Диссертация (Моделирование возмущенных движений Земли относительно центра масс на коротких интервалах времени), страница 4

Наблюдаетсятакженерегулярный дрейф со скоростью около 0.005" в год в сторону СевернойАмерики. Эти компоненты движения относятся к основным в описаниитраектории земного полюса.В [6-8, 17] предлагается сравнительно простая модель движения полюса втерминах теоретической и небесной механики. Её основу составляет анализорбитального движения центра масс системы Земли–Луна (барицентра), учетквазистатической деформации тензора инерции и суточного прилива в мантииЗемли, обусловленной гравитационно-приливным воздействием Солнца и Луны.Для построения упрощенной математической модели первого приближениявоспользуемся классическими динамическими уравнениями Эйлера-Лиувилля спеременным тензором инерции J [17]:ɺ + ω × Jω = M ,JωJ = J * + δJ ,ω = ( p, q, r ) ,TJ * = const , δJ = δJ ( t ) ,J * = diag ( A* , B* , C* ) ,(1.9)δJ ≪ J * .Здесь ω – вектор угловой скорости в некоторой связанной с Землей гринвичскойгеоцентрической системе координат, оси которой приближенно совпадают сглавнымицентральнымиосямиинерцииJ*сучётомдеформаций«замороженной» Земли, обусловленных сложным движением - собственнымвращением и движением относительного барицентра системы Земля-Луна.23Считается, что малые вариации тензора инерции δJ могут содержатьразличные гармонические составляющие, обусловленные влиянием лунносолнечных суточных приливов, и, возможно, другие (годичные, полугодичные,месячные, полусуточные и т.п.).

В качестве основных возмущающих внешнихмоментов сил M, вызывающих нутационные колебания земного полюса,принимаются гравитационно-приливные воздействия от Солнца и Луны.ɺ не приводит к уточнению моделиВозможное наличие слагаемого типа Jωпервого приближения.Кинематические уравнения Эйлера, задающие ориентацию связанных осейотносительно орбитальной системы координат имеют вид:θɺ = pcosφ − qsinφ − ω0 (υ ) sinφ ,υɺ = ω0 (υ ) = ω* (1 + ecosυ ) ,2ψɺ =psinφ + qcosφ− ω0 (υ ) ctgθcosψ , e = 0.0167 ,sinθφɺ = r − ( psinφ + qcosφ ) ctgθ + ω0 (υ )(1.10)cosψ.sinθЗдесь υ ( t ) – истинная аномалия, e - эксцентриситет орбиты, ω* - постоянная,определяемая гравитационным и фокальным параметрами.

Структура выраженийдля компонент момента гравитационных сил от Солнца имеет вид:()M q = 3ω2  A* + δA − ( C* + δC ) γr γ p + δJ pq γr γq + δJ pr ( γr2 − γ 2p ) − δJ rp γ p γq  ,ω = ω* (1 + ecosυ ) , γ p = sinθsinφ ,3/2(1.11)γq = sinθsinφ , γr = cosθ .24Для вычисления M p, r делается циклическая перестановка индексов p, q, r. Впервом приближении решение кинематических уравнений Эйлера (1.10) будетr = r 0 , φ ≈ rt + φ0 , υ ≈ ω* t + υ 0 ,cosθ (υ ) = a ( θ 0 , ψ 0 ) cosυ , θ ( 0 ) = θ 0 = 66033' ,0.4 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ ψ 0 ≤ 2π ,(1.12)cosθsinθ = b ( θ 0 , ψ 0 ) cosυ + dcos3υ + … ,40.4 ≤ b ≤ π ,3d ≪ 1.Вторая и более высокие гармоники по υ приводят к величинам, меньшимосновных в 102 ÷ 103 раз, и поэтому не учитываются. Величина B* − A* такжесущественно меньше, чем C* − A* (приблизительно в 160 раз).Оценка членов уравнений (1.9) для p, q приводит после усреднения побыстрой фазе ϕ (собственному вращению) к упрощенной аналитической моделивида:pɺ + N p q = κ q r 2 + 3bω*2 χ p cosυ ,qɺ − N q p = −κ p r 2 − 3bω*2 χ q cosυ ,(1.13)p (0 ) = p0 , q ( 0 ) = q0 ,N p ,q ≅ N ≅ 0.84ω* .Здесь κ p ,κ q – средние значенияδJ pr*B,δJ qrA*, которые могут быть медленнымифункциями времени.

