Диссертация (Моделирование возмущенных движений Земли относительно центра масс на коротких интервалах времени), страница 3

На внутренней границе перемещениячастиц упругой среды отсутствуют, а внешняя граница свободна.Влияние упругой податливости мантии на вращение Земли вокруг центрамасс изучалось в работах [12-16]. Вследствие важности этой проблемы на этапепостроенияматематическоймоделидвижениясистемыЗемля-Лунав15диссертационнойуточнениемработетензораприводятсяинерцииосновныевращающейсяположения,деформируемойсвязанныесЗемлисивычислением вектора кинетического момента и его производной по времени.Вследствие малости деформаций среда мантии описывается линейнойтеорией вязкоупругости, а процесс деформирования происходит квазистатически.Эти допущения позволяют применить строгие методы теоретической механики иметоды теории возмущений [5, 6], оценить упругие деформации и получитьаналитические выражения для главного центрального тензора инерции J *деформируемой Земли в квазистатическом приближении [16- 17].Упругие деформации u и u* в системах C2 xi и C2′ xi′ соответственно связанывыражением u* = u - uc , где uc − смещение центра масс относительно ядра.

Сцелью упрощения расчетов полагается, что мантия однородна и изотропна. Дляискомого вектора u имеют место уравнение состояния Эйлера-Коши [16-17] играничные условия на поверхности P Земли и поверхности P0 ядра:∆u +1ρ∇(∇, u) + Φ = 0, n.σ n |P = 0,µ1 − 2vu |P0 = 0.(1.1)Здесь ∆ – оператор Лапласа, ∇ – оператор Гамильтона, ρ – плотность, ν –коэффициент Пуассона, µ – модуль сдвига, Φ – массовая плотность сил инерции,n – вектор нормали к P, σ n – тензор напряжений. Далее в квазистатическомприближении ( u = uɺ = 0 ) проводится исследование уравнения (1.1).16Важно отметить, что в функции Φ можно пренебречь также членом,ɺ , где ω – вектор угловой скорости вращения Земли. Этосодержащим ωобусловлено близостью вектора ω к главной оси инерции – оси фигуры Земли.Представим искомую функцию в виде u = u0 (r) + u* (r, t ) , где u0 –квазистатическое смещение (статический экваториальный выступ),а u* –деформации, вызванные приливными гравитационными силами Луны и Солнца.Функция u0 – определяется на первом этапе исследований для уточнения тензораинерции деформируемой Земли при построении модели движения полюса насравнительно коротких промежутках времени.

Она находится как решениекраевой задачи (1.1) при Φ = ω × (ω × r ) и может быть представлена в видеразложения по степеням числового параметра ρω 2 R 2 µ , где R – характерныйлинейный размер(радиус Земли).астрометрическихданныхСоответствующимоцениваетсядобавкаобразом сучётомu* , характеризующаядиссипативные приливные моменты сил.Выпишем вектор G кинетического момента Земли в деформированномсостоянии и его производнуюG u = ∫ ( r + u ) × vρ dV ,Ωɺ = ( r + u ) × ( w + ω × v ) ρ dV .Gu∫(1.2)ΩЗдесь dV – элемент объёма, v и w – скорость и ускорение, вычисляемые поправилам кинематики для вращающейся системы координат.

Область Ω содержитабсолютно твёрдое ядро, для которого u ≡ 0 , и деформируемую мантию, для17ɺ (1.2) могуткоторой вектор u определяется согласно (1.1). Выражения для G и Gбыть упрощены отбрасыванием квадратичных членов по u . В результате удаетсяполучить представления, содержащие главную часть (недеформируемая планета)и малые добавки, обусловленные смещениями u и их производными по t.На основе асимптотического анализа уравнений движения в переменныхдействие-угол можно определить стабильные характеристики вращательноколебательного движения деформируемой Земли относительно центра масс вквазистатическом приближении.

Сперва находятся уточненные периоды (частоты)осевого вращения и чандлеровского колебания и проводятся сопоставления сданными спектрального анализа [13, 16, 17]. Даются оценки амплитуд свободныхколебаний вектора угловой скорости в связанной системе координат исравниваются с наблюдаемыми значениями. Далее с помощью кинематическихуравнений Эйлера и динамических уравнений Эйлера-Лиувилля строитсяматематическая модель первого приближения чандлеровских и годичныхколебаний полюса под воздействием гравитационно-приливных сил от Солнца иЛуны. С использованием численного моделирования строится траектория ипрогноз движения полюса Земли в сопоставлении с астрометрическими даннымиМСВЗ [59].1.2 Невозмущённое движение мгновенной оси вращения ЗемлиВажным на этапе исследования колебательного движения полюса Земли поддействием внешних возмущающих моментов гравитационно-приливных сил18является определение его невозмущённого движения.

