Диссертация (Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками), страница 7

3.9. Радиусы действия якобианов. Черные окружности соответствуют якобиану, записанному в карте (P2 , X1 ), а красные — якобиану, записанному в карте (P1 , X2 )48Рис. 3.10. Графики якобианов, записанных в картах (p1 , x2 ) и (p2 , x1 )Здесь получаются четыре фокальные точки со следующими углами: ψ1F =1.637, ψ2F = 1.73, ψ3F = 2.124, ψ4F = 2.435.

На Рисунке 3.10 изображены графикиякобианов. Якобиан, который имеет большие выбросы записан в карте (p2, x1).Также вертикальными линиями отмечены фокальные точки. Нулям якобиана,записанного в карте (p2, x1), соответствуют углыψ = (1.127, 1.506, 1.635, 1.714, 1.883, 1.93, 2.13, 2.341, 2.423, 2.639),а нулям якобиана, записанного в карте (p1, x2), соответствуют углыψ = (1.607, 1.641, 1.739, 2.118, 2.216, 2.464, 2.746)На Рисунке 3.9 изображены радиусы действия якобианов. Так же, как и впредыдущем пункте, в качестве радиуса действия было взято расстояние отфокальной точки до ближайшей по углу ψ точке, в которой якобиан обращается в нуль. Выпишем теперь разницу δψ между фокальной точкой и ближайшейточкой, в которой обращается в нуль якобиан.

Также приведем эту разницудля якобиана det (P, Pψ ), график которого изображен на Рисунке 3.11. Нулиякобиана det (P, Pψ ): ψ = (1.635, 1.714, 1.883, 1.93, 2.13, 2.46).49Для фокальной точки ψ1F :• Для якобиана, записанного в карте (p1, x2): δψ = 0.0039 ≈ 0.22◦.• Для якобиана, записанного в карте (p2, x1): δψ = 0.0023 ≈ 0.13◦.• Для якобиана det (P, Pψ ): δψ = 0.0024 ≈ 0.13◦.Для фокальной точки ψ2F :• Для якобиана, записанного в карте (p1, x2): δψ = 0.0078 ≈ 0.45◦.• Для якобиана, записанного в карте (p2, x1): δψ = 0.017 ≈ 0.99◦.• Для якобиана det (P, Pψ ): δψ = 0.017 ≈ 0.99◦.Для фокальной точки ψ3F :• Для якобиана, записанного в карте (p1, x2): δψ = 0.0055 ≈ 0.31◦.• Для якобиана, записанного в карте (p2, x1): δψ = 0.007 ≈ 0.4◦.• Для якобиана det (P, Pψ ): δψ = 0.007 ≈ 0.4◦.Для фокальной точки ψ4F :• Для якобиана, записанного в карте (p1, x2): δψ = 0.029 ≈ 1.66◦.• Для якобиана, записанного в карте (p2, x1): δψ = 0.012 ≈ 0.67◦.• Для якобиана det (P, Pψ ): δψ = 0.029 ≈ 1.66◦.В данном примере, в отличие от предыдущего пункта, ситуация уже не является симметричной.

Обратим внимание на следующий момент. В окрестностипервой фокальной точки якобиан, записанный в карте (p2, x1) имеет меньшийдопустимый интервал по ψ по сравнению с якобианом, записанным в карте(p1, x2). Однако он имеет большую допустимую область на плоскости (x1, x2).Это связано с тем, что между фокальными точками плотность характеристик50Рис. 3.11. График якобиана det (P, Pψ )больше, чем на остальных участках фронта. Также приведем еще один рисунок, на котором изображены графики величин X1 , X2 , P1 , P2 в зависимости отугла ψ.

Все эти графики изображены на одних осях на Рисунке 3.12.Рис. 3.12. Графики величин X1 , X2 , P1 , P2 в зависимости от угла ψ. В первой фокальнойточке самый нижний график принадлежит величине X1 , следующий — P1 , далее — P2 , исамый верхний — X2513.3Склейка асимптотики для окрестностирегулярных точек фронта с асимптотикойдля окрестности фокальных точекВ данном пункте подробно описывается построение профиля волны в окрестности фокальных точек, а также склейка фокального профиля с профилем дляокрестности регулярных точек фронта. В предыдущем параграфе было показано, что размер области, в которой строится фокальный профиль, зависит оттого, как ведет себя один из якобианов, (3.5) или (3.6).

Важный момент состоитв том, что формула (3.1) справедлива в любой системе координат, которая получена из исходной с помощью сдвига и поворота. Поэтому можно рассматриватьтолько один из якобианов, например якобиан в карте (p1, x2), но вычисленныйв повернутой системе координат. В частности, графики для якобиана в карте(p2, x1), приведенные в предыдущем параграфе, это графики, построенные дляякобиана в карте (p1, x2), но построенные в другой системе координат, а именно,в системе координат, повернутой на угол 90◦ относительно исходной.

