Диссертация (Численно-аналитическое исследование параметров вращения Земли с приложениями для спутниковой навигации), страница 7

и конец 2005 - начало 2006 гг. Этим изменениям фазысоответствуют кратковременные потери в скорости  (скорость измененияфазы принимает малые отрицательные значения), в то время как средняяскорость изменения фазы соответствует чандлеровской частоте. Отметим, чтона интервале с 2011 по 2013 гг. фаза отличается иным аномальным поведением,которое рассматривается ниже.Эти явления, регистрируемые в данных МСВЗ, представляют собой«аномальные» флуктуации координат полюса Земли, которые вследствиеизменения геодинамических параметров негативно сказываются на процессеинтерполяцииипрогнозированияматематическоймоделипервогоприближения.Как видно из рисунка 5, определяемые на этапе интерполяциипостоянные коэффициенты модели первого приближения - амплитуды и фазы,как чандлеровской компоненты, так и годичной, подвержены существеннымвариациям. На рисунке приводятся амплитудно-частотный спектр рядовнаблюдений МСВЗ координат земного полюса x p , y p для трёх характерныхинтерваловвремени.ДлительныйинтервалобработкиданныхМСВЗиспользовался для определения средних значений чандлеровской и годичнойчастот координат полюса x p , y p .

Один из двух пересекающихся 15-летних48Рисунок 5 Спектральные плотности мощностей рядов наблюдений x p , y p .49интервалов исключает момент экстремальной флуктуации фазы, приходящийсяна конец 2005 - начало 2006 гг. Из сравнения приведенных графиковамплитудно-частотного спектра видно, что среднеквадратическое отклонениеэкстраполяции модели движения полюса на интервал времени после 2006 годазначительно возрастает, что соответствует существенному снижению точностимодели.Однако спектральная плотность мощности не содержит детальнойинформацииорассматриваемых флуктуациях.Нагляднаяиллюстрациясопутствующих такому экзотическому поведению полюса эффектов ивыделение некоторых его особенностей предполагает применение методованализа нестационарных процессов.

В частности применение вейвлет-анализа[5]позволяетвыделитьлокальныеособенностинафонеобщейаппроксиммации, которые не могут быть выявлены с помощью преобразованияФурье. Вид вейвлет-функции и её параметры локализации существенно влияютнавейвлетспектрыивозможностьдетализацииособенностейврассматриваемых колебаниях. Параметры вейвлет-функции выбирались изусловия наиболее точного ее совпадения с флуктуациями, приходящимися надаты резкого изменения фазы движения полюса.Нарисунке6представленыграфическиепреобразования временного ряда координатырезультатывейвлетx p полюса с различнымипараметрами базовой вейвлет функции Морле (для координаты y p выводыидентичны). Вейвлет-поверхность в пространстве изображена контурамиизолиний - границ между областями с разными оттенками (от светло-серого допочти черного).

Для визуализации вейвлет спектра на плоскости вейвлет-50Рисунок 6 Вейвлет-преобразование временного ряда координаты x p полюса51поверхность рассматривается в проекции с изолиниями. На верхнем графикерисунок 5а приводится спектр действительного вейвлет преобразования Морлес параметрами, дающими временную локализацию колебанийx p . Длярасширения диапазона масштабов на графике взята логарифмическая частотнаяшкала. Здесь следует отметить приходящиеся на рассматриваемые моментырезких флуктуаций фазы полюса (середина 1974 г.

и конец 2005 - начало 2006гг.) появление«аномальных» экстремумов в колебательномпроцессе.Приблизительный период этих флуктуаций составляет 0.5 года.Нанижнемграфикерисунка6,априводитсяспектрограммакомплексного вейвлет преобразования Морле с локализацией по шкалемасштабов.Данныйвариантпреобразованияотражаетамплитуднуюмодуляцию a(t ) годичной и чандлеровской компонент. Для визуальной оценкиотносительной величины амплитуды рассматриваемых флуктуаций на фонеосновного модуляционного движения полюса на рисунке 6,б приведентрехмерный вариант спектрограммы комплексного вейвлет преобразования.

Изрисунка 6,б видно, что наличие полугодовой флуктуации координат полюса впериоды 1974г. и 2005-2006 гг. приводит к кратковременному уменьшениюскорости изменения фазы  (увеличению периода обращения полюса вокругего среднего положения из-за эпизодов обнуления скорости изменения фазы) ипоследующему значительному ее увеличению до настоящего момента времени.Увеличению частоты  соответствует уменьшение периода обращения полюсавокруг его среднего положения от стандартного значения близкого кчандлеровскому периоду (в «обычные» годы) до «аномального», сравнимого сгодичнымпериодом.Приэтомпопыткаскорректироватьчастоты52чандлеровского и годичного колебаний на интервале интерполяции (1994-2008гг.) приведет к ухудшению точности прогноза.2.4. Математическая модель возмущённого движения земного полюсаОбобщение рассмотренной ранее математической модели колебательногопроцесса полюса осуществляется с помощью методов небесной механики иматематического описания временных вариаций гравитационного поля Земли,которые позволяют дать амплитудно-частотный анализ и качественноеобъяснение наблюдаемых аномалий в колебательном процессе.

При этомуточненнаяматематическаямодельдолжнаобладатьсвойствамималопараметричности и согласованности с разработанной ранее основноймоделью. Последнее означает сохранение присущих основной моделиструктурных свойств и соответствие осредненных динамических параметровпараметрам основной модели.Известно [4], что амплитуда и фаза чандлеровской компонентыколебательногопроцессаполюсавесьмачувствительныкразличнымвозмущающим факторам, в том числе обладающим нерегулярными свойствами(гравитационным,океаническим,атмосферным,ивозможно,другим).Величина амплитуды установившегося движения определяется разностьючастот и коэффициентом диссипации [4].

