Диссертация (1102250), страница 11
Текст из файла (страница 11)
, N − 1 происходитобновление существующих каустик. Для этого на фронте находятся фокальныеточки и добавляются к соответствующим каустикам.Опишем, как происходит обнаружение новых каустик. Пусть для расчетаволнового фронта используется какой-нибудь численный метод, например метод Рунге-Кутта. Тогда на каждом шаге по времени для каждой точки фронтавычисляется знак стандартного якобиана J = det |Ẋ, Xψ |.
Число перемен знака у якобиана вдоль фронта равно числу фокальных точек на фронте. Есличисло фокальных точек больше, чем число существующих каустик, значит нафронте появилсь новые фокальные точки и, соответственно, новые каустики. Втом случае, если на фронте появились новые фокальные точки, то, во-первых,их надо найти. Далее, надо понять, какие из только-что найденных фокальныхточек служат началом новых каустик. Делается это следующим образом. Мысмотрим какой угол был у той фокальной точки, которая последний раз добавлялась в какую-нибудь существующую каустику (это значение хранится вчлене angle).
Затем, в силу того, что угол вдоль каустики меняется слабо, мынаходим самую близкую по углу новую фокальную точку к данной каустике,и говорим что эта фокальная точка принадлежит каустике. После того, какмы установили соответствие между новыми фокальными точками и уже существующими каустиками у нас останутся те фокальные точки, которые служатначалом новых каустик.
Пусть все каустики хранятся в массиве caustic, каждый элемент которого имеет тип Caustic. После того как новые каустики былидобавлены в массив caustic, мы сортируем этот массив по углу angle. Сортировка удобна тем, что при обновлении каустик не надо задумываться над тем,какая фокальная точка какой каустике принадлежит. Достаточно последовательно вдоль фронта найти все фокальные точки и последовательно добавитьих к существующим каустикам.Пусть в момент времени t∗ образовалась новая каустика.
Тогда количество88элементов n будет вычисляться по формуле n =T − t∗· (N − 1) + 2. ПерваяTточка каустики записывается в момент ее зарождения. Все остальные точкизаписываются в моменты времени, в которые происходит обновление каустик.В момент создания новой каустики существующие каустики не обновляются.При таком подходе под каустики не будет выделяться лишняя память.Глава 6ЗаключениеВ работе было проведено исследование асимптотического решения задачи Кошидля двумерного волнового уравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным дном с учетомимеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик. Было построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек, исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальныхточек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта.Было построено и исследовано асимптотическое решение при малых временах.Было рассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводными хребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временные каустики.
В дальнейшем предполагается адаптировать полученные в данной работе алгоритмыдля расчетов цунами на реальном дне.89Литература[1] Ludwig, Donald, Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem,Commun. Pure Appl. Math. 13, 473-508 (1960).[2] В.М. Бабич, Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, Матем.
сб., 52(94):2 (1960), 709–738[3] В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир, М., 1981[4] Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.4. Интегральные операторы Фурье, Мир, М., 1988[5] В.П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, М.: МГУ,1965[6] В.П. Маслов, Операторные методы, М.: Наука, 1973[7] В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М.: Наука, 1976[8] В.П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений, М.: Наука, 1988[9] В.
П. Маслов, Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений, М.: Наука, 1987[10] В.П. Маслов, Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях,Москва, Наука, 19779091[11] В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Логарифмическая асимптотика быстроубывающих решений гиперболических по Петровскому уравнений, Матем.Заметки, 1989, 45:5, 50-62[12] В.М.
Бабич, В.С. Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М.:Наука, 1972[13] В.М. Бабич, В.С. Булдырев, И.А. Молотков, Пространственно-временнойлучевой метод. Линейные и нелинейные волны, СПбГУ, 1985[14] В.М. Бабич, В.С. Булдырев, Искусство асимптотик, Вестник Ленинград., 1977, 13, No 3, 5-12[15] В.М. Бабич, Об одном формальном способе построения коротковолновойасимптотики функции Грина, Тр. МИАН СССР, 115 (1971), 10–13[16] Б.Р. Вайнберг, Асимптотические методы в уравнениях математической физики, М.: МГУ, 1982[17] Л.М.
Бреховских, Волны в слоистых средах, М.: Наука, 1973[18] Ле Ву Ань, Классическая асимптотика свободного уравнения Шредингера для вычисления поправок в методе стационарной фазы, ТМФ, 25:2(1975), 270–274[19] Ле Ву Ань, Комплексный метод ВКБ для вычисления асимптотики фазовых интегралов, ТМФ, 28:2 (1976), 281–287[20] В.Г. Данилов, Ле Ву Ань, Об интегральных операторах Фурье, Матем.сб., 110(152):3(11) (1979), 323–368[21] В.В.
Кучеренко, Асимптотика решения системы A(x, −ih∂/∂x)u = 0при h → 0 в случае характеристик переменной кратности, Изв. АНСССР, Сер. Мат., 38, No 3, 625-662, 197492[22] Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, Асимптотики решений дифференциальных уравнений на комплексных многообразиях, Матем. сб., 1988, том137(179), номер 3(11), страницы 381–416[23] S.Yu.
