Диссертация (Моделирование возмущенных движений Земли относительно центра масс на коротких интервалах времени), страница 8

Угловые переменные Ai суть линейные73комбинации с целочисленными коэффициентами следующих шести параметров:τ 0 , lM ,S , pM ,S , ΩM . Величина τ 0 есть гринвичское среднее лунное времяτ 0 = t − lM + lS , где t гринвичское среднее солнечное время. Параметры lM и lSсуть средние долготы Луны и Солнца соответственно с периодами 27.55 и 365.25звездных суток. Величина pM есть средняя долгота перигея Луны, изменяющаясяс периодом 8.85 года, а pS - средняя долгота перигея Солнца, изменяющаяся спериодом 25.700 лет. Параметр Ω M определяет долготу восходящего узла Луны:он изменяется с периодом 18.61 года.Суммы∑(j)iучитывают соответственно долгопериодические, суточные иполусуточные гравитационно-приливные воздействия Луны на Землю. Отметим,что для анализа годичных колебаний полюса основной интерес представляютсоставляющие потенциала гравитационно-приливных сил от Луны, отвечающиесуточнымприливам.Учитываютсякомпонентывоздействияс6-летнеймодуляцией, обусловленной лунно-солнечной прецессией.Внутрисуточные вариации δ J ij(ϕ ) , δ J ij(2ϕ ) содержат составляющие колебанийс комбинационными частотными υ i пространственного варианта задачи ичастотами ϑɺ j , обусловленныминерегулярнымивозмущениями.Например,суточные колебания приливных выступов κ p , κ q представимы следующимобразом:κ (pϕ ) = ∑ Ai(ϕ ) cos(ϕ + α i ) ,(2.37)i74κ q(ϕ ) = ∑ Bi(ϕ ) cos(ϕ + β i ) ,iгде амплитуды Ai(ϕ ) , Bi(ϕ ) подлежат определению из наблюдений; фазы α i , βiсоответствуюткомпонентамприливообразующегогеопотенциала.Следуетотметить, что в отличие от случая регулярных колебаний приливного потенциалавязкоупругой планеты, когда κ q(ϕ ) ≈ κ (pϕ +π /2) , функции κ (pϕ ) и κ q(ϕ ) принимаютсясущественнонаблюдаемыеразличными.компоненты,Онимогуткоторыесодержатьпроизвольногоаппроксимируютсявидагармоническимисоставляющими с частотами ϑɺ j .

Полусуточные составляющие приливныхкоэффициентов – горбов и выступов – имеют аналогичный выражениям (2.37)вид.3.2 Моделирование внутрисуточного колебательного процесса земногополюсаВыражения координат земного полюса x p , y p в результате решения системыпредставим в виде суммы:x p = x p + x(pϕ ) + x(p2ϕ ) ,(2.38)y p = y p + y(pϕ ) + y(p2ϕ ) ,где x p , y p - основная математическая модель колебаний земного полюса [8, 40-42],ϕ)ϕ)а x (pϕ ) , y (pϕ ) , x (2, y (2- суточные и полусуточные слагаемые модели егоppвысокочастотных колебаний:75x (pϕ ) = ∑ ai(ϕ ) cos(ϕ + υi + α iϕ ) + ∑ c (jϕ ) cos(ϕ + ϑ j + β ϕj ) ,ijy (pϕ ) = ∑ ai(ϕ ) sin(ϕ + υi + α iϕ ) + ∑ c (jϕ ) sin(ϕ + ϑ j + β ϕj ) ,i(2.39)jϕ)x (2= ∑ ai(2ϕ ) cos(2ϕ + υi + α i2ϕ ) + ∑ c (2j ϕ ) cos(2ϕ + ϑ j + β j2ϕ ) ,pijϕ)ϕ)y (2= ∑ bi(2ϕ ) cos(2ϕ + υi + γ i2ϕ ) + ∑ d (2cos(2ϕ + ϑ j + δ 2j ϕ ) .pjijВыражение (2.39) определяется как сумма гармонических составляющих основных известных внутрисуточных и близсуточных волн (K1, P1, K2, J1, M1,SO1 и т.д.), подтверждаемых наблюдениями МСВЗ [59].

