмовметодами математической физики.Развитие данного направления исследования составляет главную цельдиссертационной работы.Конкретными задачами, на решение которой направлена диссертационнаяработа, является создание и исследование математических постановокспектральныхметаматериалов.краевых задач дляСтрогоеволноведущих систем на основематематическоеисследованиепостроенныхспектральных задач на основе глубокого изучения возникающих операторовв специальных функциональных пространствах.

Разработка эффективных5методов и модернизация известных методов исследования построенныхматематических моделей исоздание на основе разработанных методовалгоритмов для исследования широкого класса волноведущих систем.Для описания волноведущихсистем используются математическиемодели, представляющие собой краевые и начально-краевые задачи длясистем уравнений в частных производных в ограниченных и неограниченныхобластяхс нерегулярнойгеометриейи сложным неоднородным ианизотропным заполнением. Операторы, возникающие в таких задачах,являются, как правило, несамосопряженными и незнакоопределенными.Наряду с решением прямых задач, большое значение имеет разработкаметодов решения обратных задач синтеза волноведущих систем.Припостановке задач синтеза существенно используется алгоритм решенияпрямойзадачирасчетасинтезируемойсистемы,основанныйнаразработанном в диссертационной работе варианте постановки спектральнойзадачи.Цель работы.

Целью диссертационной работы является создание иисследование математических моделейволноведущих систем на основеметаматериалов, в частности, с использованием киральных и би-изотропныхсред, что включает в себя:1) Постановку спектральных задач анализа и синтеза волноведущих систем снеоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.2) Строгое математическое обоснование этих задач на основеизучениявозникающих операторов в специальных функциональных пространствах.3)Исследованиеспектральныхсвойствволноведущихсистемснеоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.4) Разработку и реализацию эффективных численныхметодов, имодернизацию известных методов исследования спектральных задач анализаи синтеза волноведущих систем с неоднородным, в частности, киральным иби-изотропным заполнением.6Научная новизна работы.

Разработанматематическойпостановкии исследован вариантспектральнойкраевойзадачианализараспространения электромагнитных волн в волноведущих системах с биизотропным заполнением, позволяющийсущественноснизить прииспользовании лагранживаемых конечных элементов появление не имеющихфизическогосмыслафиктивныхрешений(«духов»).Наосновепредложенной постановки спектральной задачи построен метод решенияпрямой спектральной задачи анализа распространения электромагнитныхволнвволноведущихсистемахсби-изотропнымиспользованием лагранжевых конечных элементов.заполнениемсРазработанный наоснове предложенного метода алгоритм использован для расчета постоянныхраспространения волни полей собственных мод в волноводах спрямоугольной геометрией поперечного сечения и с кусочно-постоянным биизотропным заполнением.

Результаты исследования продемонстрироваливысокую эффективность разработанной методики, позволяющей исследоватьширокий круг волноведущих систем, построенных с использованиемметаматериалов.На основе разработанного метода решения прямой спектральной задачианализа распространения электромагнитных волн в волноведущих системах сметазаполнением создан алгоритм решения обратной спектральной задачисинтеза таких систем и с его использованием решена практически важнаязадача расширения частотной полосы одномодового режима волновода скиральной оболочкой.Практическая ценность работы.

Предложенная в диссертационнойработематематическая постановка спектральной краевой задачи анализараспространения электромагнитных волн в волноведущих системах с биизотропным заполнением позволяет исследовать спектральные свойстваширокого класса волноведущих систем, созданных с использованиемметаматериалов. На основе предложенной постановки спектральной краевойзадачиразработаны эффективные методы решения прямых спектральных7задач анализа, а также задач синтеза таких систем, которые могут бытьиспользованы для практического решения прямых спектральных задачанализа и обратных спектральных задачсинтеза широкого кругаволноведущих систем.Личный вклад соискателя состоит в следующем:1) Разработан и исследован вариант полной векторной математическойпостановкиспектральнойкраевойзадачианализараспространенияэлектромагнитных волн в волноведущих системах с би-изотропнымзаполнением, позволяющий при численной реализации с применениемметода конечных элементов значительно снизить число фиктивных решений(«духов») при использовании лагранжевых конечных элементов.2) На основе предложенной постановки спектральной задачи реализованэффективный метод решения прямой спектральной задачи расчета основныхспектральных характеристик и полей мод регулярных прямоугольныхволноводов с заполнением на основе метаматериалов в полной векторнойпостановкесиспользованиемлагранжевыхконечныхэлементов,существенно снижающий число фиктивных нефизических решений.3) С использованием предложенного метода решения прямой спектральнойзадачи анализа распространения электромагнитных волн в волноведущихсистемах с заполнением на основе метаматериаловсоздан и реализованалгоритм решения обратной спектральной задачи синтеза таких систем.Достоверность результатов диссертационной работы подтверждаетсякорректностью использованных аналитических и численных методов,применением апостериорных оценок точности, сравнением с результатамимодельных расчетов, полученными другими методами.