Величины χ p , χ q получаются в результате усреднения по φ25коэффициентов при cosυ в компонентах момента гравитационных сил от Солнца,они обусловлены суточными приливами. Моменты сил гравитации от Луны смесячным периодом 27.55 суток не учитываются из-за относительной малости ихвлияния на колебательные процессы земного полюса. Правые части уравнения(1.9) содержат в явной форме гармоническое воздействие с годичным периодом,объясняющее механизм нутационных колебаний, регистрируемых наблюдениямиМСВЗ.Введём переменные x (τ ) = p ( t ) , y (τ ) = q ( t ) , где τ =вгодах.Приведёмt– время, измеряемоеThвыражения координат полюса для модели первогоприближения с учетом коэффициентов тренда cx , y , чандлеровской axc,,sy , годичнойd xc,,ys компонент:x (τ ) = c x (τ ) − a xc cos 2π Nτ + a xs sin 2π Nτ − Nd xc cos 2πτ + d xs sin 2πτ ,y (τ ) = c y (τ ) − a cy cos2πNτ + a ys sin2πNτ − Nd yc cos2πτ + d yssin2πτ ,(1.14)N = 0.845 ÷ 0.850 .Численноезначениечандлеровскойчастотывыбираетсянаосноведисперсионного анализа.

Неизвестные сx , y , axc,,sy , d xc,,ys вычисляются с помощьюметода наименьших квадратов по ежесуточным данным изменений МСВЗ [9]. Приопределенииэтихкоэффициентовследуетиметьввидуравенстваaxc , s ≈ a ys ,c , d xc ,s ≈ d ys ,c , являющиеся структурным свойством модели.261.4Численноемоделирование:интерполяцияипрогнозтраекториидвижения полюса Земли.Адекватнаяастрометрическимданнымтеоретическаямодель,рассмотренная в предыдущем параграфе, содержит небольшое число неизвестныхпараметров, подверженных малым вариациям вследствие нестационарностивозмущающих факторов. Оптимальные значения этих параметров находятся спомощью метода наименьших квадратов на основе статистической обработкиастрометрическихданныхвысокоточныхизмеренийугловыхпараметровдвижения Земли.

Удаётся установить высокую точность интерполяции процессаколебаний полюса на интервалах времени до 10-15 лет. Этот экспериментальныйфакт убедительно обосновывает небесномеханическую трактовку гравитационноприливногомеханизма.Посредствомнастройкиалгоритмаоптимальнойфильтрации производится надежный прогноз движения полюса, соответствующийданным наблюдений и измерений МСВЗ [59].

Ниже проводится интерполяцияупрощенной модели без учёта мелкомасштабных колебаний, обусловленныхвозмущающими факторами с комбинационными частотами.Численные расчёты проводились на основе упрощенной процедуры методанаименьших квадратов. Алгоритм применялся независимо к переменнымx(τ ), y (τ ) в виде шестимерных аппроксимаций согласно построенной модели (1.4)x ( τ ) = ( ζ , f ( τ ) ) , y ( τ ) = ( µ, f ( τ ) ) ,ζ = ( ζ1 ,…, ζ 6 )T, µ = ( µ1 ,…, µ6 ) ,T(1.15)f ( τ ) = (1, τ, cos2πN τ, sin2πN τ, cos2π τ, sin2π τ ) ,T27N ≈ 0.845 − 0.850 .Получены интерполяция траектории полюса на интервалах времени 6, 12 лети более и прогноз на 1-3 года.

Шестимерные векторы ζ , µ подлежатопределению. Между компонентами векторов ζ , µ и коэффициентами модели(1.9)имеетместовзаимно-однозначноесоответствие.Исследованиеэффективности интерполяции и прогноза движения полюса на основе ежедневныхданных измерений МСВЗ свидетельствует об удовлетворительной точностипостроенной модели (1.15).В ряде практически важных задач, например, касающихся вопросовнавигации, существенную роль может играть прогноз на коротком интервалевремени (1- 2 месяца).Изтеориифильтрациислучайныхвременныхпоследовательностейобщеизвестно, что оптимальная оценка измеряемых случайных процессов естьрезультат компромисса между динамической (точность модели) и стохастической(точность измерений) ошибками.

Длительность интервала интерполяции, т.е.число обрабатываемых измерений, выбирается из условия минимума взвешеннойсуммарной ошибки при заданном наборе небольшого числа опорных функций.Анализ погрешности свидетельствует, что ее уменьшение достигаетсяповышением точности модели (выбором указанных функций).Это позволяет удлинить интервал обработки (увеличить число замеров) итем самым уменьшить дисперсии случайных составляющих оценок искомыхпараметров и всего процесса в целом. Однако возможности такого подхода весьмаограничены, так как рост числа функций и тем самым оцениваемых параметров28резко увеличивает указанные дисперсии при фиксированном числе замеров(интервалаобработки).Практическион оправдывается,еслидобавлениенебольшого числа (одной-двух) опорных функций позволяет существенноуменьшить динамическую погрешность, т.е.

