Диссертация (Численно-аналитическое исследование параметров вращения Земли с приложениями для спутниковой навигации), страница 8

Численное моделирование колебаний координат земного полюсаПриведем результаты численного моделирования движения земногополюса на различных интервалах времени согласно моделям (2.7) и (2.19).Структуру решений (2.19) можно переписать в следующем удобном длячисленных расчетов виде:x p  cx ( )  axc ( )cos 2 ch ( )  axs ( )sin 2 ch ( )  Nd xc cos 2  d xs sin 2 ,y p  c y ( )  a cy ( )cos 2 ch ( )  a ys ( )sin 2 ch ( )  Nd yc cos 2  d ys sin 2 , (2.20) ch ( )  N *   ( )   ( )Здесь  - время, измеряемое стандартными годами.

Величины чандлеровской игодичнойчастотвыбиралисьнаосновеспектральногоанализаряданаблюдений координат земного полюса на интервале времени с 1970г. по2013г. Для N * принимается значение 0.843 циклов в год, а частота годичных57Рисунок 7 (а) Интерполяция вариаций второй зональной гармоники  c20 геопотенциала наинтервале времени 1984-2008 гг. и прогноз на шесть лет (2009-2014 гг.): звездочки, соединенныетонкой сплошной линией - данные измерений SLR; контрастная сплошная линия - построеннаякривая. (б) Вариация частоты  возмущенного чандлеровского колебания земного полюса,построенная в ходе численного моделирования (1990-2014 гг.).58колебаний выбрана постоянной.

Отметим, что для коэффициентов модели(2.20) должны выполняться структурные свойства - приближенные равенстваa xc , s ( )  a sy,c ( ), d xc , s ( )  d ys ,c ( ),аналогичные структурным свойствам модели (2.7).В ходе численного моделирования медленный дрейф (тренд) полюсапредставляется линейной функцией времени cx , y  cx0, y  c1x , y .Расчеты согласно основной модели (2.7) проводились с помощью методанаименьших квадратов, который применялся независимо к переменным x p , y p ввиде шестимерных аппроксимаций:x p ( )    , f ( )  ,y p ( )   , f ( )   (1 ,...,  6 )T ,   (1 ,... 6 )T ,(2.21)f ( )  (1, ,cos 2 N * ,cos 2 N * ,cos 2 ,sin 2 )T ,Численное моделирование по разработанной модели (2.20) осуществлялосьсогласно идентичной процедуре, основанной на МНК, однако она неприводится в виду громоздкости компонент вектора опорных функций.На рисунке 8 приведены результаты интерполяции на длительноминтервале времени (с 1990г.

по 2012г. включительно) и прогноз на 2013 и 2014годы колебательного процесса координат земного полюса согласно двумразработанным моделям - основной (2.7) и уточненной (2.19) в сравнении свысокоточными данными МСВЗ. Также на рисунке даны резидиумы - невязкимежду данными МСВЗ и теоретическими кривыми.59Рисунок 8 Интерполяция на интервале времени 1990-2012 гг. включительно и прогноз на 2013 и 2014гг.

колебательного процесса координат земного полюса согласно основной (пунктирная линия) иуточненной (сплошная линия) моделям в сравнении с высокоточными данными наблюдений иизмерений МСВЗ (точки). Резидиумы (даны под основными графиками) - невязки между даннымиМСВЗ и теоретическими кривыми, построенными согласно основной (пунктирная линия) иуточненной (сплошная линия) моделям.60Соответствующие среднеквадратические отклонения, рассчитанные наинтервале интерполяции для модели (2.7) -  *x , *y , xy* и модели (2.19)  x , y , xy даны в угловых миллисекундах: x*  44.30672865,  *y  43.32902488,  *xy  61.97169186, x  24.14765269,  y  20.25418818,  xy  31.51731698.На интервале времени начиная с конца 2012 г.

в поведении полюса такженаблюдаются значительные аномалии. Сравнение вычисленных невязок длямоделей (2.7) и (2.19) (рисунок 8) показывает, что точность интерполяциимодели (2.18) значительно выше на концах рассматриваемого интервала. Этоговорит о наличии значимых изменений в параметрах основных колебаний(чандлеровской и годичной) ближе к концу интервала интерполяции (какотмечалось - начиная с конца 2005 года).На рисунке 9 приводятся траектория движения полюса - данныенаблюдений МСВЗ и теоретические кривые, согласно построенной вышеинтерполяции, на интервале времени, соответствующем эпизоду аномальногоповедения полюса 2005-2006 гг.Теоретические прогнозы на рисунке 8 колебаний координат земногополюса согласно двум моделям даны в сравнении с реализовавшимисяколебаниями (до декабря 2013г.).