Dobrokhotov, M. Rouleux, The semi-classical Maupertuis-Jacobycorrespondence for quasi Periodic Hamiltonian flows with applications tolinear water waves theory, Asymptotic Analysis, 2011, Vol. 74, No.1,2, pp.33–74[24] J. Bruening, S. Yu. Dobrokhotov, S. Ya. Sekerzh-Zen’kovich, and T. Ya.Tudorovskiy, Spectral Series of the Schroedinger Operator in a Thin Waveguidewith a Periodic Structure. 2. Closed Three-Dimensional Waveguide in aMagnetic Field, Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 18, No.
1,2011, pp. 33–53[25] С.Ю. Доброхотов, Г. Макракис, В.Е. Назайкинский, Т.Я. Тудоровский,Новые формулы для канонического оператора Маслова в окрестностифокальных точек и каустик в двумерных квазиклассических асимптотиках Теоретическая и математическая физика, 177:3 (2013), 355–386[26] С.Ю. Доброхотов, Д.С. Миненков, О фазовом сдвиге в анзаце Кузмака–Уизема, Теоретическая и математическая физика, Том 166, № 3, март,2011, С. 303-316[27] S.Yu. Dobrokhotov, P.N. Zhevandrov, Asymptotic expansions and the Maslovcanonical operator in the linear theory of water waves. I. Main constructionsand equations for surface gravity waves, Russian J.of Math.
Physics, 2003,v.10, N 1, pp.1-31[28] С. Ю. Доброхотов, П.Н. Жевандров, В.П. Маслов, А.И. Шафаревич,Асимптотические быстро убывающие решения линейных строго гипер-93болических систем с переменными коэффициентами, Матем. Заметки,1991, 49:4, 31-46[29] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, T.Ya. Tudorovskiy,The description of tsunami waves propagation based on the Maslov canonicaloperator Doklady Mathematics, 74, No. 1, 592-596 (20056).[30] S.Yu. Dobrokhotov, A.I. Shafarevich, B. Tirozzi, Localized wave and vorticalsolutions to linear hyperbolic systems and their application to the linearshallow water equations, Russ. Jour.Math.Phys., v.15, N2, 2008, pp.192-221[31] С.Ю.
Доброхотов, Б. Тироцци, А.И. Шафаревич, Представления быстроубывающих функций каноническим оператором Маслова, Матем. заметки, 2007, 82:5, 792–796[32] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B.Volkov, Explicitasymptotics for tsunami waves in framework of the piston model, Russ. Journ.Earth Sciences, 8, ES403, 1-12 (2006).[33] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B.Volkov, Asymptoticdescription of tsunami waves in a frame of the piston model: the generalconstructions a explicitly solvable models, in Fundamental and AppliedGeophysics, (Sankt-Petersburg) N 2, 2009, pp.15-29 (in Russian)[34] S.Yu. Dobrokhotov , B. Tirozzi , C.A. Vargas, Behavior near the focal points ofasymptotic solutions to the Cauchy problem for the linearized Shallow waterequations with initial localized perturbations, Russ.J.Math.Phys. v.
16 N 2,2009, 228–245[35] S.Yu. Dobrokhotov, R.Nekrasov, B. Tirozzi, Asymptotic solutions of the linearshallow-water equations with localized initial data, Journal of EngineeringMathematics, Vol. 69, Issue 2 (2011), Page 225-24294[36] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, Ан.Г. Марчук, Численное моделированиеволн цунами, Новосибирск, Наука 1983[37] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, Ан.Г. Марчук, К.В. Симонов, Вычислительный эксперимент в проблеме цунами, Наука, Новосибирск, 1989[38] В.К.
Гусяков, Л.Б. Чубаров, Численное моделирование Шикотанского(Немуро-Оки) цунами 17 июня 1973 г., В ”Эволюция цунами от очагадо выхода на берег”, Радио и связь, М., 1982, 16-24[39] В.К. Гусяков, Л.Б. Чубаров, Численное моделирование возбуждения ираспространения волн цунами в прибрежной зоне, Изв. АН СССР, Сер.Физика земли, М., 1987, No 11, 53-64[40] В.Ю. Карев, К.В. Симонов, Л.Б. Чубаров, Ю.И. Шокин, Вычислительный эксперимент в проблеме цунами.
Детальное цунамирайонированиетихоокеанского побережья Камчатки, Исследования цунами, No 4, 1990,М., 64-84[41] A.S. Alexeev, V.K. Gusyakov, L.B. Chubarov, Yu.I. Shokin, Numericalsimulation of tsunami generation and propagation in the ocean with a realbathymetry. Nonlinear model., Symp. of Tsunamis, Mexico, 1977, MarineScience Directorate, Ottawa, 1978, 37-51[42] An.G. Marchuk, L.B. Chubarov, Yu.I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