Обозначим через R расстояние от фокальной точки до ближайшей точки на фронте, вкоторой якобиан обращается в нуль. Опишем на конкретном примере порядокдействий, который использовался в данной работе для построения возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фокальной точки. Пустьдно имеет вид (3.7), а параметры дна имеют следующие значения: a0 = 0.87,a1 = 0, a2 = 1, b1 = 1.5, b2 = 1.5. На Рисунке 3.13 изображен участок волновогофронта в момент времени t = 6. Также на рисунке изображена прямоугольнаяобласть, в которой производилось построение возвышения свободной поверхности жидкости, и окружность, радиус которой равен расстоянию от фокальнойточки до ближайшей точки на фронте, в которой обращается в нуль якобиан.52ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ВОЛНОВОГО ПРОФИЛЯ ВОКРЕСТНОСТИ ФОКАЛЬНОЙ ТОЧКИ.• Сначала вычисляется интересующий нас участок фронта.

Также на этомучастке фронта находятся все фокальные точки. Фокальная точка, на примере которой будет описываться построение возвышения, имеет угол ψ F =1.043815, координаты (X1F , X2F ) = (−0.63583, 3.0728) и импульсы (P1F , P2F ) =(−0.4291, 0.60785).• После этого строится возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности тех регулярных точек фронта, которые ближе всего подходят к выбранной фокальной точке. Это то возвышение, к которому мы в дальнейшем будем подклеивать профиль, посчитанный по формулам для окрестности фокальных точек. Возвышение для окрестности регулярных точекфронта, которое используется для склейки, строится на двух участкахфронта: (ψ F −a1 , ψ F −a2 ) и (ψ F +b1, ψ F +b2 ).

Здесь a1 > a2 > 0, b2 > b1 > 0.• Теперь у нас все готово для того, чтобы начать построение возвышения свободной поверхности в окрестности фокальной точки. Область, в которойстроится возвышение, представляет собой прямоугольник со сторонамиlx , ly . Центр прямоугольника помещается в фокальную точку. Далее прямоугольник поворачивается так, что его сторона ly становится параллельнаимпульсу (P1F , P2F ). В данном примере µ = 10−3, lx = 80µ, ly = 20µ. НаРисунке 3.14 красным изображена локальная система координат (x′1, x′2),у которой ось x′2 параллельна импульсу (P1F , P2F ). Угол α между осью x1и осью x′1 составляет α = 0.61.53Рис.

3.13. Участок волнового фронта с фокальной точкой. Также на рисунке изображенапрямоугольная область, в которой строился фокальный профиль, и окружность, радиус которой равен расстоянию от фокальной точки до ближайшей точки на фронте, в которойобращается в нуль якобианРис. 3.14. Окрестность фокальной точки, в которой изображены синим цветом участок волнового фронта, радиус действия якобиана (окружность), область, в которой вычислялся фокальный профиль (прямоугольник) и две локальные системы координат54• Выше мы обозначили через R расстояние от фокальной точки до ближайшей точки на фронте, в которой якобиан обращается в нуль.

Наша задачазаключается в том, чтобы отобрать такие углы поворота αi локальной системы координат, чтобы в этой системе координат выполнялось бы неравенство Ri > R0. Здесь R0 заданная константа. Мы делаем следующимобразом. Берем в качестве исходной системы координат систему (x′1, x′2).Далее начинаем ее вращать с каким-то шагом, например один градус, ивычислять величины Ri. После того, как мы сделали полный оборот на360◦, мы получили набор допустимых углов поворота локальной системыкоординат α1 , .

. . , αN . На следующем этапе происходит отбор, в результатекоторого определяется ”лучший” угол поворота.• Отбор ”лучшего” угла поворота происходит следующим образом. Область,в которой построен профиль в окрестности регулярных точек фронта, пересекается с областью, в которой будет строиться фокальный профиль.Вычисление фокального профиля в допустимой для этого области не зависит от положения точки в которой он вычисляется. Напомним также, чтопрофиль в окрестности регулярных точек фронта строится на отрезках,перпендикулярных фронту.

Поэтому мы берем граничный отрезок регулярного профиля, который попадает в фокальную область (это будет первый отрезок или последний) и находим все те его точки, которые попадаютв фокальную область, т.е. в прямоугольник. В этих точках мы вычисляемпрофиль по формулам для окрестности фокальных точек. Итого мы имеем:набор точек отрезка (xi1, xi2), .

. . (xm1, xm2), значения регулярного профиляRв этих точках η1R , . . . , ηmи значения только что посчитанного фокальногоFпрофиля в этих же точках η1F , . . . , ηm. После этого мы вычисляем суммуm Pη R − η F . Мы вычисляем сумму отклонений для всех угловотклоненийjjj=1поворота α1 , . . . , αN и выбираем угол αk , для которого сумма отклоненийминимальна.

Можно выбрать другой критерий отбора, например, можно55выбирать оптимальный угол αi из условия max ηjR − ηjF −→ min. На Риjсунке 3.14 зелеными пунктирными линиями изображена локальная ”оптимальная” система координат (x′′1 , x′′2 ), которая повернута на угол α = 0.436относительно системы координат (x1, x2).Рис. 3.15. Сечение волнового профиля в ме-Рис. 3.16. График якобиана в повернутойсте склейкисистеме координатНа Рисунке 3.15 изображено сечение волнового профиля в месте склейки,по которому происходил отбор лучшего угла поворота локальной системы координат.

Профиль, который пониже и изображен красным, соответсвует фокальному профилю. На Рисунке 3.16 изображен график якобиана в повернутойлокальной системе координат.Рис. 3.17. Склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точкиНа Рисунках 3.17, 3.18 изображена склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в56Рис. 3.18. Склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точкиокрестности фокальной точки.