Поэтому наиболее чувствительной кнерегулярным воздействиям следует полагать чандлеровскую компонентуколебаний полюса Земли. Механизм этих воздействий естественно связать сослабыми возмущениями тензора инерции.Фигура Земли вследствие вариаций тензора инерции (возникающих изза периодических приливных деформаций - океанических и твердотельных53приливов и других возмущений) является динамической фигурой геоида,создаваяприэтомдополнительныйвозмущающийпотенциалW (t ) ,зависящий от времени.

Наибольшим по величине слагаемым из разложенияпотенциала  W является возмущение от второй гармоники  W2 :fmE RE2 W2 Y2 ( , ),r3где  , , r- сферические координаты;RE  6.38  106 м ;RE(2.9)- средний радиус Земли,fmE  3,98600442  1014 м 3с 2 . Изменение нормированнойсферической функции Y2 ( , ) выражается через коэффициенты второгопорядка разложения геопотенциала:Y2 ( , )   c20 P20 (cos )   c21 cos    s21 sin   P21 (cos )   c22 cos2   s22 sin 2  P22 (cos ).(2.10)Здесь P2 m (cos ) - нормированные присоединенные функции Лежандра.Дифференциальные уравнения для амплитуды и фазы модуляционногодвижения земного полюса можно получить из динамических уравненийЭйлера-Лиувилля движения Земли относительно центра масс:a 2mE RE2  *  C * r0 c22 1  *    c22  a sin 2    p cos   q sin  ,*AB  (2.11)   N q cos 2   N p sin 2   a 1  q cos   p sin  .Здесь a, - введённые ранее амплитуда и фаза колебаний координат земногополюса; c2*m ,  c2 m - коэффициенты второго порядка разложения потенциала вряд по сферическим функциям для «замороженной» фигуры Земли и ихвариации; r0 - средняя скорость осевого вращения Земли; переменныекоэффициенты54Np C *  B*   C   Br0 ,A*   ANq C *  A*   C   Ar0B*   B(2.12)являются близкими по значению величинами, определяющими частотучандлеровскихколебанийгравитационно-приливногополюса.Компоненты(лунно-солнечные p , q-возмущениягравитационно-приливныемоменты сил) и геофизического (вследствие вариаций коэффициентов  c21 , s21тессеральных гармоник геопотенциала) характера [2, 6].

Величины r0  p , r0 qимеют размерность удельного момента сил.Внешние возмущения, приводящие к наблюдаемым колебаниям полюса,можно представить в виде суммы чандлеровской и годичной составляющихсоответственно:h p ,q   chp ,q   p ,q .(2.13)Из результатов обработки данных наблюдений МСВЗ следует, что амплитудачандлеровской компоненты и ее частота подвержены сильным вариациям, в товремя как годичная компонента является более стабильной. Средняя частотасвободной нутации N * согласно решению (2.11) равна N *p N q* . Вариациячастоты чандлеровских колебаний (частота свободной нутации) являетсяфункцией динамического сжатия геоида и вариации осевого момента инерции:N  N *   N ,  N  ( C ,  c20 ).(2.14)Тогда для амплитуды ach и фазы  ch чандлеровского колебания получаютсявыражения:    ach  ach0  achvar  t ,  ,  ch   ch0  N *t   ( C ,  c20 )dt   chvar  t ,  , (2.15) N N55где ach0 , ch0 - среднее значение амплитуды и постоянный сдвиг фазы; achvar , chvar слагаемые,определяющиеэллиптичностьтраекториичандлеровскойкомпоненты с весьма малым эксцентриситетом.

При N  N * они являютсяпериодическими по t функциями с периодом  / N * . Пренебрегая изменениемво времени эксцентриситета чандлеровской траектории, для чандлеровскихколебаний компонент p , q вектора мгновенной угловой скорости [3] можнозаписать:ach0 cos chach0 sin chpch r0 , qch r0 . ch ch(2.16)Из системы уравнений (2.11) для компонент p, q вектора угловой скоростивозмущенного движения Земли получаются следующие выражения: ,h pchsin ch cos ch ch ,hcos ch sin ch ch,hf p (t )dt f p (t )dt , ch ch ch   ch ,h qchsin ch cos ch ch ,hcos ch sin ch ch ,hf q (t )dt f q (t )dt , ch ch ch   ch(2.17)f pch ,h    p N p1ch  q ch   p ,f qch ,h  q N q1ch   p ch   q .Амплитуды возмущенных чандлеровского и годичного колебаний полюсаp ,qch , har00chaи переменная фаза p  chfch ,hp ,q2(t )dt     qch fch ,hp ,q(t )dt 12 2(2.18)возмущенного чандлеровского колебания илисчитаются известными из наблюдений, или, как следует из результатовчисленного моделирования, могут быть найдены из вариаций коэффициента c20геопотенциала.

Так, на рисунке 7 приведены вариация частоты56возмущенного чандлеровского колебания и вариации второй зональнойгармоники  c20 по данным SLR (Satellite Laser Ranging) [2].Для координат земного полюса (пренебрегая различием амплитудосновных компонент ach,h  achp ,,qh ) получаются окончательные выражения:x p  cx  ach cos  ch0  N *t       ah cos( h0   ht   ),y p  c y  ach sin  ch0  N *t         ah sin( h0   ht ),(2.19)   ( C ,  c20 )dt.Здесь ach - результирующая амплитуда чандлеровского колебания;  ,  сдвиги фаз в x p , y p для чандлеровских и годичных колебаний соответственно; h - частота годичного колебания.2.5.