увеличить относительную точностьмодели на порядки.Построение вектора опорных функций, адекватных модели процесса, атакже определение интервала интерполяции представляют основной интерес длязадачи фильтрации и прогноза. Радикальным способом повышения точностиинтерполяции и прогноза является уменьшение ошибок измерений, погрешностейих предварительной обработки и искажений при интерпретации данных. Этоможет позволить существенно сократить интервал интерполяции и тем самымуменьшить динамическую погрешность.Однако значительное повышениеточности наблюдений и измерений может быть достигнуто за счет огромныхматериальных затрат на разработку технических средств.

Реальное уменьшениеизмерительных погрешностей происходит весьма медленно, поэтому основныевозможностиуточненияоценокзаключаютсявпостроенииадекватныхматематических моделей процессов и соответствующих методов статистическойобработки данных наблюдений и измерений. Конечно, наиболее эффективнымоказывается сочетание обеих возможностей уменьшения динамических истохастических погрешностей.29Рис. 1.1. Восьмилетняя интерполяция (2002 - 2010 гг.) и двухлетний прогноз (2010- 2011 гг.) координат полюса x(τ ), y (τ ) .30Рис. 1.2. Четырехлетняя интерполяция (2004 - 2008 гг.) и четырехлетний прогноз(2008 - 2011 гг.) координат полюса x(τ ), y (τ ) .31Рис. 1.3.

Годичная интерполяция на 2011 г. и краткосрочный ( ∼ 150 сут.) прогнозкоординат полюса x(τ ), y (τ ) .32Для реальной ситуации, отвечающей современным данным МСВЗ,повышение точности краткосрочного прогноза (0.5-3 месяца) достигаетсяуменьшениемдлительностиинтервалаинтерполяции.Этообусловленоуменьшением динамической ошибки аппроксимации процесса и сравнительновысокой точностью измерений.

Процедура оптимизации интервала и его влиянияна прогноз иллюстрируется на графиках рис 1.1-1.3. Длительность интервалаобработки уменьшалась от 8 лет до 1 года (от 2922 до 365 точек). Установлено,что для однолетнего интервала обработки (рис. 1.3) погрешность прогнозасоставляет величину 10 −3 угл.

сек на промежутке порядка 1.5 месяца по оси x и2.5 месяца по оси у, т.е. линейная ошибка прогноза порядка 5 ÷ 10 см.Интерполяция на четырехлетнем интервале и соответствующий четырехлетнийпрогноз (рис.1.2) являются «умеренно удовлетворительными».Изграфиков рис.1.1-1.3видно,чтонаиболее высокая точностьинтерполяции достигается обычно в средней части интервала. Это свойствоприсуще методу наименьших квадратов и оно общеизвестно. В частности,теоретически его можно установить в случае полиномиальной фильтрации, т.е.набора опорных функций в виде полиномов (обычно невысокой степени) отвременного параметра сглаживания. Поэтому повышение точности прогноза накоротком интервале, примыкающем к концу интервала интерполяции, может бытьдостигнуто введением «весовых» коэффициентов в алгоритме метода наименьшихквадратов и их относительным увеличением к концу интервала. Это означает, чтов оценках параметров влияние конечных измерений будет больше, а начальных –меньше.33Алгоритм фильтрации может содержать небольшое число параметров,которые позволят регулировать указанные весовые множители и оптимизироватьалгоритм, в зависимости от предыдущих результатов интерполяции и прогноза.Такая настройка эквивалентна выбору эффективной длительности интервалаинтерполяции, т.е.

«памяти» фильтра.Построенная в начале 2010 г. 8-летняя интерполяция (с 2002 по 2010 гг.) и 2летний прогноз на 2010-2011 гг. оказались высокоточными и привели кмаксимальной погрешности 0.02" , т.е. 60 см для ∆t = 500 сут. (рис. 1.1).Среднеквадратичнаяугловаяошибкасоставляетвеличину≤ 0.01" ,чтосоответствует линейной ошибке около 20 см.34Глава II Небесномеханическая модельнеравномерности вращения деформируемой Земли2.1 Неравномерности осевого вращения Земли и атомная шкала времениВ настоящее время построена единая высокоточная, независимая отсуточного и орбитального движения Земли, равномерная физическая шкалаатомного времени (TAI).