В [17] с помощьюпеременных действие-угол выписывается функционал Рауса для модельной задачии строятся траектории в фазовом пространстве I j , ω j (j = 1, 2, 3). Далеезаписывается усреднённый по быстрым угловым переменным (собственномувращению и орбитальному движению) функционал Рауса R 0 :21 I 22 C * − A**α *R0 =.1 − µ 2  , µ =2 A* C*χ (1.3)Общее решение рассматриваемой на предварительном этапе усреднённойзадачи, отвечающей функционалу Рауса R0 , имеет следующий вид:I i ( t ) = I i0 = const , ω3 ( t ) = w30 ,0w1,2 ( t ) = n1,2t + w1,2, wi0 = const ,n1 = −π I2µκ,*2 A κ* χ K ( λ )*κ* = 1 + κ ,2χ = κ 1 + ε2 ,(1.4)πΠ  ,κ 2 , λ  *I A2 ,n2 = 2*  * + µ* A CK ( λ) π λ2K = + + O ( λ4 ) ,2 4Π=π+ O ( λ2 ) .2κ*Здесь A* , B* , C* - эффективные главные центральные моменты инерции с учётомдеформаций «замороженной» фигуры Земли; фазы w1 , w2 и частоты n1 , n2отвечают соответственно чандлеровскому движению полюсов и суточномувращению деформируемой Земли.

Для модели абсолютно твёрдой планеты имеет19месторегулярнаяпрецессияЭйлера-Пуансо.Врассматриваемомслучаедеформируемой Земли выражения (1.4) также описывают регулярную прецессию,но угловые скорости прецессии и собственного вращения изменяются нанекоторую относительно малую величину, обусловленную возмущающимифакторами.При возмущённом движении с учётом диссипативных свойств вязкоупругоймантии Земли имеет место регулярная прецессия с медленно изменяющимися вовременипараметрами,т.е.возникаетэволюциямедленныхпеременных,подлежащая изучению на основе асимптотических методов нелинейной механики.Оценка величины λ [17] для системы Земля-Луна свидетельствует о том,что величина µ* мала ( λ 2 ≈ 10 −14 ) . Это позволяет существенно упростить (1.4) ипредставить их с помощью алгебраических и тригонометрических функций.

Впервом приближении находим:χ22 µ*2=ε =.κ2κ*(1.5)После подстановки λ 2 в (1.4) для частот n1 , n2 получаются выражения:wɺ 1 = n1 = −wɺ 2 = n2 = −I 2 2 µ*  2 + κ*2 * µ ,1 −A* κ* 2κ*(1.6)I 2  A* µ* µ*2 +1+2κ−2−κ().*A*  C* κ *  2κ*Посредством (1.6) для n1 вычисляется теоретическое значение угловойскорости и периода колебаний T1* =2π≈ 430 сут. Полученное значение находитсяn120в хорошем соответствии с экспериментальными данными измерений периодаколебаний T1* = 420 ÷ 440 , известного как чандлеровский период колебанийполюса Земли [51, 6-8, 12-17].Движение полюса определяется как угловое смещение оси вращения в телепланеты относительно связанной системы координат.

Компоненты вектораугловой скорости представим через фазу w1 в виде разложений по маломупараметру ε ~ 10−6 . С относительной погрешностью Ο ( ε 2 ) ~ 10 −12 составляющиевектора угловой скорости равны [3, 6 , 7]:ω1 =ω2 =ω3 =u=λ I2*χ Acn ( u, λ ) = εI2cosw1 + Ο ( ε 3 ) ,*Aλ I22 I2usn,λ=ε1+κsinw1 + Ο ( ε 3 ) ,()**χBBκ I2χC*dn ( u, λ ) =(1.7)I2+ Ο ( ε3 ) ,*C2K ( λ ) w1 = w1 + Ο ( λ 2 ) w1 , ε = 1, 2 × 10−6 .πУгловые координаты, отвечающие свободной нутации (чандлеровскойкомпоненте движения ( xch , ych )), соответствующий угол α между осью фигуры иосью вращения и линейные координаты X c , Yc на касательной к геоиду плоскостис учётом главных членов разложений (1.7) определятся выражениями:xch =ω1 C* λ≈cosw1 ,ω A* κω2 C * λych = −≈κ sinw1 ,ω B* κ *(1.8)21X c = Rxch , Yc = Rych ,*2ω3ε  C*22 Ccosα =≅ 1 −  *2 cos w1 + (1 + χ ) *2 sin 2 w1  ,2 ABωmax X c Yc ≈ 7.5 м , R = 6.38 × 106 м.В первом приближении по ε полодия (спиралевидная кривая), отвечающаясвободной нутации с периодом Чандлера, есть эллипс с весьма малымэксцентриситетом e ≈ 0.005.

Данные МСВЗ подтверждают теоретические оценки(1.8) [54,59].Такимобразом,впромежуточномдвижениидеформируемаяЗемляравномерно вращается в поле центробежных сил инерции и гравитационного поляЛуны. Для абсолютно твердой планеты ( u = 0 ) имеет место регулярная прецессияЭйлера-Пуансо.Полученноерешение(1.4)являетсяпорождающимдляиспользования метода усреднения при учете возмущающих моментов силразличной физической природы.1.3ТеоретическаямодельколебательногодвиженияполюсаЗемли.Уравнения движения.В[4-17]наосновенебесномеханическихпредставленийстроитсяматематическая модель вращательно-колебательных движений Земли вокругцентра масс, которая адекватна астрометрическим данным МСВЗ и позволяетобъяснить наблюдаемые характеристики движения. Теоретическая модельудовлетворительно описывает чандлеровское движение полюса ( x p , y p ) типа22спирали с перемещающимся центром, содержащее колебания с периодом Tch = 433звездных суток и амплитудой0,20" - 0.25" , годичные колебания с периодомTh = 365 звездныхамплитудойсутоки0.07"-0.08".