Из сравнения двух прогнозов и данныхнаблюдений МСВЗ можно заключить о наличии существенного сдвига фазы вмодуляционномдвиженииполюса,приходящегосянапрогнозируемыйинтервал времени.Существенное значение в идентификации нерегулярных флуктуацийполюса имеют как изменения в фазе его колебаний, так и в амплитуде61Рисунок 9 Траектория движения полюса по данным наблюдений МСВЗ (точки) и двум моделям основной (пунктирная линия) и уточненной (сплошная линия), на интервале времени с 2005г.

по2006г.62основных компонент. На рисунке 4 наряду с изменениями в фазе колебанийполюса, выделенными из данных наблюдений МСВЗ на длительном интервалевремени (с 1970г. по 2011г. включительно) приводятся изменения фазы,рассчитанные по теоретическим моделям (2.7) и (2.19) для интерполяций,соответствующих временному интервалу с 1990 г. по 2011г. Также даныневязки между наблюдаемыми флуктуациями фазы колебаний полюса и еерасчетными значениями. Из анализа рисунка можно заключить о хорошемсовпадении рассчитанной фазы движения полюса с ее наблюдаемымизначениями. Резидиум для уточненной модели (рисунок 8) в значительнойстепени обусловлен ошибками в вариациях амплитуд основных гармоник.Отметим, что в ходе численного моделирования амплитуды как чандлеровскойкомпоненты, так и годичной считались не известными из наблюденийвеличинами, а вычисленными на основе анализа измерений вариацийгеопотенциала и угловой скорости осевого вращения Земли.Для оценки выполнения структурных свойств моделей (2.7) и (2.19) нарисунок 9а приведены коэффициенты интерполяций двух рассматриваемыхмоделей a xc , axs ,  a yc , a ys и a xc ( ), axs ( ),  a cy ( ), a ys ( ) , имеющие размерность угловоймиллисекунды.

Сдвиг фазы чандлеровского колебания координат x p , y p ,измеряемый в градусах можно оценить по рисунок 10б.На рисунке 10 пунктирной прямой линией отмечено постоянное значениесдвига фазы для основной модели и сплошной кривой нанесен переменныйсдвиг фазы    ( ) уточненной модели (2.19).Рассмотрим упрощенную процедуру построения прогноза координатземного полюса согласно разработанной модели (2.19).

На интервале63Рисунок 10 (а) Коэффициенты основной (пунктирная линия) и уточненной (сплошная линия)моделей на интервале времени с 1990г. по 2012г. (б) Сдвиг фазы чандлеровского колебаниякоординат x p , y p основной (пунктирная линия) и уточненной (сплошная линия) моделей.64интерполяциивариациигеопотенциалаикоэффициентаосевогомоментавторойинерциизональнойявляютсягармоникиизвестнымиизнаблюдений SLR и МСВЗ [1-2]. Далее согласно выражениям модели (2.19)применяется идентификация траектории движения полюса Земли.

Значениякоэффициентовдополнительноговозмущающегопотенциала W2фиксируются в конце интервала интерполяции и при расчете прогнозасчитаются постоянными. В этом случае выражения модели (2.19) на интервалепрогноза оказываются эквивалентными выражениям (2.7). Различия будут впостоянных коэффициентах модели и величине частоты свободной нутации если в случае основной модели коэффициенты имеют смысл средних значенийна интервале интерполяции, а чандлеровская частота выбрана на основеспектрального анализа длительного ряда наблюдений, то для уточнённоймоделикоэффициентыичастотасоответствуютзафиксированнымихзначениям в конце интервала интерполяции.На рисунке 11 приводятся графики среднеквадратических отклоненийпостроенных годовых прогнозов координат земного полюса  x , y , и еготраектории  xy .

Прогнозы согласно основной (2.7) и уточнённой (2.19) моделямрассчитывались по 7-летней и 15-летней интерполяциям соответственно. Изрисунка 11можнозаключить,чтововремяпроявленияаномальныхфлуктуаций в колебательном процессе земного полюса точность годовогопрогноза, рассчитанного согласно уточнённой модели значительно вышеточности годового прогноза основной модели. Точность основной моделиоказывается выше в случае стабильных характеристик чандлеровского игодичного колебаний. Сравнительно короткий период стабильного поведения65Рисунок 11 Среднеквадратические отклонения годовых прогнозов координат земного полюса  x ,  yи его траектории  xy .66полюса наблюдался с 2004 г. до середины 2005 г. В остальное время вколебательномпроцессенаблюдалисьаномальныеэффекты,проиллюстрированные на рисунке 4-10.