Эти составляющиеполучаются естественным образом из динамических уравнений Эйлера-Лиувиллякак комбинации суточного и полусуточного колебаний с лунно-солнечнымигравитационно-приливными возмущениями.В частном случае решения рассмотренных уравнений для предельнокороткого интервала времени (1-3 суток) определять высокочастотные колебаниябудут полусуточная и суточная гармоники. А именно, если главными частотами вмодели (2.39) являются полусуточные гармоники, то в течение суток наблюдаютсядва ускорения и два замедления; если суточная частота - главная, то наблюдаютсяодно ускорение и одно замедление.В построенной модели (2.38) и (2.39) амплитуды и фазы внутрисуточных иблизсуточных колебаний осевого вращения Земли являются коэффициентами свысокой чувствительностью к изменению элементов орбиты Луны, положению наорбите и скорости орбитального движения Земли и Луны.

При прогнозированиина короткие интервалы времени (от одних до нескольких суток) указанные76коэффициенты считаются медленными функциями времени и рассматриваютсякак квазипостоянные, для которых требуется регулярная корректировка на основеданных наблюдений.На основе оценок слагаемых модели главным образом коэффициентыκ p , κ q определяют положение мгновенной оси деформируемой фигуры Земли.Между коэффициентами модели существует структурное свойство, при которомбудет выполняться равенство y (pϕ ) = x (pϕ +π /2) .Приведем результаты численного моделирования, выполненного на основеметода наименьших квадратов, в сравнении с высокоточными данныминаблюдений и измерений МСВЗ и РСДБ-наблюдений.На рис 3.3 приведены интерполяция внутрисуточных колебаний координатx p , y p земного полюса на интервале времени с 12.08.2008 г.

по 24.08.2008 г. ипрогноз на двое суток в сравнении с данными РСДБ-наблюдений (наблюденийрадиоинтерферометрии со сверхдлинными базами) (здесь и далее координатыx p , y p измеряются в угловых миллисекундах).Моделирование результирующей траектории земного полюса проводитсянезависимо для основной модели ( x p , y p ) и модели его внутрисуточных колебанийϕ)ϕ)( x (pϕ ) + x (2, y (pϕ ) + y (2) согласно.pp77Рис. 3.2. Интерполяция внутрисуточных колебаний координат x p , y p земногополюса на интервале времени с 12.08.2008 г. по 24.08.2008 г.

и прогноз на двоесуток в сравнении с данными РСДБ-наблюдений. Точки – данные наблюдений,сплошная линия – теоретическая модель.78Рис. 3.3. Интерполяция (с 12.08.2008 г. по 24.08.2008 г.) и прогноз (с 25.08.2008 г.по 26.08.2008 г.) координат земного полюса x p , y p . Точки – данные наблюдений,сплошная линия – теоретическая модель.79Рис. 3.4. Интерполяция (с 12.08.2008 г. по 24.08.2008 г.) и прогноз (с 26.08.2008 г.по 26.08.2008 г.) траектории земного полюса. Точки – данные наблюдений,сплошная линия – теоретическая модель.80Рис.3.5. Интерполяция (с 15.09.2011 г. по 27.09.2011 г.) и прогноз (с 27.09.2011 г.по 29.09.2011 г.) траектории земного полюса. Точки – данные наблюдений,сплошная линия – теоретическая модель.81Основная траектория полюса строится с помощью взвешенного методанаименьших квадратов на длительном интервале интерполяции, примыкающем кпрогнозируемому интервалу. На рис 3.4 приведены интерполяция с 12.08.2008 г.по 24.08.2008 г.

и прогноз с 26.08.2008 г. по 26.08.2008 г.На рис. 3.5 приводятся интерполяция (с 15.09.2011 по 27.09.2011) и прогноз(с 27.09.2011 по 29.09.2011) координат земного полюса x p , , y p и его траекториисогласно разработанной модели (2.38) в сравнении с данными наблюдений иизмерений МСВЗ.Заметим,чтоизанализарезультатовчисленногомоделированиясреднесуточного движения земного полюса на различных интервалах времениоценки точности прогноза основной модели лежат в пределах 1.5 ÷ 2 см .Таким образом на основе динамических уравнений Эйлера-Лиувилля сучетомнерегулярныхвозмущенийнайденыструктурныесвойствавнутрисуточных колебаний координат полюса Земли. Приведено сравнениерезультатов моделирования движения земного полюса с высокоточными даннымиРСДБ-наблюденийнакороткоминтервалевремени[29,38,40,58],подтверждающее адекватность модели.В качестве дальнейшего развития построенной модели представляетсяцелесообразным исследование резких непрогнозируемых флуктуаций и их связи сгеофизическими процессами планетарного масштаба, а также учет нерегулярныхфлуктуаций стохастического характера в рамках комбинированных спектральнокорреляционных моделей [32, 36, 37, 45, 46].823.3 Среднесуточное движение полюса Земли (интерполяция и прогноз)Для прикладных целей представляет интерес построение прогноза движенияполюса Земли на предельно коротких интервалах времени, например, 1-2 суток[19-21, 34, 35, 41, 52, 53, 56].

Короткопериодические (высокочастотные)субсуточные(от«среднесуточного»3часовполюсадосуток)могутнерегулярныебытьобусловленыколебанияземногоуказаннымивышегеофизическими факторами. Учет второстепенных воздействий, в том численерегулярных, имеющих стохастический характер, как отмечалось, на данномэтапе исследований не представляется целесообразным и оправданным вследствиенедостаточно высокой точности и полноты геофизических измерений, а такжетрудностей их интерпретации и учета [2, 27, 33, 40-43, 49].

Рассмотрим решениезадачи интерполяции и прогноза среднесуточного движения земного полюса( x p , y p ) на основе полиномиального фильтра, полученного методом наименьшихквадратов. В пределах точности наблюдений и измерений хаотические отклонениявнутри суток x p , y p колеблются на уровне угл. мсек., т.е. порядка 5 ÷ 10 см.Необходимо по текущим данным измерений:zi − j = z (ti − j ) = xi − j + ξi − j ,j = 0,..., n ,(2.40)где x и ξ - соответственно неизвестные точное значение и ошибка измеренийкоординатыполюсаПолиномиальная(кпримеру,фильтрациянаx p ) произвестиосновепроизведенных и интервале временидискретных[ti −n , ti ],оценкупараметров.измеренийМСВЗ,позволяет оценить параметрытраектории полюса (т.е.

координаты, скорость и ускорение) в текущий момент83времени ti . Число n+1 есть длительность интервала обработки и называетсяпамятью фильтра. Для построения оценок используется число точек n+1, котороетребуетсявыбратьнаосновевычислительныхэкспериментовдлясоответствующего критерия качества. Аналогичное выражение имеет место длякомпоненты y p .Предложим, что переменная x (t ) – координата полюса (для определенности,x p ) на интервале [ti − n , ti ] может быть достаточно точно аппроксимированаполиномом 2-го порядка P2 . Неизвестные коэффициенты полинома a0 , a1 , a2 , т.е.положение a0 (i ) , скорость a1 (i ) , ускорение a2 (i ) , будем оценивать оптимальнымобразом с помощью метода «взвешенных» наименьших квадратов на основе zi − j проводимых измерений. Заметим, что, поскольку решается задача фильтрацииизмерений для оценки параметров движения в текущий момент времени ti , тополином целесообразно строить, используя в качестве коэффициентов параметрыдвижения в текущей точке ti .Для искомого полинома P2 получается следующее представление:( − jh) 2,P2 ( a0 (i ), a1 (i ), a2 (i ), j ) = a0 (i ) + a1 (i )( − jh) + a2 (i )2(2.41)j = 0,1,..., n, ti − j = ti − jh .Здесь коэффициент a0 (i ) имеет смысл сглаженного текущего значения (оценки)координаты a0 (i ) = xi , a1 (i ) - сглаженной производной (скорости изменения)координаты a1 (i ) = xɺ = ν i , a2 (i ) - второй производной (ускорения) координаты84a2 (i ) = ɺɺx = ωi , аh–постоянныйшагдискретногоизменениявремени(эквивалентные измерения).Вектор X = a0 , a1 , a2Tбудем называть вектором состояния для координатыполюса x (“фазовым” вектором) полюса.

Аналогичный вектор Y строится длякоординаты y p . Таким образом, соотношение выражает значения оценкипеременной xi − j ( j = 0, ..., n) в интервале ti − n ... ti через значения фазового вектора вточке ti . Значение фазового вектора неизвестно и подлежит определению изимеющихсянаинтервале ti − n ... ti измеренийzi − j ( j = 0, ..., n). Погрешностиизмерений ξi − j на интервале фильтрации [ti −n , ti ] полагаем центрированными,некоррелированными и стационарными случайными величинами, распределениекоторых близко к нормальному.В качестве критерия оптимальности при определении оценки «фазового»вектора X i выберем:E = ∑{ zi − j − P2 [X i , j]} → min .n2ij =02Xi(2.42)Аналогичный (2.42) критерий минимизируется для оценки вектора Yкоординаты y p .Из условий минимума по a0 , a1 , a2 унимодальной функции Ei2 (a0 , a1 , a2 )записывается система линейных алгебраических уравнений для определениякоэффициентов a0 , a1 , a2 :85( − jh) 2  na+a(−jh)+a∑ 0 12 = ∑ zi − j ,2  j =0j =0 n( − jh) 2 j  n2∑ a0 j + a1 ( − j h) + a2 = ∑ jzi − j ,2j =0  j =1n(2.43)(− j 2 h)2  n 223+(−)+ajajha∑ 012 = ∑ j zi − j .2j =0  j =1nРазрешивлинейнуюсистему(2.43)относительнокоэффициентовak ( k = 0, 1, 2) , получим следующие выражения:a0a = ∑ F ( 2 )( j,n )zi − j , a = a1 ,j =0a2n(2.44)F0( 2 )F ( 2 ) ( j,n ) = F1( 2 ) ,F2( 2 )где функции F0(2) , F1(2) , F2(2) - соответственно весовые функции коэффициентовa0 , a1 , a2 , представляющие собой полиномы второго порядка от j вида:(2)0F3  3n 2 + 3n + 26(2n + 1) j10 j 2,=−+n + 1  ( n + 2)( n + 3) ( n + 2)(n + 3) ( n + 2)( n + 3) (2.45) 3n(n - 1)(2n + 1)62(8n - 3)(2n + 1)j30nj 2,F =+n(n - 1)h  (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3) (2)1(2)2F n(n − 1)606nj6 j2,=−+n( n + 1)( n − 1) h 2  ( n + 2)( n + 3) ( n + 2)( n + 3) ( n + 2)( n + 3) n ≥ 2,0 ≤ j ≤ n .862)Заметим, что весовые функции F0(,1,2(2.45) определяют несмещенные оценки(2.44) искомых величин на классе полиномов второго порядка.Согласно разработанной модели и данных наблюдений и измерений МСВЗпеременнаяx(t)прогнозируемом–координатаинтервале(ti,полюсаti+T)(дляможетопределенностибытьx p (t )) надостаточноточноаппроксимирована полиномом второго порядка:x p (t ) = x p (t ∗ ) + x p′ (t ∗ )t +1 ″ ∗ 2x p (t )t + Ο(t 3 ),2(2.46)где t ∗ - момент времени, соответствующий середине прогнозируемого интервала(ti